リトゥス（数学）

Spiral

正のrの分岐

リトゥス螺旋（/ ˈ l ɪ tj u . ə s / ）は、角度θが半径rの2乗に反比例する螺旋です。

この螺旋は、 rの符号に応じて2つの枝を持ち、x軸に漸近する。その変曲点は

${\displaystyle (\theta ,r)=\left({\tfrac {1}{2}},\pm {\sqrt {2k}}\right).}$

この曲線は、ロジャー・コーツが死後 6 年後に出版した「Harmonia Mensurarum （1722）」と題する論文集の中で、古代ローマの「lituus」にちなんで名付けられました。

座標表現

極座標

リトゥス螺旋の極座標 （r、θ）での表現は次式で与えられる。

${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {\theta }}},}$

ここでθ≥0かつk ≠0である。

直交座標

極座標 r = ⁠のリトゥス螺旋1つの/√θ​⁠ は、他の螺旋と同様に、 x = r cos θおよびy = r sin θの関係を持つ直交座標に変換できます。この変換により、曲線のパラメトリック表現が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\cos \theta ,\\y&={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\sin \theta .\\\end{aligned}}}$

これらの方程式は、 xとyに関する方程式に変形することができます。

${\displaystyle {\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\right).}$

直交座標における方程式の導出

1. 割り算:​ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {{\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\sin \theta }{{\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\cos \theta }}\Rightarrow {\frac {y}{x}}=\tan \theta .}$
2. リトゥス螺旋の方程式を極座標で解く： ${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\Leftrightarrow \theta ={\frac {a^{2}}{r^{2}}}.}$
3. 代わりの： ${\displaystyle \theta ={\frac {a^{2}}{r^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right).}$
4. 代わりの： ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}}}\right)\Rightarrow {\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\right).}$

幾何学的特性

曲率

リトゥス螺旋の曲率は式^{[1]で求められる。}

${\displaystyle \kappa =\left(8\theta ^{2}-2\right)\left({\frac {\theta }{1+4\theta ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}.}$

弧の長さ

一般に、リトゥス螺旋の弧の長さは閉じた形式の式として表すことはできませんが、ガウス超幾何関数を使用した式として表すことができます。

${\displaystyle L=2{\sqrt {\theta }}\cdot \operatorname {_{2}F_{1}} \left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{4}};{\frac {3}{4}};-{\frac {1}{4\theta ^{2}}}\right)-2{\sqrt {\theta _{0}}}\cdot \operatorname {_{2}F_{1}} \left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{4}};{\frac {3}{4}};-{\frac {1}{4\theta _{0}^{2}}}\right),}$

ここで弧の長さはθ = θ ₀から測定される。^[1]

接線角

リトゥス螺旋の接線角は式^{[1]で求められる。}

${\displaystyle \phi =\theta -\arctan 2\theta .}$

参考文献

1. ワイスタイン、エリック W.「リトゥース」。マスワールド。2023 年 2 月 4 日に取得。

外部リンク

• 「Lituus」、数学百科事典、EMS プレス、2001 [1994]。
• ワイスタイン、エリック・W.「リトゥース」。マスワールド。
• JSXGraph を使用したインタラクティブな例。
• オコナー、ジョン・J.ロバートソン、エドマンド F.、「Lituus」、MacTutor 数学史アーカイブ、セント アンドリュース大学。
• リチュース曲線の歴史については https://hsm.stackexchange.com/a/3181 をご覧ください。

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