ローレンツ力

泡箱内の高速で移動する荷電粒子に作用するローレンツ力。正電荷と負電荷の軌道は反対方向に曲がります。

電磁気学において、ローレンツ力とは、電場と磁場によって荷電粒子に及ぼされる力です。この力は、電磁環境における荷電粒子の運動を決定し、電気モーターや粒子加速器の動作からプラズマの挙動に至るまで、多くの物理現象の基礎となっています。

ローレンツ力には2つの要素があります。電気力は、正電荷の場合は電場の方向に、負電荷の場合は電場と反対方向に作用し、粒子を直線的に加速させる傾向があります。磁力は粒子の速度と磁場の両方に垂直であり、磁場の方向に応じて、粒子を曲線軌道に沿って移動させます。曲線軌道は、多くの場合、円軌道または螺旋軌道となります。

力の法則のバリエーションは、電流が流れる電線にかかる磁力（ラプラス力と呼ばれることもある）と、ファラデーの電磁誘導の法則によって説明される磁場を通過する電線ループの起電力を記述する。^{[ 1 ]}

ローレンツ力の法則は、電荷と電流によって電場と磁場がどのように生成されるかを記述するマクスウェル方程式と共に、古典電気力学の基礎を形成している。^{[ 2 ] [ 3 ]}この法則は特殊相対論では有効であるが、量子効果が重要になる小さなスケールでは破綻する。特に、粒子の固有スピンは、ローレンツ力では説明できない電磁場との相互作用を新たに生じさせる。

歴史家たちは、この法則は1865年に発表されたジェームズ・クラーク・マクスウェルの論文に暗示されていると示唆している。^{[ 1 ]}ヘンドリック・ローレンツは1895年に完全な導出に到達し、^{[ 4 ]}オリバー・ヘヴィサイドが磁力の寄与を正しく特定してから数年後に電気力の寄与を特定した。^{[ 5 ]}

定義と特性

点粒子

運動中の荷電粒子（電荷q ）に働くローレンツ力F （瞬間速度v）。E場とB場は空間と時間によって変化する。

外部電場Eと磁場Bによって、速度vで運動する電荷qを持つ点粒子に作用するローレンツ力F は、次のように与えられる（SI量の定義^{[ a ]}）：^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$

ここで、×はベクトル外積であり、太字で示された量はすべてベクトルです。成分形式では、力は次のように表されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=q\left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right),\\[0.5ex]F_{y}&=q\left(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}\right),\\[0.5ex]F_{z}&=q\left(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}\right).\end{aligned}}}$$

一般に、電場と磁場は位置と時間の両方に依存します。荷電粒子が空間を移動するとき、ある瞬間に荷電粒子に作用する力は、その時点の位置、速度、およびその位置における電場の瞬間値に依存します。したがって、ローレンツ力は次のように明示的に表すことができます。 ここで、 rは荷電粒子の位置ベクトル、tは時間、上線は時間微分です。 $${\displaystyle \mathbf {F} \left(\mathbf {r} (t),{\dot {\mathbf {r} }}(t),t,q\right)\,=\,q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+{\dot {\mathbf {r} }}(t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]}$$

電磁力全体は2つの部分から構成されます。1つは電場の方向に作用し粒子を直線的に加速する電気力q E 、もう1つは速度と磁場の両方に垂直に作用する磁気力q ( v × B )です。 ^{[ 8 ]}一部の資料ではローレンツ力を両方の成分の合計として参照していますが、他の資料では磁気部分のみを指す用語として使用されています。^{[ 9 ]}

磁力の方向は、しばしば右手の法則を用いて決定されます。人差し指が速度の方向を指し、中指が磁場の方向を指す場合、親指は力の方向を指します（正電荷の場合）。均一な磁場では、この法則はサイクロトロン運動として知られる円軌道または螺旋軌道を描きます。^{[ 10 ]}

プラズマ中の電子やイオンの運動など、多くの実用的な状況において、磁場の効果は2つの要素の重ね合わせとして近似できます。すなわち、誘導中心と呼ばれる点の周りの比較的速い円運動と、この点の比較的遅いドリフトです。ドリフト速度は、様々な物質の電荷状態、質量、または温度に応じて異なる場合があります。これらの違いは、電流や化学分離につながる可能性があります。

