指数対数分布

確率論と統計学において、指数対数分布（EL分布）は、故障率が減少する寿命分布の一種で、[0,∞) の区間で定義されます。この分布は、2つのパラメータとでパラメータ化されます。 $p\in (0,1)$ $\beta >0$

導入

生物、デバイス、材料などの寿命に関する研究は、生物学および工学において非常に重要です。一般的に、デバイスの経時的な挙動が「加工硬化」（工学用語）または「耐性」（生物学用語）によって特徴付けられる場合、デバイスの寿命は故障率（DFR）の減少を示すことが期待されます。

指数対数モデルとその様々な特性は、タマスビとレザエイ（2008）によって研究されている。^[1]このモデルは、人口異質性の概念（複利化のプロセスを通じて）に基づいて導き出された。

EL分布の確率密度関数（pdf）は、TahmasbiとRezaei（2008）[1]によって与えられている^。

f(x;p,\beta ):=\left({\frac {1}{-\ln p}}\right){\frac {\beta (1-p)e^{-\beta x}}{1-(1-p)e^{-\beta x}}}

ここで、およびである。この関数はで厳密に減少し、のときにゼロに近づく。EL分布の密度のモード値はx=0で次のように与えられる。 $p\in (0,1)$ $\beta >0$ $x$ $x\rightarrow \infty$

{\frac {\beta (1-p)}{-p\ln p}}

EL は、のように、速度パラメータを持つ指数分布に簡約されます。 $\beta$ $p\rightarrow 1$

累積分布関数は次のように与えられる。

F(x;p,\beta )=1-{\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}},

したがって、中央値は次のように与えられる。

x_{\text{median}}={\frac {\ln(1+{\sqrt {p}})}{\beta }}

。

のモーメント生成関数は、pdfから直接積分することで決定でき、次のように表される。 $X$

M_{X}(t)=E(e^{tX})=-{\frac {\beta (1-p)}{\ln p(\beta -t)}}F_{2,1}\left(\left[1,{\frac {\beta -t}{\beta }}\right],\left[{\frac {2\beta -t}{\beta }}\right],1-p\right),

ここでは超幾何関数である。この関数はBarnesの拡張超幾何関数とも呼ばれる。の定義は $F_{2,1}$ $F_{N,D}({n,d},z)$

F_{N,D}(n,d,z):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}\prod _{i=1}^{p}\Gamma (n_{i}+k)\Gamma ^{-1}(n_{i})}{\Gamma (k+1)\prod _{i=1}^{q}\Gamma (d_{i}+k)\Gamma ^{-1}(d_{i})}}

ここで、および。 $n=[n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}]$ ${d}=[d_{1},d_{2},\dots ,d_{D}]$

のモーメントはから導出できる。の場合、生のモーメントは次のように与えられる。 $X$ $M_{X}(t)$ $r\in \mathbb {N}$

E(X^{r};p,\beta )=-r!{\frac {\operatorname {Li} _{r+1}(1-p)}{\beta ^{r}\ln p}},

ここで、は次のように定義される多重対数関数である。 ^[2] $\operatorname {Li} _{a}(z)$

\operatorname {Li} _{a}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{a}}}.

E(X)=-{\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-p)}{\beta \ln p}},

\operatorname {Var} (X)=-{\frac {2\operatorname {Li} _{3}(1-p)}{\beta ^{2}\ln p}}-\left({\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-p)}{\beta \ln p}}\right)^{2}.

EL分布の生存関数（信頼性関数とも呼ばれる）とハザード関数（故障率関数とも呼ばれる）は、それぞれ次のように表される。

s(x)={\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}},

h(x)={\frac {-\beta (1-p)e^{-\beta x}}{(1-(1-p)e^{-\beta x})\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}}.

EL分布の平均残存寿命は次のように与えられる。

m(x_{0};p,\beta )=E(X-x_{0}|X\geq x_{0};\beta ,p)=-{\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-(1-p)e^{-\beta x_{0}})}{\beta \ln(1-(1-p)e^{-\beta x_{0}})}}

二重対数関数はどこにありますか $\operatorname {Li} _{2}$

U を標準一様分布からのランダム変量とする。すると、 Uの次の変換はパラメータpと βを持つ EL 分布に従う。

X={\frac {1}{\beta }}\ln \left({\frac {1-p}{1-p^{U}}}\right).

パラメータ推定にはEMアルゴリズムが用いられる。この手法はTahmasbiとRezaei (2008)で議論されている^[1] 。EM反復法は次のように与えられる。

\beta ^{(h+1)}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1-(1-p^{(h)})e^{-\beta ^{(h)}x_{i}}}}\right)^{-1},

p^{(h+1)}={\frac {-n(1-p^{(h+1)})}{\ln(p^{(h+1)})\sum _{i=1}^{n}\{1-(1-p^{(h)})e^{-\beta ^{(h)}x_{i}}\}^{-1}}}.

^ abc Tahmasbi, R., Rezaei, S., (2008), 「故障率の減少を伴う2パラメータ寿命分布」,計算統計とデータ分析, 52 (8), 3889-3901. doi :10.1016/j.csda.2007.12.002
^ Lewin, L. (1981) Polylogarithms and Associated Functions、北ホラント州、アムステルダム。
^ Ciumara, Roxana; Preda, Vasile (2009)「ワイブル対数分布における寿命解析とその特性」L. Sakalauskas、C. Skiadas、EK Zavadskas (編)『応用確率モデルとデータ分析』Wayback Machineに2011年5月18日アーカイブ、第13回国際会議、選抜論文。ビリニュス、2009年 ISBN 978-9955-28-463-5

指数対数分布（EL）
確率密度関数
パラメータ	$p\in (0,1)$ $\beta >0$
サポート	$x\in [0,\infty )$
PDF	${\frac {1}{-\ln p}}\times {\frac {\beta (1-p)e^{-\beta x}}{1-(1-p)e^{-\beta x}}}$
CDF	$1-{\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}}$
平均	$-{\frac {{\text{polylog}}(2,1-p)}{\beta \ln p}}$
中央値	${\frac {\ln(1+{\sqrt {p}})}{\beta }}$
モード	0
分散	$-{\frac {2{\text{polylog}}(3,1-p)}{\beta ^{2}\ln p}}$ $-{\frac {{\text{polylog}}^{2}(2,1-p)}{\beta ^{2}\ln ^{2}p}}$
MGF	$-{\frac {\beta (1-p)}{\ln p(\beta -t)}}{\text{hypergeom}}_{2,1}$ $([1,{\frac {\beta -t}{\beta }}],[{\frac {2\beta -t}{\beta }}],1-p)$