周辺分布

Aspect of probability and statistics

確率論と統計学において、確率変数の集合の部分集合の周辺分布とは、その部分集合に含まれる変数の確率分布である。これは、部分集合内の変数の様々な値の確率を、他の変数の値を参照することなく与える。これは、他の変数の値に依存した確率を与える条件付き分布とは対照的である。

周辺変数とは、保持される変数のサブセットに含まれる変数です。これらの概念が「周辺的」なのは、表の行または列に沿って値を合計し、その合計を表の余白に書き込むことで得られるためです。^[1]周辺変数の分布（周辺分布）は、破棄される変数の分布を周辺化（つまり、余白の合計に焦点を当てる）することで得られ、破棄された変数は周辺化されたと言われています。

ここでの文脈は、実施されている理論研究やデータ分析では、より広範な確率変数の集合が用いられているものの、注目されているのはそれらの変数のうちの限られた数に限られているということです。多くの応用において、分析は与えられた確率変数の集合から開始し、まず新しい変数（元の確率変数の和など）を定義して集合を拡張し、最後に部分集合（和など）の周辺分布に着目することで変数の数を減らします。複数の異なる分析が行われ、それぞれが異なる変数の部分集合を周辺分布として扱う場合があります。

意味

周辺確率質量関数

2つの離散確率変数（例えばXとY）の既知の結合分布が与えられた場合、どちらかの変数（例えばX）の周辺分布は、 Yの値を考慮しない場合のXの確率分布です。これは、 Yのすべての値について結合確率分布を合計することで計算できます。当然、逆もまた真です。つまり、 Yの周辺分布は、 Xの個々の値について合計することで得られます。

$${\displaystyle p_{X}(x_{i})=\sum _{j}p(x_{i},y_{j}),\quad {\text{and}}\quad p_{Y}(y_{j})=\sum _{i}p(x_{i},y_{j})}$$

離散確率変数XとYのペアは従属関係にあり、相互情報量 I ( X ; Y )は非ゼロである。これらのペアの結合分布と周辺分布。結合分布の値は3×4の長方形内にあり、周辺分布の値は右端と下端に沿ってある。

X はい	× 1	× 2	× 3	× 4	p Y ( y ) ↓
y 1	⁠4/32⁠	⁠2/32⁠	⁠1/32⁠	⁠1/32⁠	⁠8/32⁠
y 2	⁠3/32⁠	⁠6/32⁠	⁠3/32⁠	⁠3/32⁠	⁠15/32⁠
y 3	⁠9/32⁠	0	0	0	⁠9/32⁠
p X ( x ) →	⁠16/32⁠	⁠8/32⁠	⁠4/32⁠	⁠4/32⁠	⁠32/32⁠

周辺確率は常に期待値として表すことができます。 $${\displaystyle p_{X}(x)=\int _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y=\operatorname {E} _{Y}[p_{X\mid Y}(x\mid Y)]\;.}$$

直感的には、 Xの周辺確率は、Yの特定の値が与えられた場合のX の条件付き確率を調べ、次にこの条件付き確率をYのすべての値の分布にわたって平均化することによって計算されます。

これは期待値の定義から導き出される（無意識の統計学者の法則を適用した後） $${\displaystyle \operatorname {E} _{Y}[f(Y)]=\int _{y}f(y)p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y.}$$

したがって、周辺化は、ランダム変数Yと別のランダム変数X = g ( Y )の確率分布の変換規則を提供します。 $${\displaystyle p_{X}(x)=\int _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y=\int _{y}\delta {\big (}x-g(y){\big )}\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y.}$$

周辺確率密度関数

二つの連続 確率変数 XとYの共分布が既知である場合、共分布の確率密度fをYについて積分することで周辺確率密度関数を得ることができ、逆もまた同様である。つまり、

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\\f_{Y}(y)=\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx\end{aligned}}}$$

ここで、、および。 ${\displaystyle x\in [a,b]}$ ${\displaystyle y\in [c,d]}$

周辺累積分布関数

結合累積分布関数から周辺累積分布関数を求めるのは簡単です。以下の点を思い出してください。

• 離散確率変数の場合、 $${\displaystyle F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)}$$
• 連続確率変数の場合、 $${\displaystyle F(x,y)=\int _{a}^{x}\int _{c}^{y}f(x',y')\,dy'dx'}$$

