現地時間（数学）

確率過程

伊藤過程のサンプルパスとその局所時間面。

確率過程の数学的理論において、局所時間とはブラウン運動などの半マルチンゲール過程に関連する確率過程であり、粒子が特定のレベルに留まった時間を特徴付ける。局所時間は、積分関数が十分に滑らかでない場合、田中の公式など、様々な確率積分公式に現れる。また、統計力学においても確率場の文脈で研究されている。

正式な定義

連続実数値セミマルチンゲールの場合、点におけるの局所時間は確率過程であり、非公式には次のように定義される。 ${\displaystyle (B_{s})_{s\geq 0}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{s})\,d[B]_{s},}$

ここではディラックのデルタ関数、は二次変分である。これはポール・レヴィによって考案された概念である。基本的な考え方は、は（適切にスケール変更され、時間パラメータ化された）時刻 までにでどれだけの時間が経過したかを示す尺度であるというものである。より厳密には、ほぼ確実な極限と書くことができる。 ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle [B]}$ ${\displaystyle L^{x}(t)}$ ${\displaystyle B_{s}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle L^{x}(t)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}1_{\{x-\varepsilon <B_{s}<x+\varepsilon \}}\,d[B]_{s},}$

これは常に存在すると示され得る。ブラウン運動（またはより一般的にはがブラウン運動である形の実数値拡散）の特殊な場合においては、項は単に に簡約される点に注意されたい。これがにおけるの局所時間と呼ばれる理由である。離散状態空間プロセス の場合、局所時間はより単純に次のように表される^[1]。 ${\displaystyle dB=b(t,B)\,dt+dW}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle d[B]_{s}}$ ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X_{s})_{s\geq 0}}$

${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}1_{\{x\}}(X_{s})\,ds.}$

田中の公式

^{田中の公式は、 [2]}上の任意の連続セミマルチンゲールに対する局所時間の定義も提供する。 ${\displaystyle (X_{s})_{s\geq 0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} :}$

${\displaystyle L^{x}(t)=|X_{t}-x|-|X_{0}-x|-\int _{0}^{t}\left(1_{(0,\infty )}(X_{s}-x)-1_{(-\infty ,0]}(X_{s}-x)\right)\,dX_{s},\qquad t\geq 0.}$

より一般的な形式は、マイヤー^[3]とワン^[4]によって独立に証明された。この公式は、二回微分可能な関数に対する伊藤の補題をより一般的な関数のクラスに拡張したものである。が有界変化の導関数と絶対連続である場合、 ${\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F',}$

${\displaystyle F(X_{t})=F(X_{0})+\int _{0}^{t}F'_{-}(X_{s})\,dX_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }L^{x}(t)\,dF'_{-}(x),}$

ここで左微分です。 ${\displaystyle F'_{-}}$

がブラウン運動である場合、任意の に対して、局所時間体はでヘルダー連続かつ指数で、有界および に対して一様であるような修正を持ちます。^[5]一般に、 は で連続かつでcàdlàgで あるような修正を持ちます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha \in (0,1/2)}$ ${\displaystyle L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$

田中の公式は、1次元反射ブラウン運動の明示的なドゥーブ・マイヤー分解を提供します。 ${\displaystyle (|B_{s}|)_{s\geq 0}}$

レイ・ナイト定理

空間上の確率過程に付随する局所時間体は、確率場の分野でよく研究されているテーマです。レイ・ナイト型定理は、体L _{t を}付随するガウス過程に関連付けます。 ${\displaystyle L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}}$ ${\displaystyle E}$

一般に、第一種のレイ・ナイト型定理は基礎プロセスの到達時間におけるフィールドL _tを考慮しますが、第二種の定理は局所時間フィールドが最初に与えられた値を超える停止時間に関しています。

