ループ代数

物理学で興味深いリー代数の種類

数学において、ループ代数はリー代数の一種であり、理論物理学において特に興味深いものです。

意味

体上のリー代数において、 がローラン多項式空間である場合、継承された括弧 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[t,t^{-1}]}$ $${\displaystyle L{\mathfrak {g}}:={\mathfrak {g}}\otimes K[t,t^{-1}],}$$ $${\displaystyle [X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}]=[X,Y]\otimes t^{m+n}.}$$

幾何学的定義

がリー代数である場合、円多様体S 1上の（複素）^{滑らかな関数}の代数（与えられた周期の滑らかな複素数値周期関数と同値） C ^∞ ( S ¹ )のテンソル積は、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(S^{1}),}$$

は、リー括弧が次のように与えられる無限次元リー代数である。

$${\displaystyle [g_{1}\otimes f_{1},g_{2}\otimes f_{2}]=[g_{1},g_{2}]\otimes f_{1}f_{2}.}$$

ここでg ₁とg ₂はの要素であり、f ₁とf _{2 は}^C∞ ( S 1 ⁾の要素である。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

これは、 S ¹の各点についてを無限個コピーしたものの直積とは正確には一致しません。これは、滑らかさの制約により、 S ¹からへの滑らかな写像、つまりにおける滑らかなパラメータ付きループとして考えることができます。これがループ代数と呼ばれる理由です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

グラデーション

を線形部分空間として定義すると、括弧は積に制限され、したがってループ代数は次数付きリー代数構造になります。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}={\mathfrak {g}}\otimes t^{i}<L{\mathfrak {g}},}$ $${\displaystyle [\cdot \,,\,\cdot ]:{\mathfrak {g}}_{i}\times {\mathfrak {g}}_{j}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{i+j},}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

特に、括弧は「ゼロモード」部分代数に制限されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\cong {\mathfrak {g}}}$

導出

ループ代数には自然な導出があり、慣例的に として作用すると 表されるので、正式に と考えることができます。 ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle d:L{\mathfrak {g}}\rightarrow L{\mathfrak {g}}}$$ $${\displaystyle d(X\otimes t^{n})=nX\otimes t^{n}}$$ ${\displaystyle d=t{\frac {d}{dt}}}$

物理学、特に共形場理論で使用されるアフィン リー代数を定義する必要があります。

ループグループ

同様に、 S ¹からリー群 Gへの滑らかな写像全体の集合は、ループ群と呼ばれる無限次元リー群（その上に関数微分を定義できるという意味でのリー群）を形成する。ループ群のリー代数は、対応するループ代数である。

ループ代数の中心的拡張としてのアフィンリー代数

が半単純リー代数である場合、そのループ代数の非自明な中心拡大はアフィンリー代数を生じる。さらに、この中心拡大は一意である。^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle L{\mathfrak {g}}}$

中心拡張は、中心元 （つまり、すべての に対して） を付加し、ループ代数の括弧を （ここでは、キリング形式 ）に変更することによって与えられます。 ${\displaystyle {\hat {k}}}$ ${\displaystyle X\otimes t^{n}\in L{\mathfrak {g}}}$ $${\displaystyle [{\hat {k}},X\otimes t^{n}]=0,}$$ $${\displaystyle [X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}]=[X,Y]\otimes t^{m+n}+mB(X,Y)\delta _{m+n,0}{\hat {k}},}$$ ${\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}$

中心拡張はベクトル空間として（通常の定義では、より一般的には任意の体としてとらえることができます）。 ${\displaystyle L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

コサイクル

リー代数コホモロジーの言語を用いると、中心拡大はループ代数上の2-コサイクルを用いて記述できる。これは、を満たす 写像である。そして、括弧に追加される項は、 $${\displaystyle \varphi :L{\mathfrak {g}}\times L{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathbb {C} }$$ $${\displaystyle \varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n})=mB(X,Y)\delta _{m+n,0}.}$$ ${\displaystyle \varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}){\hat {k}}.}$

アフィンリー代数

物理学では、中心拡大はアフィン・リー代数と呼ばれることがあります。数学では、これは不十分であり、完全なアフィン・リー代数はベクトル空間^[2]であり、 ここでは上で定義した微分です。 ${\displaystyle L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}=L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}\oplus \mathbb {C} d}$$ ${\displaystyle d}$

この空間では、キリング形式を非退化形式に拡張することができ、アフィン リー代数のルート システム解析が可能になります。

参考文献

1. Kac, VG (1990).無限次元リー代数（第3版）.ケンブリッジ大学出版局. 演習7.8. ISBN 978-0-521-37215-2。
2. P. Di Francesco、P. Mathieu、および D. Sénéchal、共形場の理論、1997、ISBN 0-387-94785-X

• フックス、ユルゲン（1992）、アフィンリー代数と量子群、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-48412-X

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