マクドナルド多項式

Orthogonal symmetric polynomial family

数学において、マクドナルド多項式 P _λ ( x ; t , q ) は、1987 年にマクドナルドが導入した、複数変数の直交 対称多項式の族です。彼は後に 1995 年に非対称の一般化を導入しました。マクドナルドは当初、この多項式を有限ルート システムの重み λ に関連付け、変数t を1 つだけ使用していましたが、後に、有限ルート システムではなくアフィン ルート システムに関連付ける方が自然であることに気付きました 。この場合、変数tは、アフィン ルート システムのk個のルートの軌道のそれぞれに 1 つずつ、複数の異なる変数t =( t ₁ ,..., t _k )に置き換えることができます。マクドナルド多項式はn変数の多項式x =( x ₁ ,..., x _n ) であり、nはアフィン ルート システムの階数です。これらは、ジャック多項式、ホール・リトルウッド多項式、アスキー・ウィルソン多項式など、他の多くの直交多項式の族を一般化します。これらの族は、名前付き1変数直交多項式のほとんどを特別な場合として含みます。コーンワインダー多項式は、特定の非既約ルート系のマクドナルド多項式です。これらは、マクドナルドがそれらについて行ったいくつかの予想を証明するために使用されたアフィン・ヘッケ代数やヒルベルト・スキームと深い関係があります。

意味

まず表記を修正します。

• Rは実ベクトル空間Vの有限ルート系です。
• R ⁺は正の根の選択であり、正のワイル室に対応する。
• WはRのWeyl 群です。
• QはRのルート格子(ルートによって張られる格子) です。
• PはRの重み格子（Qを含む）です。
• 重みの順序付け:が単純根の非負線形結合である場合に限ります。 ${\displaystyle \mu \leq \lambda }$ ${\displaystyle \lambda -\mu }$
• P ⁺は主要な重みの集合、つまり正のワイルチャンバー内のPの要素です。
• ρ はワイルベクトルです。正の根の合計の半分です。これは、正のワイルチャンバーの内部にあるP ^{+の特別な要素です。}
• Fは特性 0 の体であり、通常は有理数です。
• A = F ( P ) はPの群代数であり、 λ ∈ Pに対してe ^λと表記される元の基底を持ちます。
• f = e ^λの場合、f はe ^−λ を意味し、これは線形性によって群代数全体に拡張されます。
• m _μ = Σ _{λ ∈ W μ} e ^λは軌道の合計です。これらの要素は、 Wによって固定された要素の部分代数A ^Wの基礎を形成します。
• ${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{r\geq 0}(1-aq^{r})}$、無限 q-ポッホハンマー記号。
• ${\displaystyle \Delta =\prod _{\alpha \in R}{(e^{\alpha };q)_{\infty } \over (te^{\alpha };q)_{\infty }}.}$
• ${\displaystyle \langle f,g\rangle =({\text{constant term of }}f{\overline {g}}\Delta )/|W|}$少なくともt がqの正の整数乗である場合、 Aの 2 つの要素の内積です。

λ∈P ⁺のマクドナルド多項式 Pλ_は、次の2つの条件によって一意に定義されます。

${\displaystyle P_{\lambda }=\sum _{\mu \leq \lambda }u_{\lambda \mu }m_{\mu }}$ここでu _λμはu _λλ = 1となるqとtの有理関数である。

λ < μ の場合、 P _λとP _μは直交します。

言い換えれば、マクドナルド多項式はA ^Wの明らかな基底を直交化することで得られる。これらの特性を持つ多項式の存在は簡単に示せる（任意の内積について）。マクドナルド多項式の重要な特性は直交性である：λ ≠ μ のときはいつでも 〈P _λ , P _μ〉 = 0 。これは定義から自明な帰結ではない。なぜならP ^{+ は}完全に順序付けられておらず、比較できない要素が多数存在するからである。したがって、対応する多項式が依然として直交していることを確認する必要がある。直交性は、マクドナルド多項式が 1 次元固有空間を持つ可換な自己随伴演算子の代数の固有ベクトルであることを示し、異なる固有値の固有空間は直交しなければならないという事実を使用することで証明できる。

