Differential algebra
抽象代数学 において 、 ワイル代数は 多項式 係数を持つ 微分作用素 環 から 抽象化される。 量子力学 における ハイゼンベルクの 不確定性原理 を研究するためにワイル代数を導入した ヘルマン・ワイル にちなんで名付けられている 。
最も単純な場合、これらは微分作用素である。 を体とし 、 を 係数が である一変数 多項式環 とする 。すると、対応するワイル代数は、 の形の微分作用素から構成される。 F {\displaystyle F} F [ x ] {\displaystyle F[x]} F {\displaystyle F}
f m ( x ) ∂ x m + f m − 1 ( x ) ∂ x m − 1 + ⋯ + f 1 ( x ) ∂ x + f 0 ( x ) {\displaystyle f_{m}(x)\partial _{x}^{m}+f_{m-1}(x)\partial _{x}^{m-1}+\cdots +f_{1}(x)\partial _{x}+f_{0}(x)} どこ 。 f i ( x ) ∈ F [ x ] {\displaystyle f_{i}(x)\in F[x]}
これは 第一ワイル代数 である。 n 次ワイル代数 も同様に構築される。 A 1 {\displaystyle A_{1}} A n {\displaystyle A_{n}}
あるいは、 は、 q と p という2つの生成元上の 自由 代数 をによって 生成される イデアルで 割ったもの として構成することもできます 。同様に、は、 2n 個 の生成元上の自由代数を によって生成されるイデアル で割ったものとして得られます。 ここで は クロネッカーのデルタ です 。 A 1 {\displaystyle A_{1}} ( [ p , q ] − 1 ) {\displaystyle ([p,q]-1)} A n {\displaystyle A_{n}} ( [ p i , q j ] − δ i , j ) , ∀ i , j = 1 , … , n {\displaystyle ([p_{i},q_{j}]-\delta _{i,j}),\quad \forall i,j=1,\dots ,n} δ i , j {\displaystyle \delta _{i,j}}
より一般に、 が 可換な導関数 を持つ 偏 微分環 であるとする。 に関連付けられたワイル代数は 、すべての に対して の 関係を満たす 非可換環である。前述のケースは、 かつ が体 である の特別な場合である 。 ( R , Δ ) {\displaystyle (R,\Delta )} Δ = { ∂ 1 , … , ∂ m } {\displaystyle \Delta =\lbrace \partial _{1},\ldots ,\partial _{m}\rbrace } ( R , Δ ) {\displaystyle (R,\Delta )} R [ ∂ 1 , … , ∂ m ] {\displaystyle R[\partial _{1},\ldots ,\partial _{m}]} ∂ i r = r ∂ i + ∂ i ( r ) {\displaystyle \partial _{i}r=r\partial _{i}+\partial _{i}(r)} r ∈ R {\displaystyle r\in R} R = F [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle R=F[x_{1},\ldots ,x_{n}]} Δ = { ∂ x 1 , … , ∂ x n } {\displaystyle \Delta =\lbrace \partial _{x_{1}},\ldots ,\partial _{x_{n}}\rbrace } F {\displaystyle F}
この記事では、特に明記しない限り、基礎体 特性が 0 であるの場合についてのみ説明します 。 A n {\displaystyle A_{n}} F {\displaystyle F}
ワイル代数は、 分環 上の 行列環 ではない 単純環の例である。また、 領域 の非可換な例であり、 オーレ拡大 の例でもある 。
モチベーション ワイル代数は、 量子力学と 正準量子化 の過程の文脈において自然に生じる 。 正準座標を持つ古典 位相空間を考える。これらの座標は 、ポアソン括弧の 関係を満たす 。正準量子化では、状態の ヒルベルト空間 を構築し、この空間上の 自己随伴作用素 として古典観測可能量（位相空間上の関数）を表現する 。正準交換関係が課される。 ここで、は 交換子 を表す 。ここで、 およびはそれぞれ 、および に対応する作用素である 。 エルヴィン・シュレーディンガーは 1926年に以下を提案した。 [1] ( q 1 , p 1 , … , q n , p n ) {\displaystyle (q_{1},p_{1},\dots ,q_{n},p_{n})} { q i , q j } = 0 , { p i , p j } = 0 , { q i , p j } = δ i j . {\displaystyle \{q_{i},q_{j}\}=0,\quad \{p_{i},p_{j}\}=0,\quad \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}.} [ q ^ i , q ^ j ] = 0 , [ p ^ i , p ^ j ] = 0 , [ q ^ i , p ^ j ] = i ℏ δ i j , {\displaystyle [{\hat {q}}_{i},{\hat {q}}_{j}]=0,\quad [{\hat {p}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=0,\quad [{\hat {q}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},} [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} q ^ i {\displaystyle {\hat {q}}_{i}} p ^ i {\displaystyle {\hat {p}}_{i}} q i {\displaystyle q_{i}} p i {\displaystyle p_{i}}