磁力は粒子の運動方向には影響を与えますが、粒子に対して機械的な仕事は行いません。電磁場から粒子へエネルギーが伝達される速度は、粒子の速度と磁力の内積で与えられます。 ここで、ベクトルは常に他のベクトルとのクロス積に垂直であるため、磁気項はゼロになります。つまり、スカラー三重積はゼロです。したがって、粒子との間でエネルギーを伝達し、運動エネルギーを変化させることができるのは電場だけです。^{[ 11 ]} $${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\mathbf {v} \cdot (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )=q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} .}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$

いくつかの教科書では、ローレンツ力の法則を電場と磁場の基本的な定義として用いている。^{[ 12 ] [ 13 ]}つまり、場 EとBは、電荷q と速度vの試験粒子が、たとえ電荷が存在しないとしても、その場で受ける仮想的な力Fによって、空間と時間の各点で一意に定義される。この定義は、光速（つまり、vの大きさ、| v | ≈ c）に近づく粒子に対しても有効である。^{[ 14 ]}しかし、ローレンツ力の法則を電場と磁場の定義として用いることは、必ずしも最も基本的なアプローチではないと主張する者もいる。^{[ 15 ] [ 16 ]}

連続電荷分布

運動する連続電荷分布（電荷密度ρ ）に対するローレンツ力（単位体積あたり）f。3次元電流密度Jは、体積要素dVにおける電荷要素dqの運動に対応し、連続体全体にわたって変化する。

ローレンツ力の法則は、導体やプラズマに見られるような連続的な電荷分布を用いても表すことができます。電荷 を持つ移動電荷分布の小さな要素に対して 、微小力は次のように与えられます。 両辺を電荷要素の 体積で割ると、力の密度が得られます。 ここでは電荷密度、は単位体積あたりの力です。電流密度を導入すると、これは次のように書き直すことができます。^{[ 17 ]} ${\displaystyle \mathrm {d} q}$ $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$$ ${\displaystyle \mathrm {d} V}$ $${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\textstyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }$

総力は電荷分布の 体積積分である。 $${\displaystyle \mathbf {F} =\int \left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right)\mathrm {d} V.}$$

マクスウェル方程式とベクトル計算の恒等式を用いることで、力の密度は電荷密度と電流密度への明示的な参照を排除して再定式化できる。力の密度は、電磁場とその導関数を用いて次のように表すことができる。 ここで、はマクスウェル応力テンソル、はテンソル発散、は光速、はポインティングベクトルである。この形の力の法則は、場におけるエネルギー流束と電荷分布に及ぼされる力を関連付ける。（詳細は古典電磁気学の共変定式化を参照。） ^{[ 18 ]} $${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \nabla \cdot }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

ローレンツ力に対応する電力密度、つまり物質へのエネルギー伝達率は次のように表されます。 $${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} .}$$

物質内部では、全電荷密度と電流密度は自由部分と束縛部分に分けられます。自由電荷密度、自由電流密度 、分極、磁化の観点から、力密度は次のように表されます。 この形式は、磁場によって永久磁石に作用するトルクを表します。関連する電力密度は、 ${\displaystyle \rho _{\rm {f}}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{\rm {f}}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ $${\displaystyle \mathbf {f} =\left(\rho _{\rm {f}}-\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\mathbf {E} +\left(\mathbf {J} _{\rm {f}}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\times \mathbf {B} .}$$ $${\displaystyle \left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\cdot \mathbf {E} .}$$

ガウス系における定式化

上記の式は、最も一般的なSI単位系で用いられる電場と磁場の定義規則を用いています。しかし、同じ物理学（例えば電子に働く力など）を扱う他の規則も可能であり、用いられています。一部の理論物理学者や凝縮系実験者の間ではやや一般的である、より 古いCGSガウス単位系で用いられる規則では、代わりに となります。 ここで、 cは光速です。この式は若干異なって見えますが、以下の関係式が成り立つため、等価です。^{[ a ]} ε ₀ は真空の誘電率、μ ₀は真空の透磁率です。実際には、添え字の「G」と「SI」は省略され、使用される規則（および単位）は文脈から判断する必要があります。 $${\displaystyle \mathbf {F} =q_{\mathrm {G} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {G} }+{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} _{\mathrm {G} }\right),}$$ $${\displaystyle q_{\mathrm {G} }={\frac {q_{\mathrm {SI} }}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}},\quad \mathbf {E} _{\mathrm {G} }={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {G} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0}}}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} }},\quad c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}.}$$

