局所的に積分可能な関数

Function which is integrable on its domain

数学において、局所的に積分可能な関数（局所的に総和可能な関数とも呼ばれる）^[1]とは、定義域のすべてのコンパクト部分集合上で積分可能な（したがって積分が有限である）関数である。このような関数の重要性は、関数空間が空間に類似しているが、その要素は定義域の境界（定義域が無限大の場合は無限大）における動作に関していかなる成長制約も満たす必要がないという点にある。言い換えれば、局所的に積分可能な関数は定義域の境界で任意の速さで成長することができるが、それでも通常の積分可能な関数と同様に扱いやすい。 ${\textstyle L^{p}}$

意味

標準解像度

定義1. [ ^2]ユークリッド空間の開集合をとし、ルベーグ可測関数をとする。が ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle f:\Omega \to {\mathbb {C}}}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

すなわち、そのルベーグ積分がのすべてのコンパクト部分集合 上で有限であるとき、^[3]は局所積分可能 と呼ばれる。そのような関数全体の集合は で表される。 ${\textstyle K}$ ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$

${\displaystyle L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega )={\bigl \{}f\colon \Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable}}:f|_{K}\in L_{1}(K)\ \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}{\bigr \}},}$

ここで は の 集合への制限を表します。 ${\textstyle \left.f\right|_{K}}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle K}$

別の定義

定義2. [ ^4]をユークリッド空間の開集合とする。このとき、 ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

各テスト関数に対して は 局所的に積分可能と呼ばれ、そのような関数の集合は で表されます。ここで、は に含まれるコンパクトサポートを持つすべての無限微分可能関数の集合を表します。 ${\textstyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ${\textstyle L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$ ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ${\textstyle \varphi \colon \Omega \to {\mathbb {R}}}$ ${\textstyle \Omega }$

この定義は、ニコラ・ブルバキ学派によって発展した、位相ベクトル空間上の連続線型関数の概念に基づく測度論および積分論へのアプローチにその起源を持つ。 ^[5]これは、Strichartz (2003) や Maz'ya & Shaposhnikova (2009, p. 34) によっても採用されている。^[6]この「分布理論的な」定義は、以下の補題が証明するように、標準的な定義と等価である。

補題1 . 与えられた関数が定義1に従って局所積分可能であることと、それが定義2に従って局所積分可能であることは同じである。すなわち、 ${\textstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).}$

補題1の証明

部分 の場合： をテスト関数とする。これは上限ノルムで有界であり、可測であり、コンパクトなサポートを持つ。これを と呼ぶことにする。したがって、 ${\textstyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ${\textstyle \lVert \varphi \rVert _{\infty }}$ ${\textstyle K}$

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<\infty }$

定義1によります。

部分集合 の場合にのみ： を開集合 のコンパクト部分集合とする。まず の指示関数を主関数とするテスト関数を構築する。と境界の間の通常の集合距離^[7]は0より大きく、すなわち、 ${\textstyle K}$ ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle \varphi _{K}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ${\textstyle \chi _{K}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \partial \Omega }$

${\displaystyle \Delta :=d(K,\partial \Omega )>0,}$

したがって、となるような実数 を選ぶことが可能である（ が空集合の場合は とする）。 とをそれぞれ の閉 -近傍と-近傍とする。これらは同様にコンパクトであり、 ${\textstyle \delta }$ ${\textstyle \Delta >2\delta >0}$ ${\textstyle \partial \Omega }$ ${\textstyle \Delta =\infty }$ ${\textstyle K_{\delta }}$ ${\textstyle K_{2\delta }}$ ${\textstyle \delta }$ ${\textstyle 2\delta }$ ${\textstyle K}$

${\displaystyle K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.}$

畳み込みを使って関数を定義すると、 ${\textstyle \varphi _{K}:\Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,}$

ここで、 は標準的な正対称な軟化因子を用いて構築された軟化因子です。 は明らかに、 が無限微分可能であり、その台が に含まれるという意味で非負です。特に、 はテスト関数です。すべての に対してとなるので、 が成り立ちます。 ${\textstyle \varphi _{\delta }}$ ${\textstyle \varphi _{K}}$ ${\textstyle \varphi _{K}\geq 0}$ ${\textstyle K_{2\delta }}$ ${\textstyle \varphi _{K}(x)=1}$ ${\textstyle x\in K}$ ${\textstyle \chi _{K}\leq \varphi _{K}}$