q j ^ {\displaystyle {\hat {q_{j}}}} を乗算します 。 x j {\displaystyle x_{j}} p ^ j {\displaystyle {\hat {p}}_{j}} と 。 − i ℏ ∂ x j {\displaystyle -i\hbar \partial _{x_{j}}} この識別により、標準的な交換関係が保持されます。
建設 ワイル代数にはさまざまな構成があり、抽象化のレベルも異なります。
表現 ワイル代数は 表現 として具体的に構築することができます 。 A n {\displaystyle A_{n}}
微分演算子表現では、シュレーディンガーの標準量子化と同様に、 を による左側の乗算で表し 、 を による左側の微分で表します 。 q j {\displaystyle q_{j}} x j {\displaystyle x_{j}} p j {\displaystyle p_{j}} ∂ x j {\displaystyle \partial _{x_{j}}}
行列表現では、 行列力学 と同様に、 で表される。 A 1 {\displaystyle A_{1}} P = [ 0 1 0 0 ⋯ 0 0 2 0 ⋯ 0 0 0 3 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ] , Q = [ 0 0 0 0 … 1 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ] {\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots \\0&0&2&0&\cdots \\0&0&0&3&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}},\quad Q={\begin{bmatrix}0&0&0&0&\ldots \\1&0&0&0&\cdots \\0&1&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}
ジェネレータ A n {\displaystyle A_{n}} は生成元と関係式を用いた自由代数の商として構成できる。一つの構成法は、 シンプレクティック形式 ω を備えた抽象 ベクトル空間 V (次元 2 n ) から始まる。ワイル代数 W ( V ) を次のように
定義する。
W ( V ) := T ( V ) / ( ( v ⊗ u − u ⊗ v − ω ( v , u ) , for v , u ∈ V ) ) , {\displaystyle W(V):=T(V)/(\!(v\otimes u-u\otimes v-\omega (v,u),{\text{ for }}v,u\in V)\!),} ここで、 T ( V ) は V 上の テンソル代数 であり、表記は 「によって生成される イデアル 」を意味します。 ( ( ) ) {\displaystyle (\!()\!)}
言い換えれば、 W ( V ) は、関係 vu − uv = ω ( v , u )のみを条件とする V によって生成される代数である 。そして、 ω のダルブー基底を選択することで、 W ( V ) は A n と同型となる 。
A n {\displaystyle A_{n}} は、 ハイゼンベルク代数 の 中心要素（つまり[ q , p ]）を 普遍包絡代数 の単位（上記で1と呼ぶ）に等しく設定することによって、ハイゼンベルク代数の普遍包絡代数 、つまり ハイゼンベルク群 の リー代数の 商 でもある。
量子化 代数 W ( V ) は 対称代数 Sym( V ) の 量子化である。V が 特性零の体上にある場合、 W ( V ) は 対称代数 Sym( V )の基底ベクトル空間に自然に同型となり、 変形積（グローネウォルド- モヤル積 と呼ばれる）を持つ（対称代数を V ∗ 上の多項式関数（変数はベクトル空間 V を張る）とみなし、 モヤル積の公式の iħ を1 に置き換える）。
同型性はSym( V )から W ( V )
への 対称化写像によって与えられる。
a 1 ⋯ a n ↦ 1 n ! ∑ σ ∈ S n a σ ( 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ a σ ( n ) . {\displaystyle a_{1}\cdots a_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes a_{\sigma (n)}~.} iħ を持ち複素数に対して作業する ことを好む場合は、代わりに上記の Weyl 代数を q i と iħ∂ q i によって生成されるものとして定義することもできます (量子力学の 用法 に従って )。
したがって、ワイル代数は対称代数の量子化であり、本質的にはモヤルの量子化 と同じである （後者の場合、多項式関数に制限される）が、前者は生成元と関係（微分演算子と見なされる）に基づいており、後者は変形された乗算に基づいている。
言い換えると、 モヤルスター 積をとする と、ワイル代数は と同型である 。 f ⋆ g {\displaystyle f\star g} ( C [ x 1 , … , x n ] , ⋆ ) {\displaystyle (\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}],\star )}
外積代数 の場合 、ワイル量子化に類似した量子化は クリフォード代数であり、これは 直交クリフォード代数 とも呼ばれる 。
ワイル代数はシンプレクティック・クリフォード代数 とも呼ばれる 。 ワイル代数は、シンプレクティック・双 線型形式に対して、 クリフォード代数が 非退化対称双線型形式に対して表すのと 同じ構造を表す。
Dモジュール ワイル代数は D加群 として構成することができる。 具体的には、通常の偏微分構造を持つ多項式環に対応するワイル代数は、 グロタンディークの微分演算環と正確に等しい 。 R [ x 1 , . . . , x n ] {\displaystyle R[x_{1},...,x_{n}]} D A R n / R {\displaystyle D_{\mathbb {A} _{R}^{n}/R}}
