ローカルマーチンゲール

Stochastic process with sequence of stopping times so each stopped processes is martingale

数学において、局所マルチンゲールは確率過程の一種であり、マルチンゲール特性の局所版を満たす。すべてのマルチンゲールは局所マルチンゲールであり、すべての有界局所マルチンゲールはマルチンゲールである。特に、下から有界となるすべての局所マルチンゲールはスーパーマルチンゲールであり、上から有界となるすべての局所マルチンゲールはサブマルチンゲールである。しかし、局所マルチンゲールは一般にマルチンゲールではない。なぜなら、その期待値は小さな確率の大きな値によって歪められる可能性があるからである。特に、ドリフトレス拡散過程は局所マルチンゲールだが、必ずしもマルチンゲールではない。

ローカルマルチンゲールは確率解析に不可欠です(伊藤計算、セミマルチンゲール、ギルサノフの定理を参照)。

意味

を確率空間とし、を のフィルタリングとし、を集合 上の-適応確率過程とします。そして、 -停止時刻の列が存在し、次 の式を満たすとき、 は-局所マルチンゲールと呼ばれます。 ${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$ ${\displaystyle F_{*}=\{F_{t}\mid t\geq 0\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X\colon [0,\infty )\times \Omega \rightarrow S}$ ${\displaystyle F_{*}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{*}}$ ${\displaystyle F_{*}}$ ${\displaystyle \tau _{k}\colon \Omega \to [0,\infty )}$

• ほぼ確実に増加しています。 ${\displaystyle \tau _{k}}$ ${\displaystyle P\left\{\tau _{k}<\tau _{k+1}\right\}=1}$
• ほぼ確実に発散します: ; ${\displaystyle \tau _{k}}$ ${\displaystyle P\left\{\lim _{k\to \infty }\tau _{k}=\infty \right\}=1}$
• 停止したプロセスは 、あらゆる に対して -マルチンゲールです。 $${\displaystyle X_{t}^{\tau _{k}}:=X_{\min\{t,\tau _{k}\}}}$$ ${\displaystyle F_{*}}$ ${\displaystyle k}$

例

例1

局所マルチンゲールの図解。上図：に達すると停止するプロセスの複数のシミュレートされたパス。これはギャンブラーの破産行動を示しており、マルチンゲールではありません。下図： のパス。追加の停止基準：プロセスは の大きさに達したときにも停止します。これはギャンブラーの破産行動の影響を受けず、マルチンゲールです。 ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle k=2.0}$

W _{t を}ウィーナー過程とし、T =  min{  t  :  W _t  = −1 } を最初の−1ヒットの時刻とする。停止した過程 W _{min{  t ,  T  }}はマルチンゲールである。その期待値は常に0であるが、その極限（t  → ∞）はほぼ確実に−1となる（一種のギャンブラーの破産）。時間変化は過程を引き起こす。

${\displaystyle \displaystyle X_{t}={\begin{cases}W_{\min \left({\tfrac {t}{1-t}},T\right)}&{\text{for }}0\leq t<1,\\-1&{\text{for }}1\leq t<\infty .\end{cases}}}$

このプロセスはほぼ確実に連続的であるが、それにもかかわらず、その期待は不連続的である。 ${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {E} X_{t}={\begin{cases}0&{\text{for }}0\leq t<1,\\-1&{\text{for }}1\leq t<\infty .\end{cases}}}$

この過程はマルチンゲールではない。しかし、局所マルチンゲールである。局所化系列は、そのようなtが存在するかのように選択できる。そうでなければ である。この系列は、十分に大きいすべてのkに対して（すなわち、過程Xの最大値を超えるすべてのkに対して）ほぼ確実に発散する。τ _kで停止した過程はマルチンゲールである。^{[詳細 1]} ${\displaystyle \tau _{k}=\min\{t:X_{t}=k\}}$ ${\displaystyle \tau _{k}=k}$ ${\displaystyle \tau _{k}=k}$

例2

W _{t を}ウィーナー過程、ƒ を測定可能な関数とすると、次の過程はマルチンゲールである。 ${\displaystyle \operatorname {E} |f(W_{1})|<\infty .}$

${\displaystyle X_{t}=\operatorname {E} (f(W_{1})\mid F_{t})={\begin{cases}f_{1-t}(W_{t})&{\text{for }}0\leq t<1,\\f(W_{1})&{\text{for }}1\leq t<\infty ;\end{cases}}}$

どこ

${\displaystyle f_{s}(x)=\operatorname {E} f(x+W_{s})=\int f(x+y){\frac {1}{\sqrt {2\pi s}}}\mathrm {e} ^{-y^{2}/(2s)}\,dy.}$

ディラックのデルタ関数 （厳密に言えば関数ではない）は、次のように定義されるプロセスに変わり、非公式には次のように 定義される。 ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle Y_{t}=\operatorname {E} (\delta (W_{1})\mid F_{t})}$

${\displaystyle Y_{t}={\begin{cases}\delta _{1-t}(W_{t})&{\text{for }}0\leq t<1,\\0&{\text{for }}1\leq t<\infty ,\end{cases}}}$