定義2に従って局所積分可能な関数を とする。すると ${\textstyle f}$

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<\infty .}$

これは の任意のコンパクト部分集合に対して成り立つので、関数は定義1 に従って局所積分可能である。□ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle f}$

一般化測度空間における局所積分可能性の一般的な定義

局所的に積分可能な関数の古典的な定義1は、測度論的および位相的^{[8]概念のみを含むため、抽象的に位相}測度空間上の複素数値関数にまで適用できる。^[9]ただし、局所的に積分可能な関数の概念は、一般化された測度空間上でも定義することができ、ここでは、はもはやシグマ代数である必要はなく、集合の環であるだけでよく、特に、位相空間の構造を持つ必要がない。 ${\textstyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\textstyle (X,{\mathcal {C}},\mu )}$ ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle X}$

定義 1A。^[10]を の順序付き3つ組とし、は空でない集合、 は集合環、は上の正測度とする。さらに、をからバナッハ空間または拡張実数直線への関数とする。このとき、任意の集合 に対して関数が に関して積分可能であるとき、 は に関して局所積分可能であるという。 ${\textstyle (X,{\mathcal {C}},\mu )}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle K\in {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle f\cdot \chi _{k}}$ ${\textstyle \mu }$

が位相空間である場合の定義 1と定義 1Aの同値性は、次の手順で のコンパクト部分集合の集合から集合の環を構築することによって証明できます。 ${\textstyle X}$ ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ ${\textstyle X}$

1. であり、さらに和集合と積集合の演算により、最小上限 と最大下限を持つ格子が形成されることは明らかである。^[11] ${\textstyle \emptyset \in {\mathcal {K}}}$ ${\textstyle \cup }$ ${\textstyle \cap }$ ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ ${\textstyle \vee \equiv \cup }$ ${\textstyle \wedge \equiv \cap }$
2. として定義される集合のクラスは、条件 により、集合の半環^[11]となる。 ${\textstyle {\mathcal {D}}}$ ${\textstyle {\mathcal {D}}\triangleq \{A\setminus B\mid A,B\in {\mathcal {K}}\}}$ ${\textstyle {\mathcal {D}}\supset {\mathcal {K}}}$ ${\textstyle \emptyset \in {\mathcal {K}}}$
3. として定義される集合のクラス、すなわち、の互いに素な対集合の有限和によって形成されるクラスは集合の環であり、まさに によって生成される最小の環である。^[12] ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle {\mathcal {C}}\triangleq \{\cup _{i=1}^{n}A_{i}\mid A_{i}\in {\mathcal {D}}{\text{ and }}A_{i}\cap A_{j}=\emptyset {\text{ if }}i\neq j\}}$ ${\textstyle {\mathcal {D}}}$ ${\textstyle {\mathcal {K}}}$

この抽象的な枠組みを用いて、ディンクレアヌ（1966, pp. 163–188）は局所可積分関数のいくつかの性質を列挙し、証明している。しかしながら、このより一般的な枠組みで作業することが可能であったとしても、以下の節で示されるすべての定義と性質は、後者の重要なケースのみを明示的に扱っている。なぜなら、このような関数の最も一般的な応用はユークリッド空間上の超関数論であり、^[2]したがって、その定義域は常に位相空間の部分集合となるからである。

一般化: ローカルp-積分可能な関数

定義3 . ^[13]をユークリッド空間の開集合とし、 をルベーグ可測関数とする。与えられたに対して、が ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle 1\leq p\leq +\infty }$ ${\textstyle f}$

${\displaystyle \int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

すなわち、のすべてのコンパクト部分集合に対して に属する場合、 は局所積分可能あるいは局所積分可能とも呼ばれる。^[13]このような関数全体の集合はで表される。 ${\textstyle L_{p}(K)}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle L_{p,{\text{loc}}}(\Omega )}$

${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f|_{K}\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.}$

