代数的量子場理論

代数的量子場理論（AQFT ）は、 C*-代数理論の局所量子物理学への応用である。ルドルフ・ハーグとダニエル・カストラー（1964）によって導入されたため、量子場理論のためのハーグ＝カストラー公理的枠組みとも呼ばれる。公理は、ミンコフスキー空間内の任意の開集合に対して与えられる代数と、それらの間の写像によって記述される。

ハーグ・カストラー公理

をミンコフスキー空間の有界かつ開集合全体の成す集合とする。代数的量子場理論は、以下の公理を満たす共通ヒルベルト空間上のフォン・ノイマン代数の集合によって定義される。[ 1 ^] ${\mathcal {O}}$ $\{{\mathcal {A}}(O)\}_{O\in {\mathcal {O}}$ ${\mathcal {A}}(O)$ ${\mathcal {H}}$

等速性:を意味します。 $O_{1}\subset O_{2}$ ${\mathcal {A}}(O_{1})\subset {\mathcal {A}}(O_{2})$
因果関係:がから空間的に分離されている場合、となります。 $O_{1}$ $O_{2}$ $[{\mathcal {A}}(O_{1}),{\mathcal {A}}(O_{2})]=0$
ポアンカレ共変性：ポアンカレ群の強連続ユニタリ表現が存在し、 $U({\mathcal {P}})$ ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {A}}(gO)=U(g){\mathcal {A}}(O)U(g)^{*},\,\,g\in {\mathcal {P}}.$
スペクトル条件:エネルギー運動量演算子(つまり、時空変換の生成元)の結合スペクトルは、閉じた前方光円錐に含まれます。 $\mathrm {Sp} (P)$ $P$
真空ベクトルの存在: 巡回的かつポアンカレ不変なベクトルが存在する。 $\Omega \in {\mathcal {H}}$

ネット代数は局所代数と呼ばれ、C* 代数は準局所代数と呼ばれます。 ${\mathcal {A}}(O)$ ${\mathcal {A}}:={\overline {\bigcup _{O\in {\mathcal {O}}}{\mathcal {A}}(O)}}$

カテゴリー理論的定式化

Mink を、包含写像を射とするミンコフスキー空間 M の開部分集合の圏とする。Minkから単位C* 代数の圏である uC*alg への共変関手が与えられ、Mink のあらゆる射はuC * algの単射に写像される（等射性）。 ${\mathcal {A}}$

ポアンカレ群はミンクに連続的に作用する。この作用の引き戻しが存在し、これはのノルム位相において連続である（ポアンカレ共分散）。 ${\mathcal {A}}(M)$

ミンコフスキー空間は因果構造を持つ。開集合 V が開集合Uの因果補集合に含まれる場合、写像の像は

{\mathcal {A}}(i_{U,U\cup V})

そして

{\mathcal {A}}(i_{V,U\cup V})

可換性（空間的可換性）。が開集合Uの因果完備化である場合、は同型性（原始的因果性）である。 ${\bar {U}}$ ${\mathcal {A}}(i_{U,{\bar {U}}})$

C*-代数に関する状態は、単位ノルムを持つ上の正線型汎関数である。上の状態を持つ場合、「部分トレース」を取ることで、ネット単射を介して各開集合に関連付けられた状態を得ることができる。開集合上の状態は、前層構造を形成する。 ${\mathcal {A}}(M)$ ${\mathcal {A}}(U)$

GNS 構成によれば、各状態に対して、のヒルベルト空間表現を関連付けることができます。純粋状態は既約表現に対応し、混合状態は既約表現に対応します。各既約表現 (同値を除く) は、超選択セクターと呼ばれます。真空と呼ばれる純粋状態があり、それに関連付けられたヒルベルト空間が、ネットのポアンカレ共分散と互換性のあるポアンカレ群のユニタリ表現であると仮定します。そのため、ポアンカレ代数を見ると、エネルギー運動量に関するスペクトル(時空変換に対応) は、正の光円錐上および内にあります。これが真空セクターです。 ${\mathcal {A}}(M).$

曲がった時空におけるQFT

近年、このアプローチは、曲がった時空における量子場の理論の代数的バージョンを組み込むようにさらに拡張されました。実際、局所量子物理学の観点は、くりこみ手順を曲がった背景上に展開された量子場の理論に一般化するのに特に適しています。ブラックホールが存在する場合のQFTに関するいくつかの厳密な結果が得られています。^[要出典]

参考文献

^ バウムゲルテル、ヘルムート (1995)。場の量子論における作用素数的手法。ベルリン：Akademi Verlag。ISBN 3-05-501655-6。

さらに読む

ハーグ、ルドルフ；カスラー、ダニエル（1964）、「量子場理論への代数的アプローチ」、Journal of Mathematical Physics、5（7）：848–861、Bibcode：1964JMP.....5..848H、doi：10.1063/1.1704187、ISSN： 0022-2488、MR ： 0165864
ハーグ、ルドルフ（1996）[1992]、局所量子物理学：場、粒子、代数、理論および数理物理学（第2版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007 / 978-3-642-61458-3、ISBN 978-3-540-61451-7、MR 1405610
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ブルネッティ、ロミオ。ダッピアッジ、クラウディオ。フリーデンハーゲン, クラウス;イングヴァソン、ヤコブ編。（2015年）。代数的な場の理論の進歩。数理物理学の研究。スプリンガー。土井：10.1007/978-3-319-21353-8。ISBN 978-3-319-21353-8。
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外部リンク

局所量子物理学クロスロード2.0 – 局所量子物理学に取り組む科学者のネットワーク
論文 – 代数的場の理論に関するプレプリントのデータベース
代数的量子場理論 – ハンブルク大学のAQFTリソース

[1] バウムゲルテル、ヘルムート (1995)。場の量子論における作用素数的手法。ベルリン：Akademi Verlag。ISBN 3-05-501655-6。