XとYが[ a , b ]×[ c , d ]の値を共同で取る場合、

$${\displaystyle F_{X}(x)=F(x,d)\quad {\text{and}}\quad F_{Y}(y)=F(b,y)}$$

dが ∞ の場合、これは極限 になります。 の場合も同様です。 ${\textstyle F_{X}(x)=\lim _{y\to \infty }F(x,y)}$ ${\displaystyle F_{Y}(y)}$

周辺分布と条件付き分布

意味

周辺確率とは、他の事象とは独立して、単一の事象が発生する確率です。一方、条件付き確率とは、ある事象が既に発生しているという前提のもとで、ある事象が発生する確率です。つまり、ある変数の計算は別の変数に依存します。^[2]

ある変数を別の変数が与えられた場合の条件付き分布は、両変数の結合分布を他の変数の周辺分布で割ったものである。^[3]つまり、

• 離散確率変数の場合、 $${\displaystyle p_{Y|X}(y|x)=P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(X=x,Y=y)}{P_{X}(x)}}}$$
• 連続確率変数の場合、 $${\displaystyle f_{Y|X}(y|x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}}$$

例

200人の生徒がいる教室の学習時間（X）と正答率（Y）に関するデータがあるとします。^[4] XとYが離散確率変数であると仮定すると、 XとYの結合分布は_、表3に示すように、p（xi _、 yj ）のすべての可能な値をリストすることによって記述できます。

200人の生徒がいる教室での学習時間と正答率の関係を示すデータセットの2元表

X はい	学習時間（分）
％ 正しい		x 1 (0-20)	x 2 (21-40)	x 3 (41-60)	x 4 (>60)	p Y ( y ) ↓
	1歳（ 0-20）	⁠2/200⁠	0	0	⁠8/200⁠	⁠10/200⁠
	2年目（21-40）	⁠10/200⁠	⁠2/200⁠	⁠8/200⁠	0	⁠20/200⁠
	3歳（ 41-59）	⁠2/200⁠	⁠4/200⁠	⁠32/200⁠	⁠32/200⁠	⁠70/200⁠
	4歳（ 60-79）	0	⁠20/200⁠	⁠30/200⁠	⁠10/200⁠	⁠60/200⁠
	5歳（ 80-100）	0	⁠4/200⁠	⁠16/200⁠	⁠20/200⁠	⁠40/200⁠
	p X ( x ) →	⁠14/200⁠	⁠30/200⁠	⁠86/200⁠	⁠70/200⁠	1

周辺分布を使用すると、20 点以下のスコアを取った学生の数を特定できます。つまり、10 人または 5% です。 ${\displaystyle p_{Y}(y_{1})=P_{Y}(Y=y_{1})=\sum _{i=1}^{4}P(x_{i},y_{1})={\frac {2}{200}}+{\frac {8}{200}}={\frac {10}{200}}}$

条件付き分布を使用すると、60 分以上勉強した学生が 20 以下のスコアを取得する確率を判断できます。つまり、少なくとも 60 分勉強した後に 20 のスコアを取得する確率は約 11% です。 ${\displaystyle p_{Y|X}(y_{1}|x_{4})=P(Y=y_{1}|X=x_{4})={\frac {P(X=x_{4},Y=y_{1})}{P(X=x_{4})}}={\frac {8/200}{70/200}}={\frac {8}{70}}={\frac {4}{35}}}$

実世界の例

歩行者が横断歩道を渡っている際に信号機に注意を払わずに車に轢かれる確率を計算するとします。Hを{轢く、轢かない}から1つの値を取る離散確率変数とします。L（信号機）を{赤、黄、緑}から1つの値を取る離散確率変数とします。

現実的には、HはLに依存します。つまり、P(H = Hit)は、Lが赤、黄、緑のいずれであるかによって異なる値を取ります（P(H = Not Hit)も同様です）。例えば、横断歩道の信号が赤の場合よりも、緑の場合に横断しようとすると、車に轢かれる可能性がはるかに高くなります。言い換えれば、HとLの任意の可能な値の組み合わせについて、歩行者が信号の状態を無視した場合に、その2つのイベントが同時に発生する確率を求めるには、HとLの結合確率分布を考慮する必要があります。

