センサーネットワークにおける位置推定

Estimating objects's location in wireless sensor networks

無線センサーネットワークにおける位置推定とは、ノイズの多い測定値の集合から物体の位置を推定する問題です。これらの測定値は、複数のセンサーによって分散的に取得されます。

使用

多くの民生用および軍事用アプリケーションでは、特定のエリア内の物体を識別できる監視が必要です。例えば、民家の玄関を1台のカメラで監視するなどです。監視対象物体に対して監視エリアが広い場合、複数の場所に複数のセンサー（例：赤外線検出器）を設置する必要があります。これらのセンサーは、集中監視装置またはコンピュータアプリケーションによって監視されます。通信、電力、帯域幅の要件を満たすには、センサー、伝送、処理の効率的な設計が求められます。

ハーバード大学のCodeBlueシステム^[1]は、病院施設内に多数のセンサーを配置することで、スタッフが危機に瀕した患者の位置を特定できる例です。さらに、このセンサーアレイは、患者が移動中でも医療情報をオンラインで記録することを可能にします。軍事用途（例えば、セキュリティエリアへの侵入者の位置特定）も、無線センサーネットワークを構築するのに適した候補です。

設定

関心位置をとします。一連のセンサーが、既知または未知の確率密度関数(PDF) による加法ノイズを含んだ測定値を取得します。センサーは測定値を中央プロセッサに送信します。番目のセンサーは関数 によってエンコードします。データを処理するアプリケーションは、事前定義された推定規則 を適用します。メッセージ関数のセットと融合規則は、推定誤差を最小化するように設計されています。例えば、平均二乗誤差(MSE) を最小化します。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{n}=\theta +w_{n}}$ ${\displaystyle w_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle m_{n}(x_{n})}$ ${\displaystyle {\hat {\theta }}=f(m_{1}(x_{1}),\cdot ,m_{N}(x_{N}))}$ ${\displaystyle m_{n},\,1\leq n\leq N}$ ${\displaystyle f(m_{1}(x_{1}),\cdot ,m_{N}(x_{N}))}$ ${\displaystyle \mathbb {E} \|\theta -{\hat {\theta }}\|^{2}}$

理想的には、センサーは測定値を処理センターに直接送信します。つまり、 です。この設定では、最尤推定量（MLE）は、MSE が白色ガウスノイズ を仮定する不偏推定量です。次のセクションでは、センサーの帯域幅が1ビット伝送に制限されている場合（つまり=0 または 1）の代替設計を示します。 ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle m_{n}(x_{n})=x_{n}}$ ${\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} \|\theta -{\hat {\theta }}\|^{2}={\text{var}}({\hat {\theta }})={\frac {\sigma ^{2}}{N}}}$ ${\displaystyle w_{n}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle m_{n}(x_{n})}$

既知のノイズ PDF

ガウスノイズシステムは次のように設計できます。 ${\displaystyle w_{n}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$

^[2]

${\displaystyle m_{n}(x_{n})=I(x_{n}-\tau )={\begin{cases}1&x_{n}>\tau \\0&x_{n}\leq \tau \end{cases}}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}=\tau -F^{-1}\left({\frac {1}{N}}\sum \limits _{n=1}^{N}m_{n}(x_{n})\right),\quad F(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\int \limits _{x}^{\infty }e^{-w^{2}/2\sigma ^{2}}\,dw}$

ここで、 のおおよその位置に関する事前知識を活用するパラメータがあります。この設計では、 のランダム値はベルヌーイ~に分布しています。処理センターは、受信したビットを平均しての推定値を形成し、次にそれを使用して の推定値を見つけます。この推定値の分散の最適（かつ実行不可能）な選択が であることが検証できます。これは、帯域幅制約のない MLE の分散の倍にしかなりません。が の実際の値から逸脱するにつれて分散は増加しますが、 MSE の係数がおよそ 2 のままである限り、 であることが示されます。の適切な値を選択することは、このモデルが のおおよその位置に関する事前知識を前提としていないため、この方法の主な欠点です。粗い推定を使用してこの制限を克服することができます。ただし、各センサーに追加のハードウェアが必要になります。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle m_{n}(x_{n})}$ ${\displaystyle (q=F(\tau -\theta ))}$ ${\displaystyle {\hat {q}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \tau =\theta }$ ${\displaystyle {\frac {\pi \sigma ^{2}}{4}}}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle |\tau -\theta |\sim \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \theta }$

任意の（ただし既知の）ノイズPDFを持つシステム設計は^[3]に示されている。この設定では、ノイズとノイズは既知の区間 内に限定されていると仮定されている。 ^[3]の推定値もまた、 の定数倍であるMSEに達する。この手法では、 の事前知識が、従来の手法のパラメータに取って代わる。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle w_{n}}$ ${\displaystyle [-U,U]}$ ${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{N}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \tau }$

不明なノイズパラメータ

正確なPDFパラメータが不明な場合でも、ノイズモデルが利用できる場合があります（例えば、 が未知のガウス分布PDFなど）。 ^[4]で提案されているこの設定のアイデアは、2つの閾値 を用いることで、センサーは で設計され、他のセンサーは を使用するという ものです。処理中心推定規則は以下のように生成されます。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}}$ ${\displaystyle N/2}$ ${\displaystyle m_{A}(x)=I(x-\tau _{1})}$ ${\displaystyle N/2}$ ${\displaystyle m_{B}(x)=I(x-\tau _{2})}$