局所積分可能関数に与えられた定義と完全に類似した別の定義が、局所積分可能関数に対しても与えられ、このセクションの定義と等価であることが証明されている。^[14]局所積分可能関数は、その高い一般性にもかかわらず、任意 の に対して局所積分可能関数のサブセットを形成する。^[15] ${\textstyle p}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle 1<p\leq +\infty }$

表記

大文字の「L」に使われる様々な記号を除けば、 ^[16]局所積分可能関数の集合の表記にはいくつかのバリエーションがある。

• ${\textstyle L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),}$(Hörmander 1990, p. 37)、(Strichartz 2003, pp. 12–13)、(Vladimirov 2002, p. 3)で採用されている。
• ${\textstyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$(Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4) および Maz'ya & Shaposhnikova (2009, p. 44) によって採用されました。
• ${\textstyle L_{p}(\Omega ,\mathrm {loc} ),}$(Maz'ja 1985, p. 6) および (Maz'ja 2011, p. 2) によって採用されました。

プロパティ

L_p、場所はすべての完全な計量空間であるp≥ 1

定理1. [ ^17]は 完全な計量化可能空間である:その位相は次の計量によって生成できる: ${\textstyle L_{p,{\text{loc}}}}$

${\displaystyle d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$

空でない開集合の族は ${\textstyle \{\omega _{k}\}_{k\geq 1}}$

• ${\textstyle \omega _{k}\Subset \omega _{k+1}}$はコンパクトに含まれる、つまりそれぞれはコンパクトで高次のインデックスの集合に厳密に含まれる閉包を持つ集合であることを意味する。^[18] ${\textstyle \omega _{k}}$ ${\textstyle \omega _{k+1}}$
• ${\textstyle \cup _{k}\omega _{k}=\Omega }$そして最後に
• ${\textstyle {\Vert \cdot \Vert }_{p,\omega _{k}}\to \mathbb {R} ^{+}}$は、次のように定義される半ノルムのインデックス付き族である。 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\Vert u\Vert }_{p,\omega _{k}}=\left(\int _{\omega _{k}}|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

(Gilbarg & Trudinger 2001, p. 147)、(Maz'ya & Poborchi 1997, p. 5)、(Maz'ja 1985, p. 6)、(Maz'ya 2011, p. 2)では、この定理は述べられているものの、正式な根拠に基づいて証明されていません。^[19]この定理を含むより一般的な結果の完全な証明は、(Meise & Vogt 1997, p. 40)にあります。

L_pは、L_1,場所すべての人のためにp≥ 1

定理2、（の開集合）に属するすべての関数は局所的に積分可能である。 ${\textstyle f}$ ${\textstyle L_{p,{\text{loc}}}(\Omega )}$ ${\textstyle 1\leq p\leq +\infty }$ ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$

証明。この場合は自明なので、証明の続きでは と仮定する。のコンパクト部分集合の特性関数を考える。すると、 に対して、 ${\textstyle p=1}$ ${\textstyle 1<p\leq +\infty }$ ${\textstyle \chi _{K}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle p\leq +\infty }$

${\displaystyle \left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty ,}$

どこ

• ${\textstyle q}$は、与えられたに対して、 ${\textstyle 1/p+1/q=1}$ ${\textstyle 1\leq p\leq +\infty }$
• ${\textstyle \vert K\vert }$はコンパクト集合のルベーグ測度である。 ${\textstyle K}$

すると、 の積に属する任意の に対して、ヘルダーの不等式により積分可能となり、 に属し、 ${\textstyle f}$ ${\textstyle L_{p}(\Omega )}$ ${\textstyle f\chi _{K}}$ ${\textstyle L_{1}(\Omega )}$

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

したがって

${\displaystyle f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

次の不等式が成り立つので、

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\chi _{K}\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

この定理は局所的に積分可能な関数の空間にのみ属する関数に対しても成り立つため、この定理から次の結果も導かれる。 ${\textstyle f}$ ${\textstyle p}$

系 1 . 、、のすべての関数は局所的に積分可能、つまり に属します。 ${\textstyle f}$ ${\textstyle L_{p,{\text{loc}}}(\Omega )}$ ${\textstyle 1<p\leq +\infty }$ ${\textstyle >L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$