より一般的には、 環 上の滑らかなスキームを とする 。局所的には、は 標準射影を備えた いくつかの étale 被覆として作用する。 [8] 「 étale 」は「（平坦で）零接層を持つ」という意味なので、 [9] このようなスキーム上のすべてのD加群は、局所的にはワイル代数上の加群として考えることができる 。 X {\displaystyle X} R {\displaystyle R} X → R {\displaystyle X\to R} A R n {\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}} n th {\displaystyle n^{\text{th}}}
を部分環 上の 可換環 とする 。 微分 作用素環 （文脈から明らかな場合は と 表記 ）は、 の次数付き部分環として帰納的に定義される 。 R {\displaystyle R} S {\displaystyle S} D R / S {\displaystyle D_{R/S}} D R {\displaystyle D_{R}} S {\displaystyle S} End S ( R ) {\displaystyle \operatorname {End} _{S}(R)}
D R 0 = R {\displaystyle D_{R}^{0}=R} D R k = { d ∈ End S ( R ) : [ d , a ] ∈ D R k − 1 for all a ∈ R } . {\displaystyle D_{R}^{k}=\left\{d\in \operatorname {End} _{S}(R):[d,a]\in D_{R}^{k-1}{\text{ for all }}a\in R\right\}.} を の和 集合とします 。 これは の部分代数です 。 D R {\displaystyle D_{R}} D R k {\displaystyle D_{R}^{k}} k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} End S ( R ) {\displaystyle \operatorname {End} _{S}(R)}
の場合 、 階の微分作用素環は、 特殊ケースと同様に表されます が、「べき乗除算作用素」を考慮する必要があります。べき乗除算作用素は、 を安定化する複素ケースの作用素に対応する作用素です が、高階作用素の整結合として記述することはできません。つまり、 には存在しません 。その一例が作用素 です 。 R = S [ x 1 , . . . , x n ] {\displaystyle R=S[x_{1},...,x_{n}]} ≤ n {\displaystyle \leq n} S = C {\displaystyle S=\mathbb {C} } Z [ x 1 , . . . , x n ] {\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},...,x_{n}]} D A Z n / Z {\displaystyle D_{\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}/\mathbb {Z} }} ∂ x 1 [ p ] : x 1 N ↦ ( N p ) x 1 N − p {\displaystyle \partial _{x_{1}}^{[p]}:x_{1}^{N}\mapsto {N \choose p}x_{1}^{N-p}}
プレゼンテーションは、
D S [ x 1 , … , x ℓ ] / S n = S ⟨ x 1 , … , x ℓ , { ∂ x i , ∂ x i [ 2 ] , … , ∂ x i [ n ] } 1 ≤ i ≤ ℓ ⟩ {\displaystyle D_{S[x_{1},\dots ,x_{\ell }]/S}^{n}=S\langle x_{1},\dots ,x_{\ell },\{\partial _{x_{i}},\partial _{x_{i}}^{[2]},\dots ,\partial _{x_{i}}^{[n]}\}_{1\leq i\leq \ell }\rangle } 関係と
[ x i , x j ] = [ ∂ x i [ k ] , ∂ x j [ m ] ] = 0 {\displaystyle [x_{i},x_{j}]=[\partial _{x_{i}}^{[k]},\partial _{x_{j}}^{[m]}]=0} [ ∂ x i [ k ] , x j ] = { ∂ x i [ k − 1 ] if i = j 0 if i ≠ j {\displaystyle [\partial _{x_{i}}^{[k]},x_{j}]=\left\{{\begin{matrix}\partial _{x_{i}}^{[k-1]}&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j\end{matrix}}\right.} ∂ x i [ k ] ∂ x i [ m ] = ( k + m k ) ∂ x i [ k + m ] when k + m ≤ n {\displaystyle \partial _{x_{i}}^{[k]}\partial _{x_{i}}^{[m]}={k+m \choose k}\partial _{x_{i}}^{[k+m]}~~~~~{\text{when }}k+m\leq n} ここ で慣例により、ワイル代数はこれらの代数の極限として構成される 。 [10] : Ch. IV.16.II ∂ x i [ 0 ] = 1 {\displaystyle \partial _{x_{i}}^{[0]}=1} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty }
が標数0の体である とき、 は -加群として 1 と の - 微分 によって生成される 。さらに、は -部分代数 によって環として生成される 。特に、 およびのとき 、 となる 。前述のように、 である 。 S {\displaystyle S} D R 1 {\displaystyle D_{R}^{1}} R {\displaystyle R} S {\displaystyle S} R {\displaystyle R} D R {\displaystyle D_{R}} R {\displaystyle R} D R 1 {\displaystyle D_{R}^{1}} S = C {\displaystyle S=\mathbb {C} } R = C [ x 1 , . . . , x n ] {\displaystyle R=\mathbb {C} [x_{1},...,x_{n}]} D R 1 = R + ∑ i R ∂ x i {\displaystyle D_{R}^{1}=R+\sum _{i}R\partial _{x_{i}}} A n = D R {\displaystyle A_{n}=D_{R}}
の特性 アン 異なる次元が可換であるため、 の多くの特性は本質的に同様の証明で に適用されます。 A 1 {\displaystyle A_{1}} A n {\displaystyle A_{n}}
一般的なライプニッツの法則 定理 （一般ライプニッツ則） — p k q m = ∑ l = 0 k ( k l ) m ! ( m − l ) ! q m − l p k − l = q m p k + m k q m − 1 p k − 1 + ⋯ {\displaystyle p^{k}q^{m}=\sum _{l=0}^{k}{\binom {k}{l}}{\frac {m!}{(m-l)!}}q^{m-l}p^{k-l}=q^{m}p^{k}+mkq^{m-1}p^{k-1}+\cdots }
証拠 この 表現の下では、この方程式は一般ライプニッツ則によって得られる。一般ライプニッツ則は代数的処理によって証明可能であるため、 に対して も成立する。 p ↦ ∂ x , q ↦ x {\displaystyle p\mapsto \partial _{x},q\mapsto x} A 1 {\displaystyle A_{1}}
特に、 および 。 [ q , q m p n ] = − n q m p n − 1 {\textstyle [q,q^{m}p^{n}]=-nq^{m}p^{n-1}} [ p , q m p n ] = m q m − 1 p n {\textstyle [p,q^{m}p^{n}]=mq^{m-1}p^{n}}
系 — ワイル代数の 中心 は 定数の基礎体です 。 A n {\displaystyle A_{n}} F {\displaystyle F}
程度 定理 — 基礎がある 。 A n {\displaystyle A_{n}} { q m p n : m , n ≥ 0 } {\displaystyle \{q^{m}p^{n}:m,n\geq 0\}}
これにより、は 次数付き代数 となり 、 の次数はその非零単項式のうちのいずれか となる 。 の次数も同様に定義される 。 A 1 {\displaystyle A_{1}} ∑ m , n c m , n q m p n {\displaystyle \sum _{m,n}c_{m,n}q^{m}p^{n}} max ( m + n ) {\displaystyle \max(m+n)} A n {\displaystyle A_{n}}
定理 は 単純な 領域 である 。 A n {\displaystyle A_{n}}
つまり、 両側の非自明なイデアルはなく、 零因子 もありません 。
導出 定理 — の微分は 加法スカラーまで の の元と一対一である。 A n {\textstyle A_{n}} A n {\textstyle A_{n}}
つまり、任意の導出は、 ある に対して と 等しく 、任意の は 導出を生じ 、が を満たす場合 はとなります 。 D {\textstyle D} [ ⋅ , f ] {\textstyle [\cdot ,f]} f ∈ A n {\textstyle f\in A_{n}} f ∈ A n {\textstyle f\in A_{n}} [ ⋅ , f ] {\textstyle [\cdot ,f]} f , f ′ ∈ A n {\textstyle f,f'\in A_{n}} [ ⋅ , f ] = [ ⋅ , f ′ ] {\textstyle [\cdot ,f]=[\cdot ,f']} f − f ′ ∈ F {\textstyle f-f'\in F}
証明は平面上の保存多項式ベクトル場のポテンシャル関数を計算することに似ている。
証拠
交換子は両方の要素において微分なので、 任意の に対する微分です 。加法スカラーまで一意であるのは、 の中心が スカラー環であるためです。 [ ⋅ , f ] {\textstyle [\cdot ,f]} f ∈ A n {\textstyle f\in A_{n}} A n {\textstyle A_{n}}
残っているのは、任意の導出が 上の帰納法による内部導出であることを証明することです 。 n {\textstyle n}
基本ケース： を微分である線型写像とします。 となる 元を構築します。 と はどちら も微分な ので 、これら2つの関係は すべての に対して生成されます 。 D : A 1 → A 1 {\textstyle D:A_{1}\to A_{1}} r {\textstyle r} [ p , r ] = D ( p ) , [ q , r ] = D ( q ) {\textstyle [p,r]=D(p),[q,r]=D(q)} D {\textstyle D} [ ⋅ , r ] {\textstyle [\cdot ,r]} [ g , r ] = D ( g ) {\textstyle [g,r]=D(g)} g ∈ A 1 {\textstyle g\in A_{1}}
なので 、 [ p , q m p n ] = m q m − 1 p n {\textstyle [p,q^{m}p^{n}]=mq^{m-1}p^{n}} f = ∑ m , n c m , n q m p n {\textstyle f=\sum _{m,n}c_{m,n}q^{m}p^{n}} [ p , f ] = ∑ m , n m c m , n q m p n = D ( p ) {\displaystyle [p,f]=\sum _{m,n}mc_{m,n}q^{m}p^{n}=D(p)}
