Continuous probability distribution for a non-negative random variable
対数ロジスティック 確率密度関数
α = 1 , {\displaystyle \alpha =1,} 凡例に示されている 値 β {\displaystyle \beta } 累積分布関数
α = 1 , {\displaystyle \alpha =1,} 凡例に示されている 値 β {\displaystyle \beta } パラメータ α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 鱗の 形状 β > 0 {\displaystyle \beta >0} サポート x ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle x\in [0,\infty )} PDF ( β / α ) ( x / α ) β − 1 ( 1 + ( x / α ) β ) 2 {\displaystyle {\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}} CDF 1 1 + ( x / α ) − β {\displaystyle {1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}} 四分位数 α ( p 1 − p ) 1 / β . {\displaystyle \alpha \left({\frac {p}{1-p}}\right)^{1/\beta }.} 平均 α π / β sin ( π / β ) {\displaystyle {\alpha \,\pi /\beta \over \sin(\pi /\beta )}} の場合 、それ以外の場合は未定義 β > 1 {\displaystyle \beta >1} 中央値 α {\displaystyle \alpha \,} モード α ( β − 1 β + 1 ) 1 / β {\displaystyle \alpha \left({\frac {\beta -1}{\beta +1}}\right)^{1/\beta }} の場合 、0、そうでない場合 β > 1 {\displaystyle \beta >1} 分散 本文参照 エントロピ ln α − ln β + 2 {\displaystyle \ln \alpha \ -\ln \beta \ +2} MGF β α − β ∫ 0 ∞ e t x x β − 1 ( 1 + ( x / α ) β ) 2 d x {\displaystyle \beta \alpha ^{-\beta }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{tx}x^{\beta -1}}{(1+(x/\alpha )^{\beta })^{2}}}dx} [1] ここで ベータ関数は [2] である 。 = ∑ n = 0 ∞ ( α t ) n n ! B ( 1 + n β , 1 − n β ) {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha t)^{n}}{n!}}\mathrm {B} (1+{\frac {n}{\beta }},1-{\frac {n}{\beta }})} B {\displaystyle \mathrm {B} } CF β α − β ∫ 0 ∞ e i t x x β − 1 ( 1 + ( x / α ) β ) 2 d x {\displaystyle \beta \alpha ^{-\beta }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{itx}x^{\beta -1}}{(1+(x/\alpha )^{\beta })^{2}}}dx} [1] ここで ベータ関数は [2] である 。 = ∑ n = 0 ∞ ( i α t ) n n ! B ( 1 + n β , 1 − n β ) {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(i\alpha t)^{n}}{n!}}\mathrm {B} (1+{\frac {n}{\beta }},1-{\frac {n}{\beta }})} B {\displaystyle \mathrm {B} } 予想される不足額 α 1 − p ( π β c s c ( π β ) − B p ( 1 β + 1 , 1 − 1 β ) ) {\displaystyle {\frac {\alpha }{1-p}}\left({\frac {\pi }{\beta }}csc\left({\frac {\pi }{\beta }}\right)-B_{p}\left({\frac {1}{\beta }}+1,1-{\frac {1}{\beta }}\right)\right)} ここで 不完全ベータ関数である。 [3] B y ( A 1 , A 2 ) = ∫ 0 y p A 1 − 1 ( 1 − p ) A 2 − 1 d p {\displaystyle B_{y}(A_{1},A_{2})=\int _{0}^{y}p^{A_{1}-1}(1-p)^{A_{2}-1}dp}