注:がの開部分集合であり、かつ も有界である場合、標準的な包含関係が成り立ち、これは上記の包含関係を前提とすると意味を成します。しかし、 が有界でない場合は、これらの記述の最初の部分は成り立ちません。その場合でも、任意の に対しては成り立ちますが、 は成り立ちません。これを理解するには、通常、関数 を考えます。これは、任意の有限 に対しては には成り立ちますが、 には成り立ちません。 ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle L_{1}(\Omega )\subset L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle u(x)=1}$ ${\displaystyle L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle p}$

L_1,場所絶対連続測度の密度空間である

定理3 . 関数が絶対連続測度の密度である場合、かつその場合に限ります。 ${\textstyle f}$ ${\displaystyle f\in L_{1,{\text{loc}}}}$

この結果の証明は(Schwartz 1998, p. 18)に概説されている。この定理は、すべての局所積分可能関数は絶対連続測度を定義し、逆にすべての絶対連続測度は局所積分可能関数を定義することを主張している。これは、抽象測度論の枠組みにおいて、スタニスワフ・サックスが論文で示した重要なラドン・ニコディム定理の形でもある。^[20]

例

• 実数直線上に定義された定数関数1は局所積分可能であるが、実数直線の測度が無限大であるため、大域積分可能ではない。より一般的には、定数、連続関数^[21]、および積分可能関数は局所積分可能である。^[22]
• の関数は上で局所的に積分可能であるが、大域的には積分可能ではない。任意のコンパクト集合はから正の距離を持ち、したがって 上で有界であるため、 は局所的に積分可能である。この例は、有界領域において局所的に積分可能な関数は境界付近で成長条件を満たす必要がないという当初の主張を裏付けている。 ${\textstyle f(x)=1/x}$ ${\textstyle x\in (0,1)}$ ${\textstyle (0,1)}$ ${\textstyle K\subset (0,1)}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle K}$
• 機能

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}\quad x\in \mathbb {R} }$

は において局所積分可能ではない。この点近傍では確かに局所積分可能である。なぜなら、それを含まない任意のコンパクト集合上での積分は有限だからである。正式には、 である。[ ^{23]しかし、この関数は}コーシー主値として、全体としての超関数に拡張することができる。^[24] ${\textstyle x=0}$ ${\textstyle 1/x\in L_{1,loc}(\mathbb {R} \setminus 0)}$ ${\textstyle \mathbb {R} }$

• 上の例から、次のような疑問が浮かび上がります。局所的に積分可能なすべての関数は、超関数として全体に拡張できるのでしょうか？答えは「いいえ」です。反例として、次の関数が挙げられます。 ${\textstyle \Omega \subsetneq \mathbb {R} }$ ${\textstyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{1/x}&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}}$

は 上のいかなる分布も定義しない。^[25] ${\textstyle \mathbb {R} }$

• 次の例は、前の例と同様に、不規則特異係数を持つ微分演算子への超関数の理論の適用における基本的な反例として役立つ、 に属する関数です。 ${\textstyle L_{1,{\text{loc}}}(\mathbb {R} ,0)}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}k_{1}e^{1/x^{2}}&x>0,\\0&x=0,\\k_{2}e^{1/x^{2}}&x<0,\end{cases}}}$

ここで、およびは複素定数であり、は次の一次の 初等非フックス微分方程式の一般解である。 ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$

${\displaystyle x^{3}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}+2f=0.}$

また、またはがゼロでない場合、全体の分布は定義されません。したがって、このような方程式の唯一の分布大域解はゼロ分布であり、これは、微分方程式の理論のこの分野では、分布理論の方法が、同じ理論の他の分野、特に定数係数の線型微分方程式の理論で達成されたのと同じ成功を収めることは期待できないことを示しています。^[26] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle k_{1}}$ ${\textstyle k_{2}}$

アプリケーション

局所可積分関数は分布理論において重要な役割を果たしており、有界変分関数のような様々な関数や関数空間の定義に現れる。さらに、ラドン・ニコディムの定理においても、あらゆる測度の絶対連続部分を特徴づけることで現れる。