0 = [ p , q ] = 1 D ( [ p , q ] ) = D is a derivation [ p , D ( q ) ] + [ D ( p ) , q ] = [ p , f ] = D ( p ) [ p , D ( q ) ] + [ [ p , f ] , q ] = Jacobi identity [ p , D ( q ) − [ q , f ] ] {\displaystyle {\begin{aligned}0&{\stackrel {[p,q]=1}{=}}D([p,q])\\&{\stackrel {D{\text{ is a derivation}}}{=}}[p,D(q)]+[D(p),q]\\&{\stackrel {[p,f]=D(p)}{=}}[p,D(q)]+[[p,f],q]\\&{\stackrel {\text{Jacobi identity}}{=}}[p,D(q)-[q,f]]\end{aligned}}}
したがって、 ある多項式 に対して が成り立ちます 。 なので、 となる 多項式が存在します 。 なので 、 は目的の要素です。 D ( q ) = g ( p ) + [ q , f ] {\textstyle D(q)=g(p)+[q,f]} g {\textstyle g} [ q , q m p n ] = − n q m p n − 1 {\textstyle [q,q^{m}p^{n}]=-nq^{m}p^{n-1}} h ( p ) {\textstyle h(p)} [ q , h ( p ) ] = g ( p ) {\textstyle [q,h(p)]=g(p)} [ p , h ( p ) ] = 0 {\textstyle [p,h(p)]=0} r = f + h ( p ) {\textstyle r=f+h(p)}
誘導ステップでは、上記の計算と同様に、 となる要素が存在します 。 r ∈ A n {\textstyle r\in A_{n}} [ q 1 , r ] = D ( q 1 ) , [ p 1 , r ] = D ( p 1 ) {\textstyle [q_{1},r]=D(q_{1}),[p_{1},r]=D(p_{1})}
上記の計算と同様に、 すべての に対して となります 。 は と の両方において微分であるため 、 すべて の および すべての に対して となります 。ここで、 は 元によって生成される部分代数を意味します。 [ x , D ( y ) − [ y , r ] ] = 0 {\displaystyle [x,D(y)-[y,r]]=0} x ∈ { p 1 , q 1 } , y ∈ { p 2 , … , p n , q 2 , … , q n } {\textstyle x\in \{p_{1},q_{1}\},y\in \{p_{2},\dots ,p_{n},q_{2},\dots ,q_{n}\}} [ x , D ( y ) − [ y , r ] ] {\textstyle [x,D(y)-[y,r]]} x {\textstyle x} y {\textstyle y} [ x , D ( y ) − [ y , r ] ] = 0 {\textstyle [x,D(y)-[y,r]]=0} x ∈ ⟨ p 1 , q 1 ⟩ {\textstyle x\in \langle p_{1},q_{1}\rangle } y ∈ ⟨ p 2 , … , p n , q 2 , … , q n ⟩ {\textstyle y\in \langle p_{2},\dots ,p_{n},q_{2},\dots ,q_{n}\rangle } ⟨ ⟩ {\textstyle \langle \rangle }
したがって、 、 ∀ y ∈ ⟨ p 2 , … , p n , q 2 , … , q n ⟩ {\textstyle \forall y\in \langle p_{2},\dots ,p_{n},q_{2},\dots ,q_{n}\rangle } D ( y ) − [ y , r ] ∈ ⟨ p 2 , … , p n , q 2 , … , q n ⟩ {\displaystyle D(y)-[y,r]\in \langle p_{2},\dots ,p_{n},q_{2},\dots ,q_{n}\rangle }
も導出である ため、帰納法により、 すべての に対して となる が存在します 。 D − [ ⋅ , r ] {\textstyle D-[\cdot ,r]} r ′ ∈ ⟨ p 2 , … , p n , q 2 , … , q n ⟩ {\textstyle r'\in \langle p_{2},\dots ,p_{n},q_{2},\dots ,q_{n}\rangle } D ( y ) − [ y , r ] = [ y , r ′ ] {\textstyle D(y)-[y,r]=[y,r']} y ∈ ⟨ p 2 , … , p n , q 2 , … , q n ⟩ {\textstyle y\in \langle p_{2},\dots ,p_{n},q_{2},\dots ,q_{n}\rangle }
は と可換な ので 、 すべての に対してが成り立ち 、すべての に対しても が成り立ちます 。 p 1 , q 1 {\textstyle p_{1},q_{1}} ⟨ p 2 , … , p n , q 2 , … , q n ⟩ {\textstyle \langle p_{2},\dots ,p_{n},q_{2},\dots ,q_{n}\rangle } D ( y ) = [ y , r + r ′ ] {\textstyle D(y)=[y,r+r']} y ∈ { p 1 , … , p n , q 1 , … , q n } {\displaystyle y\in \{p_{1},\dots ,p_{n},q_{1},\dots ,q_{n}\}} A n {\displaystyle A_{n}}
表現論
ゼロ特性 基底体Fが 特性零を持つ場合 、 n 次のワイル代数は 単純な ノイザン 領域 である。 これは 大域次元 nを持ち、変形する環Sym( V )の大域次元2nとは 対照 的である 。
有限次元表現は存在しない。これは単純さから導かれるが、ある有限次元表現σ (ただし [ q , p ] = 1 ) に対して σ ( q ) と σ ( Y )のトレースを取ることで、より 直接的に示すことができる 。
t r ( [ σ ( q ) , σ ( Y ) ] ) = t r ( 1 ) . {\displaystyle \mathrm {tr} ([\sigma (q),\sigma (Y)])=\mathrm {tr} (1)~.} 交換子のトレースはゼロであり、恒等式のトレースはその表現の次元であるため、表現はゼロ次元でなければなりません。
