加法マップ

Z-module homomorphism

代数学において、加法写像、線型写像、あるいは加法関数とは、 ⁠ ⁠の定義域におけるすべての元と元のペアに対して、加法演算を保存する関数である。 ^[1]例えば、任意の線型写像は加法である。定義域が実数のとき、これはコーシーの関数方程式である。この定義の具体的なケースについては、加法多項式 を参照のこと。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$

より正式には、加法写像は-加群準同型写像である。アーベル群は-加群であるため、アーベル群間の群準同型写像として定義することができる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

2つの引数それぞれについて加法的な写像は、双加法写像または双線形写像と呼ばれる。^[2] ${\displaystyle V\times W\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

例

典型的な例としては、環、ベクトル空間、あるいは加法群を保存する加群間の写像が挙げられます。加法写像は、環の積演算のように、必ずしも対象の他の構造を保存するわけではありません。

および が加法的な写像である場合、写像(点ごとに定義) は加法的です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f+g}$

プロパティ

整数によるスカラー乗算の定義

が単位元を持つ加法群であり、その逆が⁠ ⁠で表されるとします。任意の ⁠ ⁠と整数⁠ ⁠について、以下の式が成り立ちます。したがって、すべての整数 ⁠ ⁠ 、すべての⁠ ⁠、および⁠ ⁠が成り立つことが示されます。このスカラー乗法の定義により、 の巡回部分群は左-加群になります。が可換である場合、 も左-加群になります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle nx:=\left\{{\begin{alignedat}{9}&&&0&&&&&&~~~~&&&&~{\text{ when }}n=0\\&&&x&&+\cdots +&&x&&~~~~{\text{(}}n&&{\text{ summands) }}&&~{\text{ when }}n>0\\&(-&&x)&&+\cdots +(-&&x)&&~~~~{\text{(}}|n|&&{\text{ summands) }}&&~{\text{ when }}n<0.\\\end{alignedat}}\right.}$$ ${\displaystyle (-1)x=-x}$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (m+n)x=mx+nx}$ ${\displaystyle -(nx)=(-n)x=n(-x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

整数上の同次性

が加法群間の加法写像である場合、すべての⁠ ⁠に対して が成り立ち、（ここで否定は加法の逆を表す）かつ^{[証明 1]}が 成り立ち、したがってすべての ⁠ ⁠ に対して が成り立ちます（ここで定義により⁠ ⁠）。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ $${\displaystyle f(nx)=nf(x)\quad {\text{ for all }}n\in \mathbb {Z} .}$$ ${\displaystyle f(x-y)=f(x)-f(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle x-y:=x+(-y)}$

言い換えれば、すべての加法写像は整数 上で同次である。したがって、アーベル群間のすべての加法写像は-加群の準同型 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$となる。

-加群の準同型性 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

加法アーベル群 とが有理数（実ベクトル空間や複素ベクトル空間など）上の単位加群でもある場合、加法写像は次式を満たす: ^{[証明 2]}言い換えれば、すべての加法写像は有理数上で同次である。したがって、単位加群間のすべての加法写像は、加群の準同型となる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle f(qx)=qf(x)\quad {\text{ for all }}q\in \mathbb {Q} {\text{ and }}x\in X.}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

コーシーの関数方程式に関する記事で説明されているように、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$上で同次であるにもかかわらず、 ⁠ ⁠の場合でも、加法関数が実数上で同次でないことは依然として可能です。言い換えれば、何らかの定数⁠ ⁠に対して ⁠ ⁠の形にならない加法写像が存在します。特に、共役域の既存の環構造に関して線型写像ではない加法写像が存在します。 ${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=s_{0}x}$ ${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {R} }$

参照

• 反線型写像 – 共役同次加法写像

注記

1. レスリー・ホグベン（2013年）、線形代数ハンドブック（第3版）、CRCプレス、  pp.30-8、ISBN 9781498785600
2. N. Bourbaki (1989)、代数学第1章～第3章、Springer、p.243

証明

1. なので、両辺を足すと⁠ ⁠であることが証明されます。 の場合、となるので、定義により⁠ ⁠となります。 帰納法により、が正の場合、 となり、 の加法逆数は⁠ ⁠であることが示され、これは⁠ ⁠に対して が成り立つことを示しています。 ${\displaystyle f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)}$ ${\displaystyle -f(0)}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle 0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ ${\displaystyle (-1)f(x):=-f(x)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(nx)=nf(x)}$ ${\displaystyle nf(x)}$ ${\displaystyle n(-f(x))}$ ${\displaystyle f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)}$ ${\displaystyle f(nx)=nf(x)}$ ${\displaystyle n<0}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. およびとします。ここで、および⁠ ⁠とします。すると⁠ ⁠となり、これは ⁠ ⁠ を意味するので、両辺に ⁠ ⁠ を掛けると⁠ ⁠が証明されます。したがって、 ⁠ ⁠。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle q={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle y:={\frac {1}{n}}x}$ ${\displaystyle ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x}$ ${\displaystyle f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle f\left({\frac {1}{n}}x\right)={\frac {1}{n}}f(x)}$ ${\displaystyle f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x)}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

参考文献

• ロジャー・C・リンドン; Paul E. Schupp (2001)、組合せ群理論、Springer

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Additive_map&oldid=1323422271"