単純でないルート系 (B、C、F、G) の場合、パラメータt はルートの長さに応じて変化するように選択でき、3 パラメータのマクドナルド多項式族が得られます。定義を非既約ルート系 BC に拡張することもできます。その場合、コーンワインダー多項式として知られる 6 パラメータ族 (ルートの各軌道に1 つのtと、 q )が得られます。マクドナルド多項式は、おそらく既約でないアフィンルート系に依存すると見なす方が良い場合があります。この場合、アフィンルート系のルートの各軌道に関連付けられた1 つのパラメータtと、1 つのパラメータqがあります。ルートの軌道の数は 1 から 5 まで変化します。

例

• q = tの場合、マクドナルド多項式はルート システムのコンパクト グループの表現のWeyl 指標になり、またはタイプAのルート システムの場合は Schur 関数になります。
• q = 0の場合、マクドナルド多項式は半単純p進群の（再スケールされた）ゾーン球面関数になり、ルートシステムがタイプAの場合、ホール–リトルウッド多項式になります。
• t =1の場合、マクドナルド多項式はW軌道上の和になり、ルートシステムがタイプAの場合の単項式対称関数になります。
• t = q ^αとし、q を1 に近づけると、ルート システムがAタイプの場合にはマクドナルド多項式はジャック多項式になり、より一般的なルート システムの場合はヘックマン–オプダム多項式になります。
• アフィン根系A ₁の場合、マクドナルド多項式はロジャース多項式です。
• （C^∨
  ₁, C ₁ ) の場合、マクドナルド多項式はAskey–Wilson 多項式であり、これは 1 変数の直交多項式のほとんどの名前付き族を特殊なケースとして含みます。
• （C^∨
  _n, C _n ) の場合、マクドナルド多項式はKoornwinder 多項式です。

マクドナルド定数項予想

t = q ^k（ある正の整数k ）のとき、マクドナルド多項式のノルムは次のように与えられる。

${\displaystyle \langle P_{\lambda },P_{\lambda }\rangle =\prod _{\alpha \in R,\alpha >0}\prod _{0<i<k}{1-q^{(\lambda +k\rho ,2\alpha /(\alpha ,\alpha ))+i} \over 1-q^{(\lambda +k\rho ,2\alpha /(\alpha ,\alpha ))-i}}.}$

これはマクドナルド（1982）によってダイソン予想の一般化として予想され、チェレドニク（1995）によって二重アフィンヘッケ代数の性質を用いてすべての（被約）ルート系に対して証明された。この予想は、 E _n型を除くすべてのルート系について、複数の著者によってケースバイケースで証明されていた。

^{この文脈では、}ノルム予想と合わせてマクドナルド予想と呼ばれる他の2つの予想がある。マクドナルドは、ノルムの式に加えて、点tρにおけるPλの値の式と対称性 も予想した_。

${\displaystyle {\frac {P_{\lambda }(\dots ,q^{\mu _{i}}t^{\rho _{i}},\dots )}{P_{\lambda }(t^{\rho })}}={\frac {P_{\mu }(\dots ,q^{\lambda _{i}}t^{\rho _{i}},\dots )}{P_{\mu }(t^{\rho })}}.}$

また、これらは、二重アフィンヘッケ代数を使用して、 Cherednik  (1995)によって一般の簡約ルート系に対して証明され、その後すぐに van Diejen、Noumi、および Sahi の研究によって BC の場合への拡張が続きました。