しかし、周辺確率P(H = Hit)を計算する際に求められるのは、Lの特定の値が不明で、歩行者が信号の状態を無視している状況において、H = Hitとなる確率です。一般的に、歩行者は信号が赤、黄、青のいずれの場合でも衝突する可能性があります。したがって、周辺確率の答えは、Lのあらゆる値についてP(H | L)を合計することで得られます。ただし、Lの各値は、その発生確率によって重み付けされます。

以下は、ライトの状態に応じて、衝突の条件付き確率を示す表です。(ライトの状態に関係なく、衝突するか衝突しないかの確率は 1 であるため、この表の各列の合計は 1 になる必要があることに注意してください。)

条件付き分布: ${\displaystyle P(H\mid L)}$

L H	赤	黄色	緑
ヒットなし	0.99	0.9	0.2
打つ	0.01	0.1	0.8

結合確率分布を求めるには、より多くのデータが必要です。例えば、P(L = 赤) = 0.2、P(L = 黄) = 0.1、P(L = 緑) = 0.7とします。条件付き分布の各列に、その列の発生確率を乗じると、中央の2×3ブロックに示されたHとLの結合確率分布が得られます。（この2×3ブロックのセルの合計は1になることに注意してください。）

共同配布: ⁠ ⁠ ${\displaystyle P(H,L)}$

L H	赤	黄色	緑	周辺確率P( H )
ヒットなし	0.198	0.09	0.14	0.428
打つ	0.002	0.01	0.56	0.572
合計	0.2	0.1	0.7	1

周辺確率P(H = ヒット)は、この結合分布表のH = ヒット行の合計0.572です。これは、信号が赤、黄、または緑の場合に衝突される確率です。同様に、P(H = ノーヒット)の周辺確率は、H = ノーヒット行の合計です。

多変量分布

二変量正規分布からの多数のサンプル。周辺分布は赤と青で示されています。Xの周辺分布は、Y座標を考慮せずにX座標のヒストグラムを作成することによっても近似されます。

多変量分布の場合、上記と同様の式が適用されますが、 Xおよび/またはYの記号はベクトルとして解釈されます。特に、各和または積分は、 Xに含まれる変数を除くすべての変数に対して行われます。^[5]

つまり、X ₁、X ₂、…、X _{n が}離散確率変数である場合、周辺確率密度関数は 、 X ₁、X ₂、…、X _nが連続確率変数である場合、周辺確率密度関数は、 $${\displaystyle p_{X_{i}}(k)=\sum p(x_{1},x_{2},\dots ,x_{i-1},k,x_{i+1},\dots ,x_{n});}$$ $${\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{i-1}dx_{i+1}\cdots dx_{n}.}$$

参照

• 複合確率分布
• 結合確率分布
• 周辺尤度
• ワッサーシュタイン計量
• 条件付き分布

参考文献

1. Trumpler, Robert J. & Harold F. Weaver (1962).統計天文学. Dover Publications. pp.  32– 33.
2. 「周辺確率分布と条件付き確率分布：定義と例」Study.com . 2019年11月16日閲覧。
3. “Exam P [FSU Math]”. www.math.fsu.edu . 2019年11月16日閲覧。
4. 周辺分布と条件付き分布、 2019年11月16日閲覧
5. 確率と統計の現代的入門：なぜ、どのように理解するのか。デッキング、ミシェル（1946-）. ロンドン：シュプリンガー. 2005. ISBN 9781852338961. OCLC  262680588。{{cite book}}: CS1 maint: others (link)

参考文献

• Everitt, BS; Skrondal, A. (2010). Cambridge Dictionary of Statistics . Cambridge University Press .
• デッキング、FM;クライカンプ、C.ロプハー、HP;ミースター、LE (2005)。確率と統計の現代的な入門書。ロンドン : スプリンガー。ISBN 9781852338961。{{cite book}}: CS1 maint: publisher location (link)

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