電流を流す電線にかかる力

磁場B内の電流を流す導線にかかる力の右手の法則

定常電流を流す電線を外部磁場中に置くと、電線中の各電荷はローレンツ力を受けます。これらの力が合わさって、電線には正味のマクロな力が生じます。均一磁場中の直線で静止した電線の場合、この力は次式で表されます。^{[ 19 ]} ここで、 Iは電流、ℓは大きさが電線の長さ、方向が電線に沿って電流の方向と一致するベクトルです。 $${\displaystyle \mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} ,}$$

電線が直線でない場合や磁場が不均一な場合、各微小区間に式を適用し、それらの力を積分することで、全体の力を計算することができる。この場合、定常電流が流れる静止した電線にかかる正味の力は^{[ 20 ]である。} ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$ $${\displaystyle \mathbf {F} =I\int (\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} ).}$$

この法則の応用例の一つに、アンペールの力の法則がある。これは、電流を流す2本の電線間の引力または斥力を説明する。それぞれの電線は、ビオ・サバールの法則で説明される磁場を発生させ、この磁場はもう一方の電線にローレンツ力を及ぼす。電流が同じ方向に流れる場合、電線は引き合い、電流が反対方向に流れる場合、電線は斥力する。この相互作用が、 1メートル離れた2本の直線で平行な電線間に1メートルあたり2×10-7ニュートンの力を発生させる定電流として、^アンペアがかつて定義されていたことの根拠となった。 ^{[ 21 ]}

もう一つの応用例として誘導電動機があります。固定子巻線の交流電流は移動する磁界を発生させ、それが回転子に電流を誘導します。その結果、回転子に作用するローレンツ力によってトルクが生じ、電動機が回転します。したがって、電流によって磁界が発生する場合にはローレンツ力の法則は適用されませんが、磁界の移動によって電流が誘導される場合には適用されます。 ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

電磁誘導

磁場中を導体を移動させることによって誘発される運動 EMF。

変化する磁場によって誘導される変圧器の EMF。

導電ループ内の電荷に作用するローレンツ力は、回路内の電荷を押し流すことで電流を発生させます。この効果は、誘導電動機および発電機の基本的なメカニズムです。これは起電力（emf）という量で説明され、これは電磁誘導理論において中心的な役割を果たします。抵抗を含む単純な回路では、起電力はオームの法則に従って電流を発生させます。^{[ 22 ]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}=IR}$

ローレンツ力の両成分、すなわち電気と磁気は、回路内の起電力に寄与しますが、そのメカニズムは異なります。どちらの場合も、誘導起電力はファラデーの磁束則によって記述されます。これは、閉ループの周囲の起電力は、ループを通過する磁束の負の変化率に等しいというものです。 ^{[ 23 ]} 磁束は、ループで囲まれた表面上の磁場の面積分として定義されます。 ^{[ 23 ]} $${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}.}$$ ${\displaystyle \Phi _{B}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } (t)}$

$${\displaystyle \Phi _{B}=\int _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} }$$

均一な磁場中を移動する導体棒。ローレンツ力の磁気成分が電子を片方の端に押しやり、電荷分離を引き起こします。

磁束は、ループが時間とともに移動または変形するか、あるいは磁場自体が時間とともに変化することによって変化する可能性がある。これらの2つの可能性は、磁束則によって記述される2つのメカニズムに対応している。^{[ 23 ]}

• 運動起電力: 回路は静的だが不均一な磁場を通過します。
• 変圧器起電力：磁場が時間とともに変化しても回路は静止したままである

誘導起電力の符号はレンツの法則によって与えられ、誘導電流は元の磁束の変化に反対する磁場を生成すると述べている。^{[ 23 ]}

磁束則はマクスウェル・ファラデー方程式とローレンツ力の法則から導出できる。 ^{[ 22 ]}場合によっては、特に拡張システムでは、磁束則を直接適用することが困難であったり、完全な説明が得られなかったりすることがあり、その場合はローレンツ力の法則を完全に適用する必要がある。（ファラデーの法則の適用不可能性を参照。）^{[ 24 ]}