マクドナルドの正値性予想

A _{n −1}型の根系の場合、マクドナルド多項式は、qおよびtの有理関数を係数とするn変数の対称多項式にすぎません。マクドナルド多項式のある変形バージョン(以下の組合せ公式を参照) は、 上の対称関数の空間の直交基底を形成するため、シュア関数で表すことができます。これらの関係の係数K _λμ ( q , t ) は、コストカ–マクドナルド係数またはqt -コストカ係数と呼ばれます。マクドナルドは、コストカ–マクドナルド係数はqおよびtの多項式で、係数は非負の整数であると予想しました。これらの予想は現在では証明されています。最も困難で最後のステップは正値性を証明することでしたが、これはMark Haiman (2001) がn ! 予想を証明して行いました。 ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (q,t)}$ ${\displaystyle s_{\lambda }}$

qt -コストカ係数の組合せ論的公式を見つけることは、代数的組合せ論において依然として中心的な未解決問題です。

n! 推測

アドリアーノ・ガルシアとマーク・ハイマンのn !予想は、 nの各分割μに対して、空間

${\displaystyle D_{\mu }=C[\partial _{x},\partial _{y}]\,\Delta _{\mu }}$

のすべての高次偏微分によって張られる

${\displaystyle \Delta _{\mu }=\det(x_{i}^{p_{j}}y_{i}^{q_{j}})_{1\leq i,j,\leq n}}$

はn次元であり、( p _j , q _j )は分割μの図のn個の元を通る。これは非負整数のペアの部分集合とみなされる。例えば、μがn = 3の分割3 = 2 + 1である場合、( p _j , q _j ) のペアは(0, 0), (0, 1), (1, 0)となり、空間D _μは

${\displaystyle \Delta _{\mu }=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}}$

${\displaystyle y_{2}-y_{3}}$

${\displaystyle y_{3}-y_{1}}$

${\displaystyle x_{3}-x_{2}}$

${\displaystyle x_{1}-x_{3}}$

${\displaystyle 1}$

次元は 6 = 3! です。

ハイマンによるマクドナルド正値予想とn !予想の証明は、平面上のn点の等スペクトルヒルベルト図がコーエン・マコーレー（さらにはゴレンシュタイン）であることを示すことであった。ハイマンとガルシアによる以前の結果は、これがn !予想を導き、n !予想がコストカ・マクドナルド係数が加群D _μの次数付き指標多重度であることを意味することを既に示していた。指標多重度は非負の整数でなければならないため、これは直ちにマクドナルド正値予想を導く。

Ian Grojnowski と Mark Haiman は、 LLT 多項式の正値性予想を証明することによって、マクドナルドの正値性予想の別の証明を発見しました。

マクドナルド多項式の組み合わせ式

2005年に、J. Haglund、M. Haiman、N. Loehr ^[1]は、マクドナルド多項式の組み合わせ論的解釈の最初の証明を与えました。1988年に、IG Macdonald ^[2]は、マクドナルド多項式の組み合わせ論的解釈の2番目の証明を与えました（式（4.11）と（5.13））。マクドナルドの公式は、Haglund、Haiman、Loehrの研究のものと異なり、項がはるかに少ないです（この公式は、Macdonaldの独創的な研究である^[3] Ch. VI（7.13）でも証明されています）。計算には非常に便利で、それ自体興味深いものですが、彼らの組み合わせ論的公式は、マクドナルド多項式をシュアー関数ではなく単項式対称関数に分解するため、コストカ・マクドナルド係数の正値を直ちに意味しません。 ${\displaystyle K_{\lambda \mu }(q,t),}$

通常の ではなく、変換されたマクドナルド多項式 で書かれており、 ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }}$ ${\displaystyle P_{\lambda }}$

${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)=\sum _{\sigma :\mu \to \mathbb {Z} _{+}}q^{inv(\sigma )}t^{maj(\sigma )}x^{\sigma }}$

ここで、σ は形状 μ のヤング図の塗りつぶしであり、invとmaj は塗りつぶし σ 上で定義される特定の組み合わせ統計量（関数）です。この式は、マクドナルド多項式を無限変数で表します。n 変数の多項式を得るには、式を整数 1, 2, ..., nのみを使用する塗りつぶしに限定します。項x ^σは次のように解釈されます。ここで、σ _iは μ の塗りつぶしにおけるi個の内容を持つボックスの数です。 ${\displaystyle x_{1}^{\sigma _{1}}x_{2}^{\sigma _{2}}\cdots }$