実際、有限次元表現が存在しないという主張よりも強い主張がある。任意の有限生成 A n 加群 Mには、対応する V × V ∗ の部分多様体 Char( M ) が存在し、これは 「特性多様体」 [ 要説明 ]と呼ばれ、その大きさは M の 大きさ [ 要説明 ] とほぼ一致する（有限次元加群は零次元特性多様体を持つ）。すると、 ベルンシュタインの不等式は、 M が 零でない 場合に、
dim ( char ( M ) ) ≥ n {\displaystyle \dim(\operatorname {char} (M))\geq n} さらに強力な主張はガッバーの定理であり、これは、Char( M )は 自然なシンプレクティック形式に対して V × V ∗ の 共等方性部分多様体であることを述べている。
肯定的な特徴 特性 p > 0 の体上のワイル代数の場合には状況は大きく異なります 。
この場合、ワイル代数の任意の元 D に対して、元 D p は中心元となるため、ワイル代数は非常に大きな中心を持つ。実際、ワイル代数はその中心上の有限生成加群であり、さらには中心上の アズマヤ代数でもある。結果として、 p 次元の単純な表現から構成される有限次元表現が多数存在する 。
一般化 のイデアル と自己同型は よく 研究されている。 [19] の右イデアルに対するモジュライ空間は知られている。 [ 20 しかし、 の場合 はかなり難しく、 ヤコビアン予想 と関連している。 A 1 {\displaystyle A_{1}} A n {\displaystyle A_{n}}
n = 1 の場合のこの量子化（および多項式関数よりも大きな積分関数のクラスへの フーリエ変換 を使用した拡張） の詳細については、 ウィグナー・ワイル変換を 参照してください。
ワイル代数とクリフォード代数は、さらに*-代数 の構造を許容し 、 CCR 代数と CAR 代数 で説明されているように、 超代数 の偶数項と奇数項として統一できます。
アフィン多様体 ワイル代数は代数多様体の場合にも一般化される。多項式環を考える。
R = C [ x 1 , … , x n ] I . {\displaystyle R={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{I}}.} すると、微分作用素はの -線型微分 の合成として定義される 。これは商環として明示的に記述できる。 C {\displaystyle \mathbb {C} } R {\displaystyle R}
Diff ( R ) = { D ∈ A n : D ( I ) ⊆ I } I ⋅ A n . {\displaystyle {\text{Diff}}(R)={\frac {\{D\in A_{n}\colon D(I)\subseteq I\}}{I\cdot A_{n}}}.}
参照
注記 ^ ランズマン 2007年、428ページ。 ^ 「Section 41.13 (039P): Étale and smooth morphisms—The Stacks project」. stacks.math.columbia.edu . 2024年9月29日 閲覧 。 ^ 「nLabにおけるスキームのエタール写像」 ncatlab.org . 2024年9月29日 閲覧 。 ^ アレクサンダー・グロタンディーク (1964)。 「幾何学の要素 : IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、プレミア パーティー」。 出版物 Mathématiques de l'IHÉS 。 20 : 5–259。ISSN 1618-1913 。 ^ キャニングス＆ホランド 1994年、116～141頁。
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![{\displaystyle F[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39bc9f9d8679fc385df3bccf9694283b796f3216)
![{\displaystyle f_{i}(x)\in F[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8504c3d1e41429225015a7604675a947e27c59)
![{\displaystyle ([p,q]-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a832f01ed2317124b20304c1f24b83f71733d669)
![{\displaystyle ([p_{i},q_{j}]-\delta _{i,j}),\quad \forall i,j=1,\dots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c601a49eb7fd5d9bb77099a6a6acfda6472483)
![{\displaystyle R[\partial _{1},\ldots ,\partial _{m}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af487da3b36cd62ef3d951a3d970f7b4ac59327)
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![{\displaystyle [{\hat {q}}_{i},{\hat {q}}_{j}]=0,\quad [{\hat {p}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=0,\quad [{\hat {q}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb32d5359392dba6d088dbc5fe939aa27f1bbb8)
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle (\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}],\star )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6411e694d1735f8b8f6d9ee3072c2ce7a9c9eea8)