運動起電力

運動起電力の基本的なメカニズムは、導体棒が、棒自体とその運動方向の両方に垂直な磁場中を運動する様子によって説明される。磁場中の運動により、導体上の移動電子は、棒の長さ方向に沿って駆動するローレンツ力の磁気成分（q v × B）を受ける。これにより、棒の両端間で電荷が分離する。定常状態では、蓄積された電荷からの電界が磁力と釣り合う。^{[ 25 ]}

3つのケースにおける磁束則：（a）運動起電力、回路が移動し磁場が静止している場合（b）磁場の発生源が移動する静止回路の場合（c）時間依存の磁場強度の場合

棒が不均一な磁場中を移動する閉じた導電ループの一部である場合、同じ効果によって回路全体に電流が流れます。例えば、磁場が限られた空間領域に限定されており、ループが最初はこの領域の外側にあるとします。ループが磁場内に移動すると、磁束を囲むループの面積が増加し、起電力が誘起されます。ローレンツ力の観点から見ると、これは磁場がループの領域に入る部分の電荷キャリアに磁力を及ぼすためです。ループ全体が均一な磁場内に位置し、一定速度で移動し続けると、囲まれた磁束の総量は一定のままになり、起電力は消滅します。この状況では、ループの反対側の磁力は打ち消されます。

変圧器の起電力

相補的な例として変圧器の起電力が挙げられます。これは、導体ループは静止しているものの、時間とともに変化する磁場によってそのループを通る磁束が変化する場合に発生します。これは2つの方法で発生します。磁場の発生源が移動し、固定されたループを通る磁場分布が変化するか、あるいは、通電されている電磁石の場合のように、固定された場所で磁場の強度が時間とともに変化するかのいずれかです。

どちらの状況でも、電荷には磁力は作用せず、起電力はローレンツ力の電気成分（q E）のみによる。マクスウェル・ファラデー方程式によれば、時間変化する磁場は循環電場を生成し、それがループ内の電流を駆動する。この現象は、 同期発電機などの電気機械の動作の基礎となっている。^{[ 26 ]}このように誘導される電場は非保存的であり、閉ループの周りの線積分はゼロではない。^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}

相対性理論

特殊相対性理論の観点から見ると、運動起電力と変成起電力の区別は系に依存します。実験系では、静的な場の中で運動するループは磁力によって起電力を発生させます。しかし、ループと共に移動する系では、磁場は時間依存的に現れ、起電力は誘導電場から生じます。アインシュタインの特殊相対性理論は、この2つの効果の関連性をより深く理解したいという願望から生まれたものでした。^{[ 30 ]}現代的な用語で言えば、電場と磁場は単一の電磁場テンソルの異なる成分であり、慣性系間の変換はこれら2つを混合します。^{[ 31 ]}

歴史

ローレンツの電子理論。ローレンツ力（I、ポンデロモーティブ力）の公式と、電場E（II）と磁場B（III）の発散に関するマクスウェル方程式、 『マクスウェルの電磁気学とその運動体への応用』、1892年、451ページ。Vは光速度である。

電磁力を定量的に記述する初期の試みは、18世紀半ばに行われました。1760年にヨハン・トビアス・マイヤーらによって磁極に働く力は反比例の法則に従うと提唱され^{[ 32 ]} 、 1762年にはヘンリー・キャベンディッシュによって帯電物体に働く力は^{[ 33 ]}反比例の法則に従うと提唱されました。しかし、どちらの場合も実験的証明は完全でも決定的でもありませんでした。1784年になってようやく、シャルル・オーギュスタン・ド・クーロンがねじり天秤を使って実験的にこのことが真実であると決定的に証明することができました^{[ 34 ]} 。1820年にハンス・クリスチャン・エルステッドが磁針に電流が作用することを発見した直後、同年アンドレ・マリー・アンペールは実験によって、2つの電流要素間の力の角度依存性に関する式を考案しました。^{[ 35 ] [ 36 ]}これらすべての記述において、力は常に電場や磁場ではなく、関係する物質の性質と2つの質量または電荷間の距離で記述された。^{[ 37 ]}