${\displaystyle {\hat {q}}_{1}={\frac {2}{N}}\sum \limits _{n=1}^{N/2}m_{A}(x_{n}),\quad {\hat {q}}_{2}={\frac {2}{N}}\sum \limits _{n=1+N/2}^{N}m_{B}(x_{n})}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {F^{-1}({\hat {q}}_{2})\tau _{1}-F^{-1}({\hat {q}}_{1})\tau _{2}}{F^{-1}({\hat {q}}_{2})-F^{-1}({\hat {q}}_{1})}},\quad F(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{x}^{\infty }e^{-v^{2}/2}dw}$

これまでと同様に、制約のない MLE 分散の妥当な係数を持つ MSEの値を設定するには、事前の知識が必要です 。 ${\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}}$

不明なノイズ PDF

^[3]のシステム設計において、ノイズPDFの構造が不明な場合を想定したモデル。このシナリオでは以下のモデルが考慮される。

${\displaystyle x_{n}=\theta +w_{n},\quad n=1,\dots ,N}$

${\displaystyle \theta \in [-U,U]}$

${\displaystyle w_{n}\in {\mathcal {P}},{\text{ that is }}:w_{n}{\text{ is bounded to }}[-U,U],\mathbb {E} (w_{n})=0}$

さらに、メッセージ機能は次のような形式に限定されています。

${\displaystyle m_{n}(x_{n})={\begin{cases}1&x\in S_{n}\\0&x\notin S_{n}\end{cases}}}$

ここで、それぞれはのサブセットです。融合推定量は線形、すなわち に制限されます。 ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle [-2U,2U]}$ ${\displaystyle {\hat {\theta }}=\sum \limits _{n=1}^{N}\alpha _{n}m_{n}(x_{n})}$

設計では、決定区間と係数を設定する必要があります。直感的には、決定区間 を に設定しての最初のビットをエンコードするようにセンサーを割り当て、次にセンサーは決定区間 を に設定して 2 番目のビットをエンコードする、などとなります。これらの決定区間と対応する係数のセットにより、のすべての可能な値および のすべての実現 を満たす推定値である普遍的な -不偏推定量 が生成されることがわかります。実際、決定区間のこの直感的な設計は、次の意味でも最適です。上記の設計 では、普遍的な-不偏性 プロパティを満たす必要がありますが、理論的な議論では、決定区間の最適な（より複雑な）設計には が必要であることが示されています。つまり、センサーの数はほぼ最適です。^[3]では 、対象となる MSE で十分に小さい を使用する場合、この設計では、制約のない帯域幅設定で MLE と同じ分散を実現するために、センサーの数の 4 倍が必要になるとも説明されています。 ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{n}}$ ${\displaystyle N/2}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [0,2U]}$ ${\displaystyle N/4}$ ${\displaystyle [-U,0]\cup [U,2U]}$ ${\displaystyle \alpha _{n}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle |\mathbb {E} (\theta -{\hat {\theta }})|<\delta }$ ${\displaystyle \theta \in [-U,U]}$ ${\displaystyle w_{n}\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle N\geq \lceil \log {\frac {8U}{\delta }}\rceil }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle N\geq \lceil \log {\frac {2U}{\delta }}\rceil }$ ${\displaystyle \mathbb {E} \|\theta -{\hat {\theta }}\|\leq \epsilon ^{2}}$ ${\displaystyle \epsilon }$

追加情報

センサーアレイの設計には、電力配分の最適化とシステム全体の通信トラフィックの最小化が求められる。^[5]で提案されている設計では、センサーに確率的量子化を適用し、フュージョンセンターで一度だけ解くシンプルな最適化プログラムを採用している。フュージョンセンターは、センサーにパラメータセットをブロードキャストすることで、エネルギー制約を満たすメッセージング機能の設計を最終決定する。別の研究では、同様のアプローチを用いて無線センサーアレイにおける分散検出に取り組んでいる。^[6] ${\displaystyle m_{n}(\cdot )}$

外部リンク

• CodeBlue ハーバード グループは、さまざまな医療アプリケーション向けのワイヤレス センサー ネットワーク テクノロジーの開発に取り組んでいます。

参考文献

1. “アーカイブコピー”. 2008年4月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。2008年4月30日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
2. Ribeiro, Alejandro; Georgios B. Giannakis (2006年3月). 「無線センサーネットワークにおける帯域幅制約付き分散推定 - パートI：ガウス分布の場合」. IEEE Transactions on Signal Processing . 54 (3): 1131. Bibcode :2006ITSP...54.1131R. doi :10.1109/TSP.2005.863009. S2CID  16223482.
3. Luo, Zhi-Quan (2005年6月). 「帯域幅制約のあるセンサーネットワークにおけるユニバーサル分散推定」. IEEE Transactions on Information Theory . 51 (6): 2210– 2219. Bibcode :2005ITIT...51.2210L. doi :10.1109/TIT.2005.847692. S2CID  11574873.
4. Ribeiro, Alejandro; Georgios B. Giannakis (2006年7月). 「無線センサーネットワークにおける帯域幅制約付き分散推定 - パートII：未知の確率密度関数」. IEEE Transactions on Signal Processing . 54 (7): 2784. Bibcode :2006ITSP...54.2784R. doi :10.1109/TSP.2006.874366. S2CID  11410878.
5. Xiao, Jin-Jun; Andrea J. Goldsmith (2005年6月). 「エネルギー制約下におけるセンサーネットワークにおける共同推定」. IEEE Transactions on Signal Processing .
6. Xiao, Jin-Jun; Zhi-Quan Luo (2005年8月). 「帯域幅制約のあるセンサーネットワークにおけるユニバーサル分散検出」. IEEE Transactions on Signal Processing . 53 (8): 2617. Bibcode :2005ITSP...53.2617X. doi :10.1109/TSP.2005.850334. S2CID  8072065.

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