参照

• コンパクトセット
• 分布（数学）
• ルベーグの密度定理
• ルベーグの微分定理
• ルベーグ積分
• Lpスペース

注記

1. Gel'fand & Shilov (1964, p. 3)による。
2. 例えば(Schwartz 1998, p. 18)および(Vladimirov 2002, p. 3)を参照。
3. Vladimirov (2002, p. 1) が選択したこの定義のもう 1 つのわずかなバリエーションは、 のみを要求することです(または、Gilbarg & Trudinger (2001, p. 9) の表記法を使用すると、 )。これは、が に厳密に含まれることを意味します。つまり、 は、与えられた周囲集合に厳密に含まれるコンパクト閉包を持つ集合です。 ${\textstyle K\Subset \Omega }$ ${\textstyle K\subset \subset \Omega }$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \Omega }$
4. 例えば(Strichartz 2003, pp. 12–13)を参照。
5. このアプローチはシュワルツ（1998、pp. 16-17）によって賞賛され、彼もその有用性に注目しましたが、定義1を使用して局所的に積分可能な関数を定義しました。
6. Maz'yaとShaposhnikovaはソボレフ空間の「局所化」版のみを定義しているが、引用されている書籍で使用されている他のすべてのバナッハ空間の局所版を定義する際にも同じ手法が用いられると明示的に主張している点に注意する必要がある。特に、 は44ページで導入されている。 ${\textstyle W^{k,p}(\Omega )}$ ${\textstyle L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$
7. ハウスドルフ距離と混同しないでください。
8. コンパクト性の概念は、与えられた抽象測度空間上で明らかに定義されなければならない。
9. これは、例えばCafiero（1959、pp.285-342）やSaks（1937、第1章）によって開発されたアプローチであるが、局所的に積分可能なケースを明示的に扱っていない。
10. (Dinculeanu 1966, p. 163)。
11. (Dinculeanu 1966, p. 7).
12. (ディンクレアヌ、1966 年、8-9 ページ)。
13. たとえば (Vladimirov 2002, p. 3) および (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4) を参照。
14. 前のセクションで述べたように、これは基本的な詳細を展開せずに Maz'ya & Shaposhnikova (2009) が採用したアプローチです。
15. 正確には、それらはのベクトル部分空間を形成します。定理 2の系 1を参照してください。 ${\textstyle L_{p,{\text{loc}}}(\Omega )}$
16. 例えば、(Vladimirov 2002、p. 3)では、カリグラフィのℒが使用されています。
17. この結果については、(Gilbarg & Trudinger 2001, p. 147)、(Maz'ya & Poborchi 1997, p. 5)、(Maz'ja 1985, p. 6)、(Maz'ya 2011, p. 2)の短い注釈を参照してください。
18. 言い換えると、これは単に、異なるインデックスを持つファミリーの 2 つのセットの境界が接しないことを意味します。
19. Gilbarg & Trudinger (2001, p. 147) と Maz'ya & Poborchi (1997, p. 5) は証明の方法をごく簡単に概説しているが、(Maz'ja 1985, p. 6) と (Maz'ya 2011, p. 2) ではそれが既知の結果として想定され、そこからその後の展開が始まる。
20. Saks (1937, p. 36) によれば、「が有限測度の集合、あるいはより一般的には有限測度の集合の列の和である場合、上の集合の加法関数が上で絶対連続であるためには、この集合の関数が の点の何らかの積分可能な関数の不定積分であることが必要かつ十分である ${\textstyle E}$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\mathfrak {X}}}}$ ${\textstyle E}$ ${\textstyle E}$ ${\textstyle E}$」。 がルベーグ測度であると仮定すると、この2つの記述は同値であると見なせる。 ${\textstyle \mu }$
21. 例えば(Hörmander 1990, p. 37)を参照。
22. (Strichartz 2003、p.12)を参照。
23. (Schwartz 1998, p. 19)を参照。
24. (Vladimirov 2002、pp. 19–21) を参照。
25. (Vladimirov 2002、p. 21) を参照。
26. この例についての簡単な議論については、(Schwartz 1998、pp. 131–132)を参照してください。

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外部リンク

• ローランド、トッド. 「局所的に積分可能」. MathWorld .
• Vinogradova, IA (2001) [1994]、「局所積分関数」、数学百科事典、EMS Press

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