現代の電場と磁場の概念は、マイケル・ファラデーの理論、特に力線の考えの中で初めて生まれ、後にケルビン卿とジェームズ・クラーク・マクスウェルによって完全に数学的に説明されることになった。^{[ 38 ]}現代的な観点からは、1865 年にマクスウェルが定式化した場の式の中に、電流に関連するローレンツの力の式の一形式を見出すことが可能であるが、^{[ 1 ] [ 39 ]}マクスウェルの時代には、彼の式が移動する荷電物体に働く力とどのように関係しているかは明らかではなかった。JJトムソンは、マクスウェルの場の式から、移動する荷電物体に働く電磁力を、その物体の特性と外部場の観点から導出しようとした最初の人物であった。トムソンは、陰極線中の荷電粒子の電磁気的挙動を決定することに興味を持ち、1881年に論文を発表し、外部磁場による粒子への力を次のように示した。^{[ 5 ] [ 40 ]} トムソンは正しい基本形を導き出したが、いくつかの計算ミスと変位電流の不完全な記述のために、式の前に半分という誤ったスケール係数を含めてしまった。オリバー・ヘヴィサイドは現代のベクトル表記法を発明し、それをマクスウェルの場の方程式に適用した。彼はまた（1885年と1889年）、トムソンの導出の誤りを修正し、移動する荷電物体に働く磁力の正しい形に到達した。^{[ 5 ] [ 41 ] [ 42 ]}そして最終的に、1895年に^{[ 4 ] [ 43 ]}ヘンドリック・ローレンツが電磁力の現代的な形の公式を導き出し、電場と磁場の両方からの総力への寄与を含めた。ローレンツは、エーテルと伝導に関するマクスウェルの記述を放棄することから始めました。代わりに、ローレンツは物質と光伝導エーテルを区別し、マクスウェル方程式を微視的スケールに適用しようとしました。静止エーテルに対するヘヴィサイド版のマクスウェル方程式を用い、ラグランジアン力学（下記参照）を適用することで、ローレンツは、現在彼の名を冠する力の法則の正確かつ完全な形に到達しました。^{[ 44 ] [ 45 ]} $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

ポテンシャルの観点から見たローレンツ力

E場とB場は、磁気ベクトルポテンシャルAと（スカラー）静電ポテンシャルϕに置き換えることができます。 ここで 、 ∇は勾配、∇⋅は発散、∇×は回転です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\[1ex]\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

力は $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right].}$$

三重積の恒等式を用いると、これは次のように書き直すことができる。 $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right].}$$

（座標と速度成分は独立変数として扱う必要があるため、del演算子はにのみ作用し、には作用しないことに注意してください。したがって、上記の式でファインマンの下付き文字表記を使用する必要はありません。）連鎖律を使用すると、の対流微分は：^{[ 46 ]} となるため、上記の式は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} }$$ $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\right].}$$

v = ẋとすると、 この式は便利なオイラー・ラグランジュ形 に変換できる^{[ 47 ]。} $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}\left(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} \right)\right]=-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}},}$$

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla _{\mathbf {x} }(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )\right]}$

どこでそして $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial z}}}$$ $${\displaystyle \nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {z}}}}.}$$

ローレンツ力と解析力学

電磁場中の質量m、電荷qの荷電粒子のラグランジアンは、粒子に働く力ではなく、粒子のエネルギーによって粒子の運動を記述する。古典的な表現は次式で表される： ^{[ 47 ]} ここで、Aとϕは上記と同様にポテンシャル場である。この量は一般化された速度依存のポテンシャルエネルギー、すなわち非保存力として同定することができる。^{[ 48 ]}このラグランジアンを用いることで、上記に示したローレンツ力の式を再び得ることができる。 $${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi }$$ ${\displaystyle V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} )}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

