リトルの法則

数学的待ち行列^理論において、リトル^の法則（リトル^のほうそく、...^​​​​​​​​​​​​​

${\displaystyle L=\lambda W.}$

この関係は、到着プロセスの分布、サービスの分布、サービスの順序、その他ほとんど何にも影響を受けません。ほとんどの待ち行列システムでは、サービス時間が待ち行列を形成するボトルネックとなります。 ^{[ 3 ]}

この結果はあらゆるシステムに適用可能であり、特にシステム内に存在するシステムに適用される。^{[ 4 ]}例えば銀行支店では、顧客ラインが一つのサブシステムであり、各窓口係員が別のサブシステムである可能性がある。リトルの結果は、各窓口係員にも、また全体にも適用可能である。唯一の要件は、システムがエルゴード的であることである。^{[ 5 ]}

場合によっては、システム内の平均数を平均待ち時間に数学的に関連付けるだけでなく、システム内の数の確率分布（およびモーメント）全体を待ち時間に関連付けることさえ可能です。 ^{[ 6 ]}

歴史

1954年の論文では、リトルの法則が正しいと仮定され、証明なしに使用されました。^{[ 7 ] [ 8 ]} L  =  λWという形式は、フィリップ・M・モースによって初めて発表され、彼は読者にこの関係が成り立たない状況を見つけるように挑戦しました。^{[ 7 ] [ 9 ]}リトルは1961年にこの法則の証明を発表し、そのような状況は存在しないことを示しました。^{[ 10 ]}リトルの証明に続いて、ジュエルによるより単純な証明^{[ 11 ]}とエイロンによる別の証明が行われました。^{[ 12 ]}シャラー・スティダムは1972年に異なる、より直感的な証明を発表しました。^{[ 13 ] [ 14 ]}

例

応答時間を見つける

応答時間を簡単に測定できないアプリケーションを想像してみてください。システム内の平均数とスループットが分かっている場合、平均応答時間はリトルの法則を用いて求めることができます。

平均応答時間 = システム内の平均数 / 平均スループット

例えば、キュ​​ー深度メーターには、サービス待ちのジョブが平均9件あると表示されています。サービス中のジョブを1件追加すると、システム内のジョブ数は平均10件になります。別のメーターには、平均スループットが1秒あたり50件と表示されています。平均応答時間は、0.2秒 = 10 / 50 / 秒として計算されます。

店内の顧客

カウンターが1つと商品を閲覧するスペースがある小さな店舗を想像してみてください。カウンターには一度に1人しか入れず、誰も何も買わずに帰ることはありません。この場合、システムは次のようになります。

入口 → 閲覧 → カウンター → 出口

店舗に人が入店する割合（到着率）と退店する割合（退店率）が等しい場合、システムは安定です。一方、到着率が退店率を上回る場合、システムは不安定となり、店舗内で待機する顧客の数は徐々に無限大へと増加します。

リトルの法則によれば、店舗内の平均顧客数Lは、有効到着率 λと、顧客が店舗内で過ごす平均時間Wの積、つまり単純に次の式で表されます。

${\displaystyle L=\lambda W}$

顧客が1時間あたり10人の割合で来店し、平均0.5時間滞在すると仮定します。つまり、店内の顧客数は平均5人であることがわかります。

${\displaystyle L=10\times 0.5=5}$

ここで、店舗が1時間あたりの来店率を20人に引き上げるために、広告宣伝の強化を検討しているとします。店舗は平均10人の入店者を受け入れるか、顧客1人あたりの店内滞在時間を0.25時間に短縮する必要があります。後者は、会計を迅速化するか、カウンターを増やすことで実現できる可能性があります。

リトルの法則は、店舗内のシステムにも適用できます。例えば、カウンターとその列を考えてみましょう。列とカウンターには平均2人の顧客がいるとします。到着率は1時間あたり10人なので、顧客は平均0.2時間をレジで過ごしていることになります。

${\displaystyle W={\frac {L}{\lambda }}={\frac {2}{10}}=0.2}$

リトルの法則はカウンター自体にも適用できます。カウンターに同時に座れるのは1人だけなので、カウンターの平均人数は(0, 1)の範囲になります。この場合、カウンターの平均人数はカウンターの利用率とも呼ばれます。

しかし、現実の店舗は一般にスペースが限られているため、最終的には不安定になる可能性があります。到着率が退店率を大幅に上回ると、最終的には店舗が溢れ始め、そのため、新たに到着した顧客は、店舗に再び空きスペースができるまで、単に拒否されます（どこか別の場所に行くか、後でもう一度試す必要があります）。これは到着率と有効到着率の違いでもあり、到着率は顧客が店舗に到着する率にほぼ相当し、有効到着率は顧客が店舗に入る率に相当します。ただし、サイズが無限で損失のないシステムでは、この2つは等しくなります。

パラメータの推定

リトルの法則をデータに適用するには、ログ記録間隔の開始時にすでに存在していた顧客と、ログ記録が停止したときにまだ立ち去っていない顧客をどのようにログに記録するかなどの問題により、結果が必ずしも有限の時間間隔に直接適用されるとは限らないため、パラメータを推定するための式を使用する必要があります。^{[ 15 ]}

アプリケーション

リトルの法則は、生産率と仕掛品の量に基づいてリードタイムを予測するために製造業で広く使用されています。^{[ 16 ]}

ソフトウェア性能テスターはリトルの法則を利用して、観測された性能結果がテスト装置によって課せられたボトルネックによるものではないことを確認してきた。^{[ 17 ] [ 18 ]}

その他の用途としては、病院の救急部門の人員配置が挙げられる。^{[ 19 ] [ 20 ]}

最後に、リトルの法則と同等の法則は、人口統計学や集団生物学の分野でも適用されますが、「リトルの法則」とは呼ばれていません。^{[ 21 ] [ 22 ]}例えば、コーエン（2008）^{[ 23 ]}は、人口移動のない均質な定常集団において、 （人口総数、年間出生数、出生からの平均余命）と説明しています。したがって、この式はリトルの法則（ ）と直接等価です。しかし、生物学的集団は動的である傾向があるため、正確なモデル化はより複雑です。^{[ 24 ]} ${\displaystyle P=B\times e}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle P=B\times e}$ ${\displaystyle L=\lambda \times W}$

分布形式

場合によっては、平均値を関連付けるだけでなく、先着順の規律の下で、システム内の数値の確率分布全体をシステム内の時間と関連付けることが可能です。多くのFIFO/ポアソンクラスシステムの分布関係は、KeilsonとServi (1988) ^{[ 25 ]}によって導出され、Fuhrmann–Cooper分解との関連を含む関連研究でさらに発展しました^{[ 26 ]}。その後、BertsimasとNakazato (1995) は新たな証明を提供し、その応用を調査しました^{[ 27 ] 。}

参照

• 人物名を冠した法則（人物にちなんで名付けられた法則、格言、その他の簡潔な観察や予測）の一覧
• アーラン（単位）

参考文献

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外部リンク

• 待ち行列公式 L = λ W の証明、シグマン、K.、コロンビア大学
• 待ち行列公式 L = λ W の証明、Eduardo、Maldonado、Alexby usm

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