これはヤング図形の正方形の腕と脚を表しています。腕はその右側にある正方形の数、脚はその上にある正方形の数です。

上の式における変換されたマクドナルド多項式は、一連の変換を介して古典的なマクドナルド多項式と関連している。まず、と表記されるマクドナルド多項式の積分形は、を再スケーリングしたもので、係数の分母を消去したものである。 ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)}$ ${\displaystyle P_{\lambda }}$ ${\displaystyle J_{\lambda }(x;q,t)}$ ${\displaystyle P_{\lambda }(x;q,t)}$

${\displaystyle J_{\lambda }(x;q,t)=\prod _{s\in D(\lambda )}(1-q^{a(s)}t^{1+l(s)})\cdot P_{\lambda }(x;q,t)}$

ここで、 は のヤング図における正方形の集合であり、と は図に示すように 正方形 の腕と脚を表します。注：右の図では、タブローの表記にフランス語が使用されていますが、これはWikipediaのヤング図のページで使用されている英語の表記とは上下反転しています。フランス語の表記は、マクドナルド多項式の研究ではより一般的に使用されています。 ${\displaystyle D(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle a(s)}$ ${\displaystyle l(s)}$ ${\displaystyle s}$

変換されたマクドナルド多項式は、 を用いて定義することができる。 ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)}$ ${\displaystyle J_{\mu }}$

${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)=t^{-n(\mu )}J_{\mu }\left[{\frac {X}{1-t^{-1}}};q,t^{-1}\right]}$

どこ

${\displaystyle n(\mu )=\sum _{i}\mu _{i}\cdot (i-1).}$

上記の括弧内の表記は、容積脈波置換術を表します。

この式は、ジャック多項式に対する Knop と Sahi の式を証明するために使用できます。

非対称マクドナルド多項式

1995年、マクドナルドは対称マクドナルド多項式の非対称版を導入し、対称マクドナルド多項式は非対称版から容易に復元できることを示した。彼の独自の定義では、非対称マクドナルド多項式は特定の内積に直交する唯一の多項式族であり、単項式基底で展開した場合に三角形性を満たすことが示されている。

2007 年、Haglund、Haiman、Loehr は非対称マクドナルド多項式の組み合わせ式を提示しました。

非対称マクドナルド多項式は、q=t=0 をとることでデマズール指標に特化し、q=t=∞ のときはキー多項式に特化します。

排除過程に基づく組み合わせ式

2018年、S. Corteel、O. Mandelshtam、L. Williamsは、排他過程を用いて、対称および非対称のマクドナルド多項式の両方の直接的な組み合わせ論的特徴付けを与えた。^[4]彼らの結果は、マクドナルド多項式の変換ではなく、マクドナルド多項式の直接的な公式を与えている点で、Haglundの以前の研究とは一部異なる。彼らは、ボールまたは空セルを含む行列と、ボールとその近傍との間のマッピング、および組み合わせ論的ラベル付けメカニズムであるマルチラインキューの概念を展開した。このとき、非対称マクドナルド多項式は以下を満たす。

${\displaystyle E_{\lambda }({\textbf {x}};q,t)=\sum _{Q}\mathrm {wt} (Q)}$

ここで、和はすべてのマルチラインキュー型についてであり、それらのキューを特定の多項式にマッピングする重み関数です。対称マクドナルド多項式は以下を満たします。 ${\displaystyle L\times n}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathrm {wt} }$

${\displaystyle P_{\lambda }({\textbf {x}};q,t)=\sum _{\mu }E_{\mu }(x_{1},...,x_{n};q,t)=\sum _{\mu }\sum _{Q}\mathrm {wt} (Q)}$

ここで、外側の和はの順列であるすべての異なる合成にわたっており、内側の和は前と同じです。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$

