ロマックス分布

Heavy-tail probability distribution

ロマックス
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \alpha >0}$ 形状（実数） ${\displaystyle \lambda >0}$ スケール（実数）
サポート	${\displaystyle x\geq 0}$
PDF	${\displaystyle {\alpha \over \lambda }\left(1+{\frac {x}{\lambda }}\right)^{-(\alpha +1)}}$
CDF	${\displaystyle 1-\left(1+{\frac {x}{\lambda }}\right)^{-\alpha }}$
四分位数	${\displaystyle \lambda \left((1-p)^{-1/\alpha }-1\right)}$
平均	${\displaystyle {\frac {\lambda }{\alpha -1}}{\text{ for }}\alpha >1}$; それ以外の場合は未定義
中央値	${\displaystyle \lambda \left({\sqrt[{\alpha }]{2}}-1\right)}$
モード	0
分散	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\lambda ^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&\alpha >2\\\infty &1<\alpha \leq 2\\{\text{undefined}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3\,}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4\,}$
エントロピ	${\displaystyle 1+{\frac {1}{\alpha }}-\log {\frac {\alpha }{\beta }}}$
MGF	${\displaystyle \alpha e^{-\lambda t}(-\lambda t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-\lambda t)\,}$
CF	${\displaystyle \alpha e^{-i\lambda t}(-i\lambda t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-i\lambda t)\,}$

ロマックス分布（条件付きでパレートII型分布とも呼ばれる）は、ビジネス、経済学、保険数理学、待ち行列理論、インターネットトラフィックモデリングにおいて用いられる裾野の広い 確率分布である。 ^{[1] [2] [3]} K. S. ロマックスにちなんで名付けられた。本質的には、サポートがゼロから始まるようにシフトされたパレート分布 である。 ^[4]

キャラクター設定

確率密度関数

ロマックス分布の確率密度関数（pdf）は次のように与えられる。

${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha }{\lambda }}\left(1+{\frac {x}{\lambda }}\right)^{-(\alpha +1)},\qquad x\geq 0,}$

形状パラメータと尺度パラメータを持つ。密度は、パレートI型分布との関係をより明確に示すような書き直しが可能である。つまり、 ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \lambda >0}$

${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha \lambda ^{\alpha }}{(x+\lambda )^{\alpha +1}}}.}$

非中心モーメント

番目の非中心モーメントは、形状パラメータがを厳密に超える場合にのみ存在し、その場合、モーメントは値 ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle E\left[X^{\nu }\right]}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle E\left(X^{\nu }\right)={\frac {\lambda ^{\nu }\Gamma (\alpha -\nu )\Gamma (1+\nu )}{\Gamma (\alpha )}}.}$

関連ディストリビューション

パレート分布との関係

ロマックス分布は、サポートがゼロから始まるようにシフトされたパレートI型分布です。具体的には、

${\displaystyle {\text{If }}Y\sim \operatorname {Pareto} (x_{m}=\lambda ,\alpha ),{\text{ then }}Y-x_{m}\sim \operatorname {Lomax} (\alpha ,\lambda ).}$

ロマックス分布は、x _m  =  λ、μ  = 0のパレートII型分布である： ^[5]

${\displaystyle {\text{If }}X\sim \operatorname {Lomax} (\alpha ,\lambda ){\text{ then }}X\sim {\text{P(II)}}\left(x_{m}=\lambda ,\alpha ,\mu =0\right).}$

一般化パレート分布との関係

ロマックス分布は、一般化パレート分布の特殊なケースです。具体的には、

${\displaystyle \mu =0,~\xi ={1 \over \alpha },~\sigma ={\lambda \over \alpha }.}$

ベータプライム分布との関係

尺度パラメータλ = 1の Lomax 分布は、ベータプライム分布の特殊なケースです。XがLomax 分布に従う場合、 となります。 ${\displaystyle {\frac {X}{\lambda }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}$

F分布との関係

形状パラメータα = 1、尺度パラメータλ = 1の Lomax 分布の密度は であり、これはF (2,2) 分布と同じ分布です。これは、指数分布に従う 2 つの独立かつ同一分布の確率変数の比の分布です。 ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(1+x)^{2}}}}$

q指数分布との関係

ロマックス分布はq指数分布の特殊なケースです。q指数分布は、この分布を有界区間でサポートするように拡張します。ロマックスパラメータは次のように与えられます。

${\displaystyle \alpha ={{2-q} \over {q-1}},~\lambda ={1 \over \lambda _{q}(q-1)}.}$

ロジスティック分布との関係

Lomax(形状 = 1.0、スケール = λ )分布変数の対数は、位置log( λ )とスケール1.0 のロジスティック分布に従います。

ガンマ指数（スケール）混合接続

ロマックス分布は指数分布の混合として現れ 、 ここで速度の混合分布はガンマ分布となる。λ | k , θ ~ Gamma(shape = k , scale = θ )かつX | λ ~ Exponential ( rate = λ ) と すれば、X  |  k , θの周辺分布はロマックス(shape = k , scale = 1/ θ )となる。速度パラメータはスケールパラメータに等価的に再パラメータ化できるため、ロマックス分布は指数分布のスケール混合となる（指数スケールパラメータは逆ガンマ分布に従う）。

参照

• べき乗則
• 複合確率分布
• 超指数分布（指数分布の有限混合）
• 正規指数ガンマ分布（ロマックス混合分布による正規尺度混合）

参考文献

1. Lomax, KS (1954)「事業 の失敗：失敗データの分析のもう一つの例」アメリカ統計学会誌、49、847-852。JSTOR 2281544
2. Johnson, NL; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). 「20種類のパレート分布」.連続単変量分布. 第1巻（第2版）. ニューヨーク: Wiley. p. 573.
3. J. Chen, J., Addie, RG, Zukerman. M., Neame, TD (2015)「ポアソン・ローマックス・バースト・プロセスによって供給されるキューの性能評価」、 IEEE Communications Letters、19、3、367–370。
4. Van Hauwermeiren M and Vose D (2009). A Compendium of Distributions [ebook]. Vose Software, ゲント, ベルギー. www.vosesoftware.com で入手可能.
5. クライバー、クリスチャン、コッツ、サミュエル（2003）、経済学と保険数理科学における統計的サイズ分布、ワイリー確率統計シリーズ、第470巻、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、p.60、ISBN 9780471457169。

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