![{\displaystyle R[x_{1},...,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda96abdff8d9e0cd6ad0bcdd26957f530970200)
![{\displaystyle D_{R}^{k}=\left\{d\in \operatorname {End} _{S}(R):[d,a]\in D_{R}^{k-1}{\text{すべてのa\in R\right\}に対して}。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/338ad28e64f9ddbe070c53fcefa69819e80067ba)
![{\displaystyle R=S[x_{1},...,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165834ad2dd08b20e6a879af05d91170f205f64a)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},...,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fe643d5ef1b64cebb7e3a71d702ee76a9d267cd)
![{\displaystyle \partial _{x_{1}}^{[p]}:x_{1}^{N}\mapsto {N \choose p}x_{1}^{Np}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db6704d6a414051eead75da68420c139f4c7050a)
![{\displaystyle D_{S[x_{1},\dots ,x_{\ell }]/S}^{n}=S\langle x_{1},\dots ,x_{\ell },\{\partial _{x_{i}},\partial _{x_{i}}^{[2]},\dots ,\partial _{x_{i}}^{[n]}\}_{1\leq i\leq \ell }\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f7e0ab76dc3ebd6f2a43a67f7e783c04b49b96)
![{\displaystyle [x_{i},x_{j}]=[\partial _{x_{i}}^{[k]},\partial _{x_{j}}^{[m]}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa066becfcea7ffa12dc5047736a3854363d448)
![{\displaystyle [\partial _{x_{i}}^{[k]},x_{j}]=\left\{{\begin{matrix}\partial _{x_{i}}^{[k-1]}&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8662c49f6e2ac9295f8c5730a73ea0af17b49b45)
![{\displaystyle \partial _{x_{i}}^{[k]}\partial _{x_{i}}^{[m]}={k+m \choose k}\partial _{x_{i}}^{[k+m]}~~~~~{\text{k+m\leq n のとき}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5419a7ea72473e520d81bd96cbbf382272413475)
![{\displaystyle \partial _{x_{i}}^{[0]}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6689e0ba05d0e6dd1960b7915b591659621090e4)
![{\displaystyle R=\mathbb {C} [x_{1},...,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce39c26aafff3e1e78137a729a0a36b5aa80c62)
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![{\textstyle [p,q^{m}p^{n}]=mq^{m-1}p^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e09c0150277972c99550e442cf0aa48c4e700372)
![{\displaystyle \deg([g,h])\leq \deg(g)+\deg(h)-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ea27e303b206206908000c9e51a048f3f00657)
![{\displaystyle [\partial ,f]=\partial ff\partial }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce6d12c47e65e2d2485c5dc02f461e4edba04581)
![{\displaystyle [\partial ,f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1038bfc9203be47a153d5f8d881eb6e3b292f80c)
![{\displaystyle [\partial ,f]\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99a1a2d3dbcaeca6458590cd37087207a982d3ff)
![{\displaystyle [x,f]=xf-fx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46da573c1cf129ae3970b004c994057ad86e570c)