確率 ・ 統計学 において 、 対数ロジスティック分布 （ 経済学 では フィスク分布 として知られる）は、 非負 確率変数に対する 連続確率分布である。 生存分析 において、例えば 癌の診断または治療後の 死亡率のように、当初は発生率が増加し、その後は減少する事象の パラメトリックモデル として 用いられる。また、 水文学 においては河川流量や 降水 量をモデル化するために、 経済学においては 富 や 所得 の分配の簡易モデルとして 、そして ネットワーク においてはネットワークとソフトウェアの両方を考慮したデータの伝送時間をモデル化するために用いられている。
対数ロジスティック分布は、 対数が ロジスティック分布 に 従う 確率変数の確率分布です。 対数正規分布 と形状は似ています が、 裾が重く なっています。対数正規分布とは異なり、その 累積分布関数は 閉じた形 で表すことができます 。
キャラクター設定 分布のパラメータ化にはいくつかの異なる方法があります。ここで示す方法は、合理的に解釈可能なパラメータと、 累積分布関数 の単純な形を与えます。 [4] [5] パラメータは 尺度パラメータ であり 、分布の 中央値で もあります。パラメータは 形状パラメータ です 。分布は のとき 単峰性で あり、その 分散は が増加するにつれて減少します 。 α > 0 {\displaystyle \alpha >0} β > 0 {\displaystyle \beta >0} β > 1 {\displaystyle \beta >1} β {\displaystyle \beta }
累積 分布関数 は
F ( x ; α , β ) = 1 1 + ( x / α ) − β = ( x / α ) β 1 + ( x / α ) β = x β α β + x β {\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&={1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}\\[5pt]&={(x/\alpha )^{\beta } \over 1+(x/\alpha )^{\beta }}\\[5pt]&={x^{\beta } \over \alpha ^{\beta }+x^{\beta }}\end{aligned}}} どこ 、 、 x > 0 {\displaystyle x>0} α > 0 {\displaystyle \alpha >0} β > 0. {\displaystyle \beta >0.}
確率 密度関数 は
f ( x ; α , β ) = ( β / α ) ( x / α ) β − 1 ( 1 + ( x / α ) β ) 2 {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}}
代替パラメータ化 代替パラメータ化は、ロジスティック分布に類似した ペアによって与えられます。 μ , s {\displaystyle \mu ,s}
μ = ln ( α ) {\displaystyle \mu =\ln(\alpha )} s = 1 / β {\displaystyle s=1/\beta }
プロパティ
瞬間 番目 の生 モーメントは 、[6] [7] で与えられる場合 にのみ存在する。 k {\displaystyle k} k < β , {\displaystyle k<\beta ,}
E ( X k ) = α k B ( 1 − k / β , 1 + k / β ) = α k k π / β sin ( k π / β ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\operatorname {B} (1-k/\beta ,1+k/\beta )\\[5pt]&=\alpha ^{k}\,{k\pi /\beta \over \sin(k\pi /\beta )}\end{aligned}}} ここで、Bは ベータ関数 である。この式から、 平均 、 分散 、 歪度 、 尖度を 表す式を導くことができる。 便宜上、平均は次のように
書く。 b = π / β {\displaystyle b=\pi /\beta }
E ( X ) = α b / sin b , β > 1 , {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\alpha b/\sin b,\quad \beta >1,} そして分散は
Var ( X ) = α 2 ( 2 b / sin 2 b − b 2 / sin 2 b ) , β > 2. {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta >2.} 歪度と尖度の明示的な表現は長い。 [8] が無限大に近づく
につれて 平均はに近づき 、分散と歪度はゼロに近づき、過剰尖度は6/5に近づく（以下の関連分布も参照）。 β {\displaystyle \beta } α {\displaystyle \alpha }
四分位数 分 位関数 （逆累積分布関数）は次のようになります。
F − 1 ( p ; α , β ) = α ( p 1 − p ) 1 / β . {\displaystyle F^{-1}(p;\alpha ,\beta )=\alpha \left({\frac {p}{1-p}}\right)^{1/\beta }.} したがって、 中央値 は 、下位 四分位 数は 、上位四分位数は となります 。 α {\displaystyle \alpha } 3 − 1 / β α {\displaystyle 3^{-1/\beta }\alpha } 3 1 / β α {\displaystyle 3^{1/\beta }\alpha }