ハミルトニアンはラグランジアンからルジャンドル変換を用いて導出できる。正準運動量は ルジャンドル変換を適用すると^{[ 49 ]}となる。この古典ハミルトニアンは量子力学に直接一般化され、とが非可換演算子となる。 $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}_{i}}}=m{\dot {r}}_{i}+qA_{i}(\mathbf {r} ).}$$ $${\displaystyle H={\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} -L={\frac {[\mathbf {p} -q\mathbf {A} (\mathbf {r} )]^{2}}{2m}}+q\phi .}$$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

古典ラグランジアンからのローレンツ力の導出（SI単位系）

A場の場合、速度v = ṙで運動する粒子は位置運動量 を 持つため、その位置エネルギーは です。ϕ場の場合、粒子の位置エネルギーは です。 ${\displaystyle q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {\dot {r}} }$ ${\displaystyle q\phi (\mathbf {r} ,t)}$

すると、全位置エネルギーは次のようになります。 そして、運動エネルギーは次のようになります。 したがって、ラグランジアンは次のようになります。 $${\displaystyle V=q\phi -q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} }$$ $${\displaystyle T={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L&=T-V\\[1ex]&={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi \\[1ex]&={\frac {m}{2}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)+q\left({\dot {x}}A_{x}+{\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z}\right)-q\phi \end{aligned}}}$$

ラグランジュの方程式は （yとzについても同様）です。したがって、偏微分を計算します。 等式化して簡略化すると、 y方向とz方向 についても同様です。したがって、力の方程式は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}&=m{\ddot {x}}+q{\frac {\mathrm {d} A_{x}}{\mathrm {d} t}}\\&=m{\ddot {x}}+q\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}\right]\\[1ex]&=m{\ddot {x}}+q\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right]\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)}$$ $${\displaystyle m{\ddot {x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right)=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=-q\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}\right)+q\left[{\dot {y}}\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)+{\dot {z}}\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)\right]\\[1ex]&=qE_{x}+q[{\dot {y}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{z}-{\dot {z}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{y}]\\[1ex]&=qE_{x}+q[\mathbf {\dot {r}} \times (\nabla \times \mathbf {A} )]_{x}\\[1ex]&=qE_{x}+q(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )_{x}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )}$$

相対論的ラグランジアンは $${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}+q\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )}$$

作用は、時空における粒子の経路の相対論的な弧長から位置エネルギーの寄与を差し引き、さらに量子力学ではベクトルポテンシャルに沿って移動する荷電粒子によって得られる位相として実現できる追加の寄与を加えたものである。

相対論的ラグランジアンからのローレンツ力の導出（SI単位系）

作用を極限化することによって導かれる運動方程式（表記については 行列計算を参照）は、ハミルトンの運動方程式 と同じです。 どちらも非標準的な形式と同等です。 この式はローレンツ力であり、電磁場が粒子に相対論的運動量を加える速度を表します。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {P} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=q{\partial \mathbf {A} \over \partial \mathbf {r} }\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q{\partial \phi \over \partial \mathbf {r} }}$$ $${\displaystyle \mathbf {P} -q\mathbf {A} ={\frac {m{\dot {\mathbf {r} }}}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{m{\dot {\mathbf {r} }} \over {\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}=q\left(\mathbf {E} +{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} \right).}$$

ローレンツ力の相対論的形態

ローレンツ力の共変形

場テンソル

計量シグネチャ(1, −1, −1, −1)を用いると、電荷qに対するローレンツ力は共変形式で次のように表すことができる: ^{[ 50 ]}

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}=qF^{\alpha \beta }U_{\beta }}$

ここで、p ^αは4 元運動量で、 次のように定義されます。τは粒子の固有時間、F αβは^反変電磁テンソル 、Uは粒子の 共変4 元速度で、次のように定義されます。 ここで、 はローレンツ因子 です。 $${\displaystyle p^{\alpha }=\left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(\gamma mc,p_{x},p_{y},p_{z}\right),}$$ $${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle U_{\beta }=\left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}\right)=\gamma \left(c,-v_{x},-v_{y},-v_{z}\right),}$$ $${\displaystyle \gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

場は、次のように一定の相対速度で移動するフレームに変換されます。 ここで、Λ ^μ _αはローレンツ変換テンソルです。 $${\displaystyle F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }\,,}$$

ベクトル表記への変換

力の α = 1成分（x成分）は $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=qU_{\beta }F^{1\beta }=q\left(U_{0}F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}\right).}$$

