巨大な重力

Theory of gravity in which the graviton has nonzero mass

理論物理学において、質量重力とは、重力子に非ゼロの質量を与えることで一般相対性理論を修正する重力理論である。古典理論では、これは重力波が質量波動方程式に従い、したがって光速以下の速度で伝播することを意味する。

背景

質量重力は長く曲がりくねった歴史を持ち、1930年代にヴォルフガング・パウリとマルクス・フィエルツが平坦時空背景上を伝播する質量スピン2の場の理論を初めて展開した時まで遡ります。その後1970年代に、質量を持つ重力子の理論は、ゴーストモードや、重力子の質量がゼロとなる極限における一般相対論との不連続性など、危険な病理を抱えていることが明らかになりました。これらの問題に対する解決策は3次元時空では以前から存在していましたが^{[1] [2]、 4次元以上では、2010年に}クラウディア・デ・ラム、グレゴリー・ガバダゼ、アンドリュー・トーリー（dRGTモデル）が研究するまで解決されていませんでした。

非常に初期の大質量重力理論の一つは、1965年にオギエヴェツキーとポルバリノフ（OP）によって構築されました。^[3] OPモデルは、dRGTで再発見されたゴーストのない大質量重力モデルと一致するという事実にも関わらず、OPモデルは、大質量重力を研究している現代の物理学者の間ではほとんど知られていません。おそらく、そのモデルで採用された戦略が、現在一般的に採用されているものとはかなり異なっていたためです。^[4] OPモデルへの大質量双対重力^[5]は、双対重力子場をそのエネルギー運動量テンソルの回転と結合することによって得られます。^{[6] [7]}双対重力の混合対称場の強度はガリレオ理論の完全に対称な外在曲率テンソルに匹敵するため、4次元の双対モデルの有効ラグランジアンはファデエフ・ルヴェリエ回帰から得ることができ、これは場の強度のトレースの多項式を含む項までガリレオ理論の有効ラグランジアンと類似している。^{[8] [9]}これはガリレオン理論の双対定式化にも現れている。^{[10] [11]}

一般相対性理論が長距離の質量重力下では修正されるという事実は、暗黒エネルギーを必要としない宇宙の加速膨張の可能な説明を提供する。質量重力とその拡張、例えば双計量重力^[12]は、観測結果と一致する後期加速を示す宇宙論的解をもたらす可能性がある。^{[13] [14] [15]}

重力波の観測により、重力子のコンプトン波長はλ _g >1.6 × 10 ¹⁶  m、これは重力子質量m _g <7.7 × 10 ⁻²³  eV / c ²。 ^[16]重力子の質量に関する競合的境界は、カッシーニやメッセンジャーなどの宇宙ミッションによる太陽系の測定からも得られており、代わりにλ _g >1.83 × 10 ¹⁶  mまたはm _g <6.76 × 10 ^-23  eV / c ²。 ^[17]

線形化された大質量重力

線形レベルでは、ミンコフスキー空間上を伝播する質量を持つスピン-2の場の理論を構築することができる。これは、次のように線形化重力の拡張として見ることができる。線形化重力は、一般相対論を平坦空間⁠ ⁠の周りで線形化することによって得られる。ここで、 はプランク質量でニュートンの重力定数である。これは、微分同相不変性と一致するラグランジアンの運動項、および物質との結合を次 のように導く。 ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+M_{\mathsf {Pl}}^{-1}h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle M_{\mathsf {Pl}}=1/{\sqrt {8\pi G\ }}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle h^{\mu \nu }T_{\mu \nu }\ ,}$

ここでは応力エネルギーテンソルです。この運動項と物質結合を合わせたものは、平坦空間について線形化されたアインシュタイン・ヒルベルト作用に他なりません。 ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

質量のある重力は、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$の非微分相互作用項を加えることで得られます。線形レベル（つまり、⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$の2次）では、考えられる質量項は2つだけです。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=a\ h^{\mu \nu }h_{\mu \nu }+b\ \left(\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }\right)^{2}~.}$

フィエツとパウリ^[18]は1939年に、係数が⁠ ⁠ ${\displaystyle a=-b}$となるように選ばれた場合にのみ、質量のある重力子の予想される5つの偏光（質量がない場合の2つと比較して）が伝播することを示した。それ以外の選択は、6番目の「幽霊のような」自由度を解き放つことになる。「幽霊」とは負の運動エネルギーを持つモードであり、理論の論理的矛盾につながる。そのハミルトニアンは下から無限大であるため、任意の大きさの正と負のエネルギーを持つ粒子に崩壊するには不安定である。フィエツ・パウリの質量項、

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {FP} }=m^{2}\left(h^{\mu \nu }h_{\mu \nu }-\left(\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }\right)^{2}\right)}$