参考文献

1. Haglund, J.; Haiman, M.; Loehr, N. (2005)、「マクドナルド多項式の組み合わせ式」、アメリカ数学会誌、18 (3): 735– 761、arXiv : math/0409538、doi : 10.1090/S0894-0347-05-00485-6、ISSN  0894-0347、MR  2138143
2. Macdonald, IG. 「対称関数の新しいクラス」. Publ. IRMA Strasbourg, 1988, 372/S–20 Actes 20e Séminaire Lotharingien, p. 131–171. eudml.org
3. マクドナルド、IG.対称関数とホール多項式.第2版. オックスフォード数学モノグラフ. オックスフォード科学出版. クラレンドン・プレス, オックスフォード大学出版局, ニューヨーク, 1995年. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 MR1354144
4. Corteel, Sylvie; Mandelshtam, Olya; Williams, Lauren (2018)「排他過程による多行キューからマクドナルド多項式へ」arXiv : 1811.01024 [math.CO]

参考文献

• チェレドニク、イヴァン (1995)、「二重アフィン・ヘッケ代数とマクドナルドの予想」、Annals of Mathematics、第2集、141 (1)、Annals of Mathematics: 191– 216、doi :10.2307/2118632、ISSN  0003-486X、JSTOR  2118632
• ガルシア、アドリアーノ；レンメル、ジェフリー・B.（2005年3月15日）「マクドナルド多項式理論におけるブレークスルー」、PNAS、102（11）：3891– 3894、Bibcode：2005PNAS..102.3891G、doi：10.1073/pnas.0409705102、PMC  554818、PMID  15753285
• Mark Haiman「組合せ論、対称関数、ヒルベルトスキーム」Current Developments in Mathematics 2002、第1号（2002年）、39–111。
• ハイマン, マーク『マクドナルド多項式とヒルベルトスキームの幾何学に関するノート』対称関数2001：発展と展望の概観、1-64、NATO科学シリーズII数学・物理・化学、74、クルーワーアカデミー出版、ドルドレヒト、2002年 。MR 2059359
• ハイマン、マーク（2001）「ヒルベルトスキーム、ポリグラフ、そしてマクドナルド正値予想」、アメリカ数学会誌、14（4）：941–1006、arXiv：math.AG/0010246、doi：10.1090/S0894-0347-01-00373-3、S2CID  9253880
• キリロフ, AA (1997)、「アフィン・ヘッケ代数とマクドナルド予想に関する講義」アメリカ数学会誌、34 (3): 251– 292, doi : 10.1090/S0273-0979-97-00727-1
• マクドナルド, IG (1982)、「ルートシステムに関するいくつかの予想」、SIAM Journal on Mathematical Analysis、13 (6): 988– 1007、doi :10.1137/0513070、ISSN  0036-1410、MR  0674768
• マクドナルド、IG. 『対称関数とホール多項式』第2版、オックスフォード数学モノグラフ、オックスフォード科学出版、クラレンドン・プレス、オックスフォード大学出版局、ニューヨーク、1995年、475頁。ISBN 0-19-853489-2 MR  1354144
• マクドナルド, I.G. 「対称関数と直交多項式」ラトガース大学（ニュージャージー州ニューブランズウィック）におけるジャクリーン・B・ルイス学長記念講演。大学講演シリーズ第12回。アメリカ数学会、ロードアイランド州プロビデンス、1998年。xvi+53頁。ISBN 0-8218-0770-6 MR  1488699
• マクドナルド、IGアフィン ヘッケ代数と直交多項式。ブルバキセミナー 797 (1995)。
• Macdonald, IG (2000–2001)、「ルート システムに関連付けられた直交多項式」、Séminaire Lotharingien de Combinatoire、45 : Art。 B45a、arXiv : math.QA/0011046、MR  1817334
• マクドナルド、IG（2003）、アフィン・ヘッケ代数と直交多項式、ケンブリッジ数学論文集、第157巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、pp. x+175、ISBN 978-0-521-82472-9、MR  1976581

外部リンク

• Macdonald 多項式に関する Mike Zabrocki のページ。
• マクドナルド多項式に関するハイマンの論文の一部。

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