![{\textstyle [\cdot ,f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e70982fe96b7a219be729912d83af6766f8c2b9)
![{\textstyle [\cdot ,f]=[\cdot ,f']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4c89ed5b8173e35d747640a2733b51c9de07126)
![{\textstyle [p,r]=D(p),[q,r]=D(q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/054fe672b140e5a00225c55fadd80c8f54b5d704)
![{\textstyle [\cdot ,r]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeac3615e72326dbfe048ff7e8fd72cd8628f7ce)
![{\textstyle [g,r]=D(g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/601e32c25d80d1bdf71b6001f0d9be090fe0d0fa)
![{\displaystyle [p,f]=\sum _{m,n}mc_{m,n}q^{m}p^{n}=D(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b6bd90035fe35037ae984211f3247a8bd37177)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&{\stackrel {[p,q]=1}{=}}D([p,q])\\&{\stackrel {D{\text{は導関数}}}{=}}[p,D(q)]+[D(p),q]\\&{\stackrel {[p,f]=D(p)}{=}}[p,D(q)]+[[p,f],q]\\&{\stackrel {\text{ヤコビ恒等式}}{=}}[p,D(q)-[q,f]]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/808e2ae0b433bf6f6491d2b7388dab98bf0fa996)
![{\textstyle D(q)=g(p)+[q,f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0854744b61e3773b8e30d9126f43496f549b5c6d)
![{\textstyle [q,h(p)]=g(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16dbb4b6d6a4e9391f2f092c07af2b58aa4fc2cc)
![{\textstyle [p,h(p)]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/793a87610453a356a0b77bd913ec48388881b951)
![{\textstyle [q_{1},r]=D(q_{1}),[p_{1},r]=D(p_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2934e8ab23a2cad91510ae381b528824e999972)
![{\displaystyle [x,D(y)-[y,r]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d04a044a1064dcc09a398e201ffd717aeaad296)
![{\textstyle [x,D(y)-[y,r]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201eb9ac6d865e84c8e6fb26f0aeeaa82025b041)
![{\textstyle [x,D(y)-[y,r]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b36c9b5c8120cb1db7e6c50ddb45338093e4d0f)
![{\displaystyle D(y)-[y,r]\in \langle p_{2},\dots ,p_{n},q_{2},\dots ,q_{n}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d753dc9cc82af64ced7e90d5ec71654a4c4204c1)
![{\textstyle D-[\cdot ,r]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7299b6a808b053e7eecfea2ccb4de6bd157d6e5)
![{\textstyle D(y)-[y,r]=[y,r']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44cd572f1f5e606ff7f2600754081c6629109d4)
![{\textstyle D(y)=[y,r+r']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a25048ad825a7c18e4823781ab991f53faf50e)
![{\displaystyle \mathrm {tr} ([\sigma (q),\sigma (Y)])=\mathrm {tr} (1)~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52318e009a36a780a788098ddda6693dd3ea22e1)
![{\displaystyle R={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{I}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6eb46eb2324ce760e878583eaf2aef8503cf47)