共変電磁テンソルFの成分を代入すると、 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\left[U_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})\right].}$$

共変4速度成分を使用すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}&=q\gamma \left[c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})\right]\\[1ex]&=q\gamma \left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma \left[E_{x}+\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)_{x}\right]\,.\end{aligned}}}$$

α = 2, 3 （ y方向とz方向の力の成分）の計算でも同様の結果が得られるため、3つの式を1つにまとめると、 座標時間dtと固有時間dτの微分はローレンツ因子によって関連付けられるため、 次の式が得られます。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),}$$ $${\displaystyle dt=\gamma (v)\,d\tau ,}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}$$

これはまさにローレンツ力の法則であるが、pは相対論的な表現であることに注意する必要がある。 $${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (v)m_{0}\mathbf {v} \,.}$$

時空代数におけるローレンツ力（STA）

電場と磁場は観測者の速度に依存するため、ローレンツ力の法則の相対論的形式は、座標に依存しない電磁場と磁場の表現、および任意の時間方向から始めて、最もよく表すことができます。これは、擬ユークリッド空間上で定義されたクリフォード代数の一種である時空代数（または時空の幾何学的代数）を通じて、^{[ 51 ]}と解決できます。また 、 は時空バイベクトル（有向平面セグメントで、ベクトルは有向線分です）であり、ブースト（時空平面での回転）と回転（空間-空間平面での回転）に対応する6つの自由度を持ちます。ベクトルとのドット積は、並進部分からベクトル（空間代数内）を引き出し、くさび積は、通常の磁場ベクトルであるベクトルと双対であるトリベクトル（空間代数内）を作成します。相対論的速度は、時間位置ベクトルにおける（時間的な）変化によって与えられ、ここで （これは計量の選択を示している）、速度は ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ $${\displaystyle \mathbf {E} =\left({\mathcal {F}}\cdot \gamma _{0}\right)\gamma _{0}}$$ $${\displaystyle i\mathbf {B} =\left({\mathcal {F}}\wedge \gamma _{0}\right)\gamma _{0}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle v={\dot {x}}}$ $${\displaystyle v^{2}=1,}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} =cv\wedge \gamma _{0}/(v\cdot \gamma _{0}).}$$

ローレンツ力の法則の正しい形（「不変」という言葉は、変換が定義されていないため不適切である）は、単純に

${\displaystyle F=q{\mathcal {F}}\cdot v}$

双ベクトルとベクトルの内積は反対称となるため、順序が重要であることに注意してください。時空分割が1の場合には、速度と場は上記と同様に得られ、通常の式が得られます。

一般相対性理論におけるローレンツ力

一般相対性理論では、計量テンソルと電磁場のある空間を運動する質量と電荷を持つ粒子の運動方程式は次のように与えられる。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle F_{ab}}$

$${\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m{\frac {1}{2}}g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},}$$

ここで、（軌道に沿って取られる）、、および。 ${\displaystyle u^{a}=dx^{a}/ds}$ ${\displaystyle dx^{a}}$ ${\displaystyle g_{ab,c}=\partial g_{ab}/\partial x^{c}}$ ${\displaystyle ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b}}$

この式は次のようにも書ける。

$${\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m\Gamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},}$$

ここで、はクリストッフェル記号（一般相対論におけるねじれのない計量接続の記号）であり、 ${\displaystyle \Gamma _{abc}}$

$${\displaystyle m{\frac {Du_{c}}{ds}}=eF_{cb}u^{b},}$$

ここで、一般相対論における 共変微分です。 ${\displaystyle D}$

量子力学

量子力学では、粒子は波動関数によって記述され、その発展はシュレーディンガー方程式によって支配される。この定式化は力を明示的には含まないが、ハミルトニアンのポテンシャル項を通して電磁場との相互作用を組み込むことで、ハミルトニアン力学の枠組みを拡張する。質量と電荷を持つ非相対論的粒子の場合、ハミルトニアンは以下の形を取る。 この表現は、ローレンツ力の法則につながる古典ハミルトニアンの直接的な一般化である。重要な違いは、量子力学では位置と運動量が交換しない演算子であるという点である。その結果、量子力学は波の干渉や量子化などの根本的に異なる挙動を組み込む。^{[ 52 ]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\right]^{2}+q\Phi (\mathbf {r} ,t),}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$