第一レイ・ナイト定理

( B _t ) _{t ≥ 0を}B ₀ = a > 0から始まる1次元ブラウン運動とし、( W _t ) _{t ≥0 を}W ₀ = 0 ∈ R ²から始まる標準的な2次元ブラウン運動とする。Bが最初に原点に衝突する停止時刻を定義する。Ray ^[6]とKnight ^[7]は（独立に）次式を示した 。 ${\displaystyle T=\inf\{t\geq 0\colon B_{t}=0\}}$

${\displaystyle \left\{L^{x}(T)\colon x\in [0,a]\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{|W_{x}|^{2}\colon x\in [0,a]\right\}\,}$

1

ここで、( L _t ) _{t ≥ 0は(} B _t ) _{t ≥ 0}の局所時間体であり、等式はC [0, a ]上の分布に従う。過程 | W _x | ^2は2乗ベッセル過程として知られている。

第二レイ・ナイト定理

( B _t ) _{t ≥ 0}を標準的な1次元ブラウン運動B ₀ = 0 ∈ Rとし、( L _t ) _{t ≥ 0 を}それに伴う局所時間体とする。T a_を、零点における局所時間がa > 0を超える最初の時刻とする。

${\displaystyle T_{a}=\inf\{t\geq 0\colon L_{t}^{0}>a\}.}$

( W _t ) _{t ≥ 0を}W ₀ = 0から始まる独立な1次元ブラウン運動とすると、 ^[8]

${\displaystyle \left\{L_{T_{a}}^{x}+W_{x}^{2}\colon x\geq 0\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{(W_{x}+{\sqrt {a}})^{2}\colon x\geq 0\right\}.\,}$

2

同様に、過程（空間変数 における過程）は、で開始された0 次元ベッセル過程の二乗に分布が等しく、したがってマルコフ過程です。 ${\displaystyle (L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

一般化されたレイ・ナイト定理

より一般的な確率過程に対するレイ・ナイト型の結果は集中的に研究されており、（1）と（2）の両方の類似した記述は、強く対称的なマルコフ過程に対して知られている。

参照

• 田中の公式
• ブラウン運動
• ランダムフィールド

注記

1. Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus . Springer.
2. カレンバーグ (1997). 『現代確率論の基礎』ニューヨーク: シュプリンガー. pp. 428–449. ISBN 0387949577。
3. マイヤー、ポールアンドレ (2002) [1976]. 「Un cours sur les intégrales stochstiques」。確率セミナー 1967 ～ 1980 年。レクト。数学のメモ。 Vol. 1771. pp.  174–329 .土井:10.1007/978-3-540-45530-1_11。ISBN 978-3-540-42813-8。
4. 王 (1977). 「一般化された伊藤の公式とブラウン運動の加法汎関数」。Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete。41 (2): 153–159 .土井: 10.1007/bf00538419。S2CID  123101077。
5. カレンバーグ (1997). 『現代確率論の基礎』ニューヨーク: シュプリンガー. pp. 370. ISBN 0387949577。
6. Ray, D. (1963). 「拡散過程の滞在時間」.イリノイ数学ジャーナル. 7 (4): 615– 630. doi : 10.1215/ijm/1255645099 . MR  0156383. Zbl  0118.13403.
7. ナイト, FB (1963). 「ランダムウォークとブラウン運動の滞在密度過程」.アメリカ数学会誌. 109 (1): 56– 86. doi : 10.2307/1993647 . JSTOR  1993647.
8. マーカス・ローゼン (2006). 『マルコフ過程、ガウス過程、そして局所時間』 ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局. pp. 53–56. ISBN 0521863007。

参考文献

• KL ChungとRJ Williams著『確率積分入門』第2版、1990年、Birkhäuser、ISBN 978-0-8176-3386-8。
• M. MarcusとJ. Rosen著『マルコフ過程、ガウス過程、および局所時間』第1版、2006年、ケンブリッジ大学出版局ISBN 978-0-521-86300-1
• P. MörtersとY. Peres著『ブラウン運動』第1版、2010年、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-76018-8。

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