アプリケーション ハザード関数 。 凡例に示されている 値 α = 1 , {\displaystyle \alpha =1,} β {\displaystyle \beta }
生存分析 対数ロジスティック分布は、 生存分析 のための パラメトリックモデル の一つです。より一般的に用いられる ワイブル分布 とは異なり、非 単調な ハザード関数 を持つことがあります。つまり、 ハザード関数が 単峰性 （ ≤ 1の場合、ハザードは単調に減少する）を持つ場合です。累積分布関数を閉じた形で表すことができるという事実は、 打ち切り のある生存データの解析に特に有用です。 [9] 対数ロジスティック分布は、グループ間の差異を 許容することで 、あるいはより一般的には、影響は与えるものの共変量を導入することで、 加速故障時間モデル の基礎として使用することができます。共変量の線形関数として モデル化すること もできます。 [10] β > 1 , {\displaystyle \beta >1,} β {\displaystyle \beta } α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } log ( α ) {\displaystyle \log(\alpha )}
生存 関数 は
S ( t ) = 1 − F ( t ) = [ 1 + ( t / α ) β ] − 1 , {\displaystyle S(t)=1-F(t)=[1+(t/\alpha )^{\beta }]^{-1},\,} そして ハザード関数 は
h ( t ) = f ( t ) S ( t ) = ( β / α ) ( t / α ) β − 1 1 + ( t / α ) β . {\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{S(t)}}={\frac {(\beta /\alpha )(t/\alpha )^{\beta -1}}{1+(t/\alpha )^{\beta }}}.} 形状パラメータを持つ対数ロジスティック分布は、幾何分布に従う 計数過程 における時間間隔の周辺分布である 。 [11] β = 1 {\displaystyle \beta =1}
水文学 10月の1日降雨量の最大値に適合した累積対数ロジスティック分布 対数ロジスティック分布は水文学において河川流量や降水量をモデル化するために使われてきた。 [4] [5]
最大日降水量や月間・年間河川流量などの極端な値は、しばしば 対数正規分布 に従う。 [12] しかし、対数正規分布は数値近似を必要とする。解析的に解ける対数ロジスティック分布は対数正規分布に類似しているため、代わりに用いることができる。
青い図は、10月の1日降水量の最大値の順位付けに対数ロジスティック分布を当てはめた例を示しており、 二項分布 に基づく90% 信頼区間を示しています。降水量データは、 累積頻度分析 の一部として プロット位置 r /( n +1)で表されています 。
経済 対数ロジスティック分布は、 経済学 において 富 や 所得の 分配の単純なモデルとして使われており、フィスク分布として知られている。 [13] ジニ係数 は である 。 [14] 1 / β {\displaystyle 1/\beta }
ネットワーキング 対数ロジスティック分布は、データがコンピュータ内のソフトウェア・ユーザー・アプリケーションから送信され、その応答が他のコンピュータ、アプリケーション、ネットワーク・セグメントを経由して処理された後に、同じアプリケーションによって受信されるまでの時間間隔を表すモデルとして用いられてきた。これらの処理の大部分、あるいは全てにおいて、厳密な リアルタイム 性は保証されていない（例えば、アプリケーションが インターネットに接続されたリモート ・センサーからのデータを表示している場合など）。これらの時間系列における急激なレジームの変化が適切に検出される限り、対数ロジスティック分布は、 対数正規分布 などの他の分布よりも、より正確な確率モデルであることが示されてきた。 [15]
もし そうなら X ∼ LL ( α , β ) {\displaystyle X\sim \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )} k X ∼ LL ( k α , β ) . {\displaystyle kX\sim \operatorname {LL} (k\alpha ,\beta ).} もし そうなら X ∼ LL ( α , β ) {\displaystyle X\sim \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )} X k ∼ LL ( α k , β / | k | ) . {\displaystyle X^{k}\sim \operatorname {LL} (\alpha ^{k},\beta /|k|).} LL ( α , β ) ∼ Dagum ( 1 , α , β ) {\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\sim {\textrm {Dagum}}(1,\alpha ,\beta )} （ ダガム分布 ）。 