アハラノフ・ボーム法では、磁場は電子が侵入できない領域に限定されます。しかし、スクリーン上の干渉縞は中央領域を通過する磁束の影響を受けます。

粒子の運動に電場と磁場のみが影響を与える古典物理学とは異なり、量子力学では電磁ポテンシャル自体が観測可能な効果を生み出すことが認められている。これはアハラノフ・ボーム効果に例えられる。アハラノフ・ボーム効果では、荷電粒子が電場と磁場がゼロの領域を通過するが、アクセスできない領域に閉じ込められた磁束を囲む。古典的なローレンツ力は粒子の進路に沿ってゼロであるが、スクリーン上で観測される干渉縞は囲まれた磁束に応じて変化し、量子力学におけるベクトルポテンシャルの物理的意味を明らかにしている。^{[ 53 ]}

それでもなお、古典的なローレンツ力の法則は量子力学の近似として現れる。エーレンフェストの定理によれば、運動量演算子の期待値は古典的なローレンツ力の法則に類似した方程式に従って変化する。アハラノフ・ボームの実験設定においても、波束の平均運動は古典的な軌道に従う。^{[ 54 ]}

電子などの量子粒子は固有のスピンも持ち、これが古典的なローレンツ力で説明されるものを超えた電磁相互作用を導入する。非相対論的極限では、これはパウリ方程式によって表現され、スピン磁場結合項を含む： ここでパウリ行列である。この項は、古典理論には存在しないスピン依存の力をもたらす。完全な相対論的扱いはディラック方程式によって与えられ、これは最小限の結合を通してスピンと電磁相互作用を組み込み、電子の磁気回転比などの特徴を正しく予測する。^{[ 55 ]} $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{Pauli}}={\frac {1}{2m}}\left[{\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \right]^{2}+q\Phi +{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ,}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

アプリケーション

現実世界の多くの応用において、ローレンツ力は、実践的にも基礎レベルでも、荷電粒子の集団的挙動を正確に記述するには不十分です。現実のシステムには、相互作用し、独自の場EとBも生成する多くの粒子が含まれます。電流、流れ、プラズマなどのこれらの集団的効果を説明するには、ボルツマン方程式、フォッカー・プランク方程式、ナビエ・ストークス方程式などのより複雑な方程式が必要です。これらのモデルは、粒子の相互作用と自己無撞着な場の生成を組み込んだ単一粒子動力学を超えており、磁気流体力学、電気流体力学、プラズマ物理学などの分野、および天体物理学と超伝導現象 の理解において中心的な役割を果たしています。

ローレンツ力は、次のような多くのデバイスで発生します。

• サイクロトロンやその他の円形軌道の粒子加速器
• 質量分析計
• 速度フィルター
• マグネトロン
• ローレンツ力速度測定法

この力は、導体内の電流に対するラプラス力として現れ、次のような多くのデバイスで発生します。

• 電気モーター
• レールガン
• リニアモーター
• スピーカー
• 磁気プラズマ動力学スラスター
• 発電機
• 単極発電機
• リニアオルタネーター

参照

• ホール効果
• 重力磁気
• 特殊相対論におけるマクスウェル方程式の定式化
• 動く磁石と導体の問題
• アブラハム・ローレンツ力
• ラーモア式
• サイクロトロン放射線
• 磁気抵抗
• スカラーポテンシャル
• ヘルムホルツ分解
• フィールドライン
• クーロンの法則
• 電磁浮力

注記

備考

1. SI単位では、Bはテスラ（記号：T）で測定されます。ガウス-cgs単位では、Bはガウス（記号：G）で測定されます。 ^{[ 6 ]} HはSI単位ではアンペア毎メートル（A/m）、 cgs単位ではエルステッド（Oe）で測定されます。^{[ 7 ]}

引用

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外部リンク

• Lorentz force (demonstration)
• Interactive Java applet on the magnetic deflection of a particle beam in a homogeneous magnetic fieldArchived 2011-08-13 at the Wayback Machine by Wolfgang Bauer

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