どこ

${\displaystyle \delta _{s}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi s}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}/(2s)}.}$

このプロセスはほぼ確実に連続的である（ほぼ確実に）が、それにもかかわらず、その期待は不連続である。 ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle W_{1}\neq 0}$

${\displaystyle \operatorname {E} Y_{t}={\begin{cases}1/{\sqrt {2\pi }}&{\text{for }}0\leq t<1,\\0&{\text{for }}1\leq t<\infty .\end{cases}}}$

このプロセスはマルチンゲールではない。しかし、局所マルチンゲールである。局所化シーケンスは次のように選択できる。 ${\displaystyle \tau _{k}=\min\{t:Y_{t}=k\}.}$

例3

を複素ウィーナー過程とし、 ${\displaystyle Z_{t}}$

${\displaystyle X_{t}=\ln |Z_{t}-1|\,.}$

この過程はほぼ確実に連続的である（1に当たらないのでほぼ確実に）。また、関数が調和関数（点1のない複素平面上）であるため、局所マルチンゲールである。局所化列は次のように選択できる。しかし、この過程の期待値は一定ではない。さらに、 ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle Z_{t}}$ ${\displaystyle u\mapsto \ln |u-1|}$ ${\displaystyle \tau _{k}=\min\{t:X_{t}=-k\}.}$

${\displaystyle \operatorname {E} X_{t}\to \infty }$   として ${\displaystyle t\to \infty ,}$

これは、円上のの平均値が のにつれて無限大に近づくという事実から推測できます。（実際、r ≥ 1の場合は に等しくなりますが、 r ≤ 1 の場合は 0 に等しくなります）。 ${\displaystyle \ln |u-1|}$ ${\displaystyle |u|=r}$ ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle \ln r}$

ローカルマーチンゲール経由のマーチンゲール

を局所マルチンゲールとする。これがマルチンゲールであることを証明するには、 L ¹ (として)において任意のtに対して、つまり停止過程が成り立つことを証明すれば十分である。与えられた関係式から、ほぼ確実に成り立つことがわかる。優勢収束定理は、L ¹における収束が次の条件を満たすことを保証する。 ${\displaystyle M_{t}}$ ${\displaystyle M_{t}^{\tau _{k}}\to M_{t}}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle \operatorname {E} |M_{t}^{\tau _{k}}-M_{t}|\to 0;}$ ${\displaystyle M_{t}^{\tau _{k}}=M_{t\wedge \tau _{k}}}$ ${\displaystyle \tau _{k}\to \infty }$ ${\displaystyle M_{t}^{\tau _{k}}\to M_{t}}$

${\displaystyle \textstyle (*)\quad \operatorname {E} \sup _{k}|M_{t}^{\tau _{k}}|<\infty }$すべてのt    について。

したがって、条件（*）は局所マルチンゲールがマルチンゲールであるための十分条件である。より強い条件は ${\displaystyle M_{t}}$

${\displaystyle \textstyle (**)\quad \operatorname {E} \sup _{s\in [0,t]}|M_{s}|<\infty }$t    ごとに

も十分です。

注意。弱い条件

${\displaystyle \textstyle \sup _{s\in [0,t]}\operatorname {E} |M_{s}|<\infty }$t    ごとに

十分ではない。さらに、条件

${\displaystyle \textstyle \sup _{t\in [0,\infty )}\operatorname {E} \mathrm {e} ^{|M_{t}|}<\infty }$

まだ十分ではありません。反例として上記の例 3 を参照してください。

特殊なケース:

${\displaystyle \textstyle M_{t}=f(t,W_{t}),}$

ここで、ウィーナー過程であり、2回連続微分可能である。この過程が局所マルチンゲールとなるのは、fが偏微分方程式を満たす場合のみである。 ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle f:[0,\infty )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M_{t}}$

${\displaystyle {\Big (}{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\Big )}f(t,x)=0.}$

しかし、この偏微分方程式自体は がマルチンゲールであることを保証するものではない。(**) を適用するには、fに次の条件を満たせば十分である。任意のおよびtに対して、 ${\displaystyle M_{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle C=C(\varepsilon ,t)}$

${\displaystyle \textstyle |f(s,x)|\leq C\mathrm {e} ^{\varepsilon x^{2}}}$

すべての人のために ${\displaystyle s\in [0,t]}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$

技術的な詳細

1. 1 より前の時刻においては、停止したブラウン運動はマルチンゲールであるため、マルチンゲールである。時刻 1 以降は定数となる。時刻 1 において、それを検証する必要がある。有界収束定理によれば、時刻 1 における期待値は ( n -1)/ nにおける期待値の極限であり（ n が無限大に近づくにつれて）、後者はnに依存しない。同じ議論が条件付き期待値にも当てはまる。 ^[曖昧]

参考文献

• Øksendal, Bernt K. (2003).確率微分方程式：応用入門（第6版）. ベルリン: Springer. ISBN 3-540-04758-1。

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