したがって、これは質量を持つスピン 2 場の唯一の一貫した線形理論です。

vDVZ不連続性

1970年代、ヘンドリック・ファン・ダムとマルティヌス・JG・フェルトマン^[19]、そして独立にヴァレンティン・I・ザハロフ^[20]は、フィールツ＝パウリの質量を持つ重力の特異な性質を発見した。すなわち、その予測は極限において一般相対性理論の予測に一様には帰着しないということである。特に、小さなスケール（重力子質量のコンプトン波長よりも短い）ではニュートンの万有引力の法則が再現される一方で、光の曲がりはアルバート・アインシュタインが一般相対性理論で得た結果の4分の3に過ぎない。これはvDVZ不連続性として知られている。 ${\displaystyle m\to 0}$

光の曲がりが小さくなるのは、次のように理解できるかもしれません。 フィエルツ–パウリの質量を持つ重力子は、微分同相不変性の破れにより、線形一般相対論の質量のない重力子に比べて 3 つの自由度を余分に伝播します。これらの 3 つの自由度は、ここでの目的には関係のないベクトル場とスカラー場にまとめられます。このスカラーモードは、質量がない場合に比べて質量がある場合に余分な引力を及ぼします。したがって、非相対論的な質量間に及ぼされる力の測定値を一致させたい場合、質量のある理論の結合定数は質量のない理論の結合定数よりも小さくする必要があります。しかし、光の応力エネルギー テンソルはトレースレスであるため、光の曲がりはスカラー セクターには影響されません。したがって、2 つの理論が非相対論的プローブ間の力について一致する場合、質量のある理論は質量のない理論よりも小さな光の曲がりを予測することになります。

ヴァインシュタインスクリーニング

^{2年後、Vainshtein [21]}は、vDVZ不連続性は線型理論の産物であり、一般相対性理論の予測は、非線型効果、すなわち、における2次以上の項を考慮に入れると、実際に小さなスケールで回復されると主張しました。経験的に言えば、 Vainshtein半径として知られる領域内では、スカラーモードの変動は非線型になり、その高次微分項は標準的な運動項よりも大きくなります。したがって、この背景の周りでスカラーを標準的に正規化すると、運動項が大幅に抑制され、Vainshtein半径内のスカラーの変動が減衰します。スカラーによって媒介される余分な力はその勾配に比例（マイナス）するため、これは、線形Fierz-Pauli理論だけを使用して計算した場合よりも余分な力がはるかに小さくなることを示唆しています。 ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

ヴァインシュタイン遮蔽として知られるこの現象は、質量重力だけでなく、 DGPや特定のスカラーテンソル理論といった関連する修正重力理論にも作用しており、太陽系における修正重力の影響を隠す上で重要な役割を果たしています。これにより、これらの理論は一般相対性理論と同様に地球および太陽系の重力実験と一致する一方で、遠距離では大きな偏差を維持することができます。このようにして、これらの理論は宇宙の加速膨張を導き、より近い場所での観測によるはるかに厳しい制約に抵触することなく、宇宙の大規模構造に観測可能な痕跡を残すことができます。

ボウルワー・デザーの幽霊

フロイント-マヘシュワリ-シェーンベルク有限範囲重力モデル^[22]への応答として、vDVZ不連続性とヴァインシュタイン機構の発見とほぼ同時期に、デイヴィッド・ボウルウェアとスタンレー・デザーは1972年に、フィエルツ-パウリ理論の一般的な非線形拡張によって危険なゴーストモードが再導入されることを発見した^[23] 。彼らは、このモードが2次オーダーで存在しないことを保証するチューニングは、3次オーダー以上では一般的に破綻し、それらのオーダーでゴーストが再導入されることを発見した。その結果、このボウルウェア-デザーゴーストは、例えば非常に不均質な背景の周囲に存在することになる。 ${\displaystyle a=-b}$

これは問題です。なぜなら、フィールツ＝パウリのような線形重力理論は、それ自体では明確に定義されているものの、結合によって微分同相不変性が破れるため、物質と相互作用できないからです。これは、無限に高次の項を追加していくことで改善する必要があります。質量のない重力子の場合、この過程は収束し、結果はよく知られています。つまり、一般相対論に単純に到達します。これが、「一般相対論は（次元性、局所性などの条件を除けば）質量のないスピン2場の唯一の理論である」という主張の意味です。 ${\displaystyle h^{\mu \nu }T_{\mu \nu }}$

質量を持つ重力が実際に重力、すなわち物質と結合し、それによって重力を媒介する質量を持つスピン2場を記述するためには、同様に非線形完備化を達成する必要がある。Boulware-Deserゴーストは、このような試みにとって深刻な障害となる。質量を持ち相互作用するスピン2場の理論の大部分はこのゴーストに悩まされ、したがって実現不可能となる。実際、2010年までは、すべてのローレンツ不変質量重力理論はBoulware-Deserゴーストを持つと広く信じられていた^[24]。しかし、この考えが誤りであることを証明しようとする試みがなされた^[25]。注目すべきは、dRGTモデルはBDゴーストを選別して「打ち破る」最良の方法であるということであり、これはどちらもハミルトニアン処理とADM変数を用いて構築されているためである。しかし、有限範囲重力モデルとオギエヴェツキーとポルバリノフのモデルