対数形式

代数幾何学および複素多様体理論において、対数 微分形式とは、ある種の極を持つ微分形式である。この概念はピエール・ドリーニュによって導入された。^[1]つまり、対数微分は、開部分多様体（極の約数の補集合）に関する情報を与えるために必要な、最も緩やかな特異性を持つ。（この考え方は、後述するド・ラームの定理のいくつかのバージョンによって明確化される。）

X を複素多様体、D ⊂ Xを被約因子（異なる余次元1の複素部分空間の和）、 ω をX − D上の正則p -形式とする。 ω とd ω の両方がDに沿って高々1の位数の極を持つ場合、 ω はDに沿って対数極を持つという。 ω は対数p -形式とも呼ばれる。Dに沿って対数極を持つp -形式は、 X上の有理型p -形式の部分層を形成し、次のように表記される 。

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D).}$

この名称は、複素解析において 、 であることに由来します。これは、原点に対数極を持つ複素数C上の 1-形式の典型的な例です。 のような微分形式は、対数関数に相当するものが存在しない純粋に代数的な文脈において意味を持ちます。 ${\displaystyle d(\log z)=dz/z}$ ${\displaystyle dz/z}$ ${\displaystyle dz/z}$

対数ド・ラム複素数

X を複素多様体とし、D をX上の被約因子とする。 の定義と外微分d がd ² = 0を満たすという事実から、 ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$

${\displaystyle d\Omega _{X}^{p}(\log D)(U)\subset \Omega _{X}^{p+1}(\log D)(U)}$

Xの任意の開部分集合Uに対して、対数微分は層の複体を形成し、これは因子Dに関連付けられた対数ド・ラーム複体として知られる。これは直接像の部分複体であり、は包含であり、はX − D上の正則形式の層の複体である。 ${\displaystyle (\Omega _{X}^{\bullet }(\log D),d)}$ ${\displaystyle j_{*}(\Omega _{X-D}^{\bullet })}$ ${\displaystyle j:X-D\rightarrow X}$ ${\displaystyle \Omega _{X-D}^{\bullet }}$

特に興味深いのは、 D が正規交差を持つ場合である。つまり、Dは局所的に、横方向に交差する余次元 1 の複素部分多様体の和となる。この場合、対数微分形式の層は、 D の外側で非零となる正則関数の1-形式と、正則微分形式によって生成されるの部分代数である。 [ ^2] ${\displaystyle j_{*}(\Omega _{X-D}^{\bullet })}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle df/f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {d(fg)}{fg}}={\frac {df}{f}}+{\frac {dg}{g}}.}$

具体的には、複素多様体X上の正規交差を持つ因子Dの場合、各点xには開近傍Uが存在し、その近傍にはx が原点となり、Dはある に対して次式で定義されるような正則座標関数が存在する。開集合U上では、 の切断は^[3]で与えられる。 ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle z_{1}\cdots z_{k}=0}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$

${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)={\mathcal {O}}_{X}{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}_{X}{\frac {dz_{k}}{z_{k}}}\oplus {\mathcal {O}}_{X}dz_{k+1}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}_{X}dz_{n}.}$

これは上の正則ベクトル束を記述する。すると、任意の に対して、ベクトル束はのk番目の外乗となる。 ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{k}(\log D)}$

${\displaystyle \Omega _{X}^{k}(\log D)=\bigwedge ^{k}\Omega _{X}^{1}(\log D).}$

対数接線束 とは、 への双対ベクトル束のことである。明示的には、 の切断は、Dのすべての滑らかな点でDに接するX上の正則ベクトル場である。^[4] ${\displaystyle TX(-\log D)}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$ ${\displaystyle TX(-\log D)}$

対数微分と特異コホモロジー

X を複素多様体とし、D をX上の正規交差を持つ因子とする。ドリーニュは、対数微分を用いてド・ラームの定理の正則類似を証明した。すなわち、

${\displaystyle H^{k}(X,\Omega _{X}^{\bullet }(\log D))\cong H^{k}(X-D,\mathbf {C} ),}$

ここで、左辺は層の複体における係数を持つXのコホモロジーを表し、これはハイパーコホモロジーと呼ばれることもある。これは層の複体の自然包含から導かれる。

${\displaystyle \Omega _{X}^{\bullet }(\log D)\rightarrow j_{*}\Omega _{X-D}^{\bullet }}$

準同型であること。^[5]

代数幾何学における対数微分

代数幾何学では、体上の滑らかなスキームX上の、単純な正規交差を持つ因子に関する対数微分p形式 のベクトル束は、上記のように定義されます。 の切断は、 とd ω の両方がDに沿って高々 1 の位数の極を持つような上の (代数的) 微分形式 ω です。^[6]明示的に、に対して に存在し、に対して には存在しない閉点xについて、の開近傍U上の正則関数で、がに対してU の内部で によって定義される閉部分スキームであり、x がによって定義されるUの閉部分スキームであるとします。このとき、 U上の の切断の基底は次のように与えられます。 ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$ ${\displaystyle D=\sum D_{j}}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$ ${\displaystyle X-D}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq k}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle j>k}$ ${\displaystyle u_{j}}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle u_{j}=0}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq k}$ ${\displaystyle u_{1}=\cdots =u_{n}=0}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$

${\displaystyle {du_{1} \over u_{1}},\dots ,{du_{k} \over u_{k}},\,du_{k+1},\dots ,du_{n}.}$

これはX上のベクトル束を記述し、 は のp番目の外冪です。 ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$

X上には正確な連接層の列が存在する。

${\displaystyle 0\to \Omega _{X}^{1}\to \Omega _{X}^{1}(\log D){\overset {\beta }{\to }}\oplus _{j}({i_{j}})_{*}{\mathcal {O}}_{D_{j}}\to 0,}$

ここでβ はDの既約成分の包含である。ここで β は留数写像と呼ばれる。したがって、この列は、 Dに沿って対数極を持つ 1-形式が正則（つまり、極を持たない）である必要十分条件は、その留数がゼロであることである。より一般に、任意のp ≥ 0に対して、 X上には連接層の正確な列が存在する。 ${\displaystyle i_{j}:D_{j}\to X}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{X}^{p}\to \Omega _{X}^{p}(\log D){\overset {\beta }{\to }}\oplus _{j}({i_{j}})_{*}\Omega _{D_{j}}^{p-1}(\log(D-D_{j}))\to \cdots \to 0,}$

ここで、和は与えられた次元の因子D _jの交点におけるすべての既約成分にわたっています。ここでも、βは留数写像と呼ばれます。

明示的には、の1つの成分のみと交わるの開部分集合において、が によって局所的に定義される場合、に沿った対数 -形式の留数​​は次のように決定される。正規p -形式の留数​​は0であるが、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D_{j}}$

${\displaystyle {\text{Res}}_{D_{j}}{\bigg (}{\frac {df}{f}}\wedge \alpha {\bigg )}=\alpha |_{D_{j}}}$

任意の正規形に対してである。^[7]留数をが留数 を持つと定義する著者もいるが、これはここでの定義とは符号 の点で異なる。 ${\displaystyle (p-1)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha \wedge (df/f)}$ ${\displaystyle \alpha |_{D_{j}}}$ ${\displaystyle (-1)^{p-1}}$

残留物の例

複素数上では、因子に沿って対数極を持つ微分形式の留数​​は、の周りのループ上の積分の結果と見ることができる。この文脈では、留数はポアンカレ留数と呼ばれることがある。 ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{j}}$

具体的な例として、^[8]では、複素射影平面上の楕円曲線Dを考える。これはアフィン座標系では次式で定義される。ここで、とは複素数である。Dはにおける3次の滑らかな超曲面であり、特に、単純な法線交差を持つ因子となる。アフィン座標系では、には有理型2次元形式が存在し、 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=\{[x,y,z]\}}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle g(x,y)=y^{2}-f(x)=0,}$ ${\displaystyle f(x)=x(x-1)(x-\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0,1}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$

${\displaystyle \omega ={\frac {dx\wedge dy}{g(x,y)}},}$

これはDに沿って対数極を持つ。標準束は 直線束と同型なので、 の極の因子は3次でなければならない。したがって、 の極の因子はDのみで構成される（特に、は無限遠直線に沿って極を持たない）。 ω のDに沿った留数は、正則1-形式によって与えられる。 ${\displaystyle K_{\mathbf {P} ^{2}}=\Omega _{\mathbf {P} ^{2}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-3)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle z=0}$

${\displaystyle {\text{Res}}_{D}(\omega )=\left.{\frac {dy}{\partial g/\partial x}}\right|_{D}=\left.-{\frac {dx}{\partial g/\partial y}}\right|_{D}=\left.-{\frac {1}{2}}{\frac {dx}{y}}\right|_{D}.}$

したがって、は楕円曲線 の射影曲線D上の正則 1 形式に拡張されます。 ${\displaystyle dx/y|_{D}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$

ここで考察する留数写像は線型写像の一部であり、「ギシン写像」とも呼ばれる。これは、複素多様体Xの任意の滑らかな因子Dに関連付けられたギシン列の一部である。 ${\displaystyle H^{0}(\mathbf {P} ^{2},\Omega _{\mathbf {P} ^{2}}^{2}(\log D))\to H^{0}(D,\Omega _{D}^{1})}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbf {P} ^{2}-D,\mathbf {C} )\to H^{1}(D,\mathbf {C} )}$

${\displaystyle \cdots \to H^{j-2}(D)\to H^{j}(X)\to H^{j}(X-D)\to H^{j-1}(D)\to \cdots .}$

歴史用語

19世紀の楕円関数理論では、対数極を持つ1-形式は第二種積分（そして、残念ながら一貫性に欠けるが、第三種微分とも呼ばれる）と呼ばれることもあった。例えば、C言語の格子に付随するワイエルシュトラスのゼータ関数は、次のように書けるという意味で「第二種積分」と呼ばれた。 ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \zeta (z)={\frac {\sigma '(z)}{\sigma (z)}}.}$

現代的な用語で言えば、 はC上の 1-形式であり、は 上に対数極を持つ。これは、 がワイエルシュトラスシグマ関数の零点集合であるためである。 ${\displaystyle \zeta (z)dz=d\sigma /\sigma }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \sigma (z).}$

滑らかな多様体に対する混合ホッジ理論

複素数上では、ドリーニュはアレクサンダー・グロタンディークの代数的ド・ラーム定理を強化し、連接層コホモロジーと特異コホモロジーを関連付けることを証明した。すなわち、C上の任意の滑らかなスキームXと、単純正規交差Dを持つ因子に対して、自然同型が存在する。

${\displaystyle H^{k}(X,\Omega _{X}^{\bullet }(\log D))\cong H^{k}(X-D,\mathbf {C} )}$

各整数kに対して、左側のグループはザリスキー位相を用いて定義され、右側のグループは古典的（ユークリッド）位相を用いて定義される。^[9]

さらに、XがC上で滑らかかつ固有である場合、結果として得られるスペクトル列

${\displaystyle E_{1}^{pq}=H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D))\Rightarrow H^{p+q}(X-D,\mathbf {C} )}$

は で退化する。^[10]従って、複素係数を持つ のコホモロジーには減少する濾過、すなわちホッジ濾過があり、それに関連する次数付きベクトル空間は代数的に定義された群 である。 ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle X-D}$ ${\displaystyle H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D))}$