LL ( α , β ) ∼ SinghMaddala ( 1 , α , β ) {\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\sim {\textrm {SinghMaddala}}(1,\alpha ,\beta )} ( シン-マッダラ分布 )。 LL ( γ , σ ) ∼ β ′ ( 1 , 1 , γ , σ ) {\displaystyle {\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )\sim \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )} （ ベータプライム分布 ）。 Xが スケールパラメータと形状パラメータ を持つ対数ロジスティック分布に従う 場合 、 Y = log( X )は 位置パラメータ とスケールパラメータを持つ ロジスティック分布に従う。 α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } log ( α ) {\displaystyle \log(\alpha )} 1 / β . {\displaystyle 1/\beta .} 対数ロジスティック分布の 形状パラメータが増加するにつれて、その形状は（非常に狭い） ロジスティック分布 の形状にますます似てきます。非公式には、 β {\displaystyle \beta } LL ( α , β ) → L ( α , α / β ) as β → ∞ . {\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\to L(\alpha ,\alpha /\beta )\quad {\text{as}}\quad \beta \to \infty .} 形状パラメータと尺度パラメータ を持つ対数ロジスティック分布は、 位置パラメータ 、形状パラメータ 、尺度パラメータを持つ 一般化パレート分布 と同じである。 β = 1 {\displaystyle \beta =1} α {\displaystyle \alpha } μ = 0 {\displaystyle \mu =0} ξ = 1 {\displaystyle \xi =1} α : {\displaystyle \alpha :} LL ( α , 1 ) = GPD ( 1 , α , 1 ) . {\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,1)=\operatorname {GPD} (1,\alpha ,1).} 別のパラメータ（シフトパラメータ）を追加すると、正式には シフトされた対数ロジスティック分布 になりますが、これは通常、分布が上限または下限になるように異なるパラメータ化で考慮されます。
一般化 いくつかの異なる分布は、 対数ロジスティック分布を 特別なケースとして含んでいるため、一般化対数ロジスティック分布と呼ばれることがあります。 [14] これらには、 バール型XII分布（ シン・マッダラ分布 とも呼ばれる ）と ダガム分布が 含まれ、どちらも第2の形状パラメータを含みます。これらは、さらに一般的な 第2種一般化ベータ分布 の特別なケースです。対数ロジスティック分布のより直接的な一般化として、 シフト対数ロジスティック分布 があります。
もう1つの 一般化対数ロジスティック分布は、 メタログ分布 の対数変換です。 この変換では、 のべき級数展開を ロジスティック分布 パラメータ および に置き換えます 。結果として得られる 対数メタログ分布は 、形状の柔軟性が高く、単純な閉形式 PDF と 分位関数 を持ち、線形最小二乗法でデータに適合でき、対数ロジスティック分布が特別なケースであることを包含します。 p {\displaystyle p} μ {\displaystyle \mu } σ {\displaystyle \sigma }
参照
参考文献 ^ ab Leemis, Larry. 「対数ロジスティック分布」 （PDF） . ウィリアム・アンド・メアリー大学. ^ ab Ekawati, D.; Warsono; Kurniasari, D. (2014). 「対数ロジスティック分布のモーメント、キュムラント、および特性関数について」. IPTEK, the Journal for Technology and Science . 25 (3): 78– 82. ^ Norton, Matthew; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2019). 「共通確率分布のCVaRとbPOEの計算とポートフォリオ最適化および密度推定への応用」 (PDF) . Annals of Operations Research . 299 ( 1– 2). Springer: 1281– 1315. arXiv : 1811.11301 . doi :10.1007/s10479-019-03373-1. S2CID 254231768. 