平均絶対誤差

Statistical error measure

統計学において、平均絶対誤差（MAE ）は、同じ現象を表す一対の観測値間の誤差の尺度です。YとXの比較の例には、予測値と観測値、後続の時刻と最初の時刻、1 つの測定手法と別の測定手法の比較などがあります。MAE は、絶対誤差の合計（マンハッタン距離）をサンプル サイズで割って計算されます。^[1]つまり、MAE は絶対誤差 の算術平均であり、は予測値と真の値です。別の定式化では、相対頻度を重み係数として使用することもできます。平均絶対誤差は、測定されるデータと同じスケールを使用します。これはスケール依存の精度尺度として知られており、異なるスケールを使用する予測値の比較には使用できません。^[2]平均絶対誤差は、時系列分析における予測誤差の一般的な尺度です^[3]が、平均絶対偏差のより標準的な定義と混同されることがあります。同じ混同は、より一般的に存在します。 $${\displaystyle \mathrm {MAE} ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left|y_{i}-x_{i}\right|}{n}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left|e_{i}\right|}{n}}.}$$ ${\displaystyle |e_{i}|=|y_{i}-x_{i}|}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

数量の不一致と配​​分の不一致

MAE と RMSE の両方について、数量の不一致が 0 で割り当ての不一致が 2 である 2 つのデータ ポイント。

リモートセンシングにおいて、MAEは量の不一致と割り当ての不一致という2つの要素の合計として表されることがあります。量の不一致は平均誤差の絶対値です。^[4]割り当ての不一致はMAEから量の不​​一致を差し引いたものです。 $${\displaystyle \left|{\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}-x_{i}}{n}}\right|.}$$

プロットを見ることで差異の種類を識別することも可能である。数量差異は、X値の平均がY値の平均と等しくない場合に発生する。配分差異は、点が恒等直線の両側にある場合にのみ発生する。^{[4] [5]} ${\displaystyle (x,y)}$

関連施策

平均絶対誤差は、予測と最終的な結果を比較する数ある方法の一つです。よく知られた代替指標としては、平均絶対尺度誤差（MASE）、平均絶対対数誤差（MALE）、平均二乗誤差などがあります。これらはすべて、予測の過大または過小の方向を無視してパフォーマンスを要約します。この点に重点を置く指標は、平均符号差です。

選択されたパフォーマンス測定基準を使用して予測モデルを適合する場合、最小二乗法は平均二乗誤差に関連し、平均絶対誤差に相当するのは最小絶対偏差です。

MAEは、一部の研究者がそう解釈し報告しているものの、二乗平均平方根誤差（RMSE）と同一ではありません。MAEはRMSEよりも概念的に単純で、解釈も容易です。MAEは、散布図上の各点とY=X線との間の垂直または水平方向の絶対距離の平均です。言い換えれば、MAEはXとYの差の絶対値の平均です。さらに、各誤差は誤差の絶対値に比例してMAEに寄与します。これは、差を二乗するRMSEとは対照的です。RMSEでは、いくつかの大きな差があると、MAEよりもRMSEが大きく増加します。^[4]

最適性特性

実変数cの確率変数Xに対する平均絶対誤差は、 Xの確率分布が上記の期待値が存在するようなものである場合、mがXに関する平均絶対誤差の最小値となる場合のみ、mはXの中央値となる。^[6]特に、mが絶対偏差の算術平均を最小化する場合に限り、mは標本中央値となる。^[7]  $${\displaystyle E(\left|X-c\right|).}$$

より一般的には、中央値は、多変量中央値（具体的には空間中央値）で議論されているように、最小値として定義されます。この最適化に基づく中央値の定義は、 k中央値クラスタリングなどの統計データ分析において有用です。 $${\displaystyle E(|X-c|-|X|),}$$

最適性の証明

ステートメント: を最小化する分類器は です。 ${\displaystyle \mathbb {E} |y-{\hat {y}}|}$ ${\displaystyle {\hat {f}}(x)={\text{Median}}(y|X=x)}$

証拠：

分類の損失関数は、 aに関して微分すると次のようになる。つまり、 $${\displaystyle {\begin{aligned}L&=\mathbb {E} [|y-a||X=x]\\&=\int _{-\infty }^{\infty }|y-a|f_{Y|X}(y)\,dy\\&=\int _{-\infty }^{a}(a-y)f_{Y|X}(y)\,dy+\int _{a}^{\infty }(y-a)f_{Y|X}(y)\,dy.\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}L=\int _{-\infty }^{a}f_{Y|X}(y)\,dy+\int _{a}^{\infty }-f_{Y|X}(y)\,dy=0.}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(y)\,dy=\int _{a}^{\infty }f(y)\,dy.}$$ $${\displaystyle F_{Y|X}(a)=0.5.}$$

参照

• 最小絶対偏差
• タクシーの形状
• 平均絶対パーセント誤差
• 平均パーセンテージ誤差
• 対称平均絶対パーセント誤差

参考文献

1. Willmott, Cort J.; Matsuura, Kenji (2005年12月19日). 「平均モデル性能の評価における平均絶対誤差（MAE）と平均二乗平均平方根誤差（RMSE）の比較による利点」. Climate Research . 30 : 79–82 . doi : 10.3354/cr030079 .
2. 「2.5 予測精度の評価 | OTexts」www.otexts.org . 2016年5月18日閲覧。
3. Hyndman, R. and Koehler A. (2005). 「予測精度の尺度に関する再考察」[1]
4. Pontius Jr., Robert Gilmore; Thontteh, Olufunmilayo; Chen, Hao (2008). 「実数変数を共有する地図間の多重解像度比較のための情報構成要素」(PDF) .環境生態統計. 15 (2): 111– 142. doi :10.1007/s10651-007-0043-y. S2CID  21427573.
5. Willmott, CJ; Matsuura, K. (2006年1月). 「空間補間器の性能評価における次元化された誤差指標の利用について」. International Journal of Geographical Information Science . 20 : 89–102 . doi :10.1080/13658810500286976. S2CID  15407960.
6. ストロック、ダニエル (2011).確率論. ケンブリッジ大学出版局. pp. 43. ISBN 978-0-521-13250-3。
7. デグルート、モリス・H. (1970). 最適統計的決定. マグロウヒル・ブック社, ニューヨーク・ロンドン・シドニー. p. 232. ISBN 9780471680291. MR  0356303。

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