これは、ドリーニュが任意の複素代数多様体のコホモロジー上に定義した混合ホッジ構造の一部である。特に、の有理コホモロジー上にも重みフィルタリングが存在する。結果として得られる のフィルタリングは、対数ド・ラーム複体を用いて構成できる。すなわち、によって 増加するフィルタリングを定義する。 ${\displaystyle X-D}$ ${\displaystyle H^{*}(X-D,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle W_{\bullet }\Omega _{X}^{p}(\log D)}$

${\displaystyle W_{m}\Omega _{X}^{p}(\log D)={\begin{cases}0&m<0\\\Omega _{X}^{p-m}\cdot \Omega _{X}^{m}(\log D)&0\leq m\leq p\\\Omega _{X}^{p}(\log D)&m\geq p.\end{cases}}}$

コホモロジー上の結果として得られる濾過は重み濾過である: ^[11]

${\displaystyle W_{m}H^{k}(X-D,\mathbf {C} )={\text{Im}}(H^{k}(X,W_{m-k}\Omega _{X}^{\bullet }(\log D))\rightarrow H^{k}(X-D,\mathbf {C} )).}$

これらの結果に基づき、エレーヌ・エスノーとエックハルト・フィーウェグは、小平・秋月・中野の消失定理を対数微分を用いて一般化した。すなわち、 X をn次元の滑らかな複素射影多様体、DをX上の単純正規交差を持つ因子、L をX上の十分な直線束とする。すると、

${\displaystyle H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D)\otimes L)=0}$

そして

${\displaystyle H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D)\otimes O_{X}(-D)\otimes L)=0}$

全てのために。^[12] ${\displaystyle p+q>n}$

参照

• 補助処方
• ボレル・ムーアホモロジー
• 第一種微分
• ログ構造
• 混合ホッジ構造
• 留数定理
• ポアンカレ残差

注記

1. Deligne (1970)、セクション II.3。
2. Deligne (1970)、定義 II.3.1。
3. Peters & Steenbrink (2008)、セクション 4.1。
4. Deligne (1970)、セクション II.3.9。
5. Deligne (1970)、命題 II.3.13。
6. Deligne (1970)、補題 II.3.2.1。
7. Deligne（1970）、セクションII.3.5からII.3.7; Griffiths & Harris（1994）、セクション1.1。
8. グリフィス＆ハリス（1994）、セクション2.1。
9. ドリーニュ (1970)、コロレール II.6.10。
10. ドリーニュ (1971)、コロレール 3.2.13。
11. Peters & Steenbrink (2008)、定理 4.2。
12. Esnault & Viehweg (1992)、系 6.4。

参考文献

• Deligne、Pierre (1970)、Equations Différentielles à Points Singuliers Réguliers、数学講義ノート、vol. 163、Springer-Verlag、土井：10.1007/BFb0061194、ISBN 3540051902、MR  0417174、OCLC  169357
• ドリーニュ、ピエール(1971)、「Théorie de Hodge II」、Publ.数学。 IHÉS、40 : 5– 57、土井:10.1007/BF02684692、MR  0498551、S2CID  118967613
• Esnault, エレーヌ; Viehweg、Eckart (1992)、Lectures on Vanishing Theorems、Birkhäuser、doi :10.1007/978-3-0348-8600-0、ISBN 978-3-7643-2822-1、MR  1193913
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ(1994) [1978]、「代数幾何学の原理」、Wiley Classics Library、Wiley Interscience、doi :10.1002/9781118032527、ISBN 0-471-05059-8、MR  0507725
• ピーターズ、クリスAM。Steenbrink、Joseph HM (2008)、混合ホッジ構造、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ / 数学における現代調査シリーズ、vol. 52、スプリンガー、土井：10.1007/978-3-540-77017-6、ISBN 978-3-540-77017-6、MR  2393625

外部リンク

• Aise Johan de Jong、代数 de Rham コホモロジー。

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