2023年2月 27日閲覧 . ^ ab Shoukri, MM; Mian, IUM; Tracy, DS (1988)、「対数ロジスティック分布の推定値のサンプリング特性とカナダ降水量データへの応用」、 カナダ統計ジャーナル 、 16 (3): 223– 236、 doi :10.2307/3314729、 JSTOR 3314729 ^ ab Ashkar, Fahim; Mahdi, Smail (2006)、「一般化モーメントによる対数ロジスティック分布のフィッティング」、 Journal of Hydrology 、 328 ( 3–4 ): 694– 703、 Bibcode :2006JHyd..328..694A、 doi :10.1016/j.jhydrol.2006.01.014 ^ Tadikamalla, Pandu R.; Johnson, Norman L. (1982)、「ロジスティック変数の変換によって生成される頻度曲線システム」、 Biometrika 、 69 (2): 461– 465、 CiteSeerX 10.1.1.153.9487 、 doi :10.1093/biomet/69.2.461、 JSTOR 2335422 ^ Tadikamalla, Pandu R. (1980)、「バー分布と関連分布の考察」、 国際統計評論 、 48 (3): 337–344 、 doi :10.2307/1402945、 JSTOR 1402945 ^ McLaughlin, Michael P. (2001), A Compendium of Common Probability Distributions (PDF) , p. A–37 , 2008年2月15日 閲覧 ^ ベネット、スティーブ（1983）、「生存データのための対数ロジスティック回帰モデル」、 王立統計学会誌、シリーズC 、 32 （2）： 165-171 、 doi ：10.2307/2347295、 JSTOR 2347295 ^ コレット、デイブ（2003）、 医学研究における生存データのモデリング （第2版）、CRCプレス、 ISBN 978-1-58488-325-8 ^ Di Crescenzo, Antonio; Pellerey, Franco (2019)、「幾何学的計数過程のいくつかの結果と応用」、 応用確率論における方法論と計算 、 21 (1): 203– 233、 doi :10.1007/s11009-018-9649-9、 S2CID 254793416 ^ Ritzema, HP編 (1994)「頻度分析と回帰分析」第6章「排水の原理と応用」、出版物16、国際土地改良研究所（ILRI）、ワーゲニンゲン、オランダ、pp. 175–224、 ISBN 978-90-70754-33-4 ^ フィスク、PR（1961）、「所得分布の段階的変化」、 エコノメトリカ 、 29 （2）： 171-185 、 doi ：10.2307/1909287、 JSTOR 1909287 ^ ab Kleiber, C.; Kotz, S (2003), 統計的サイズ分布の経済学と保険数理科学 、Wiley、 ISBN 978-0-471-15064-0 ^ Gago-Benítez, A.; Fernández-Madrigal J.-A., Cruz-Martín, A. (2013)、「ネットワーク化されたテレロボットにおけるセンサフロー遅延のログロジスティックモデリング」、 IEEE Sensors Journal 、 13 (8)、IEEE Sensors 13(8): 2944– 2953、 Bibcode :2013ISenJ..13.2944G、 doi :10.1109/JSEN.2013.2263381、 S2CID 47511693 {{citation }}: CS1 maint: multiple names: authors list (link )
離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\alpha,\beta)&={1 \over 1+(x/\alpha)^{-\beta}}\\[5pt]&={(x/\alpha)^{\beta} \over 1+(x/\alpha)^{\beta}}\\[5pt]&={x^{\beta} \over \alpha^{\beta}+x^{\beta}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c860ad7a222ad327423c3055592271831f9ef2d7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\operatorname {B} (1-k/\beta ,1+k/\beta )\\[5pt]&=\alpha ^{k}\,{k\pi /\beta \over \sin(k\pi /\beta )}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b5a55c120c2cb22fd80a26bdfb1cf59dab8107)
![{\displaystyle S(t)=1-F(t)=[1+(t/\alpha )^{\beta }]^{-1},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf9d6e8b7c075f857d131d44f7ac07c67e43eb7)
![{\displaystyle G={\sin(\pi /\beta) \over {\alpha \pi /\beta}}\int _{0}^{\infty}{dx \over {[1+(x/\alpha)^{-\beta}][1+(x/\alpha)^{\beta}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5f6975ebec640621226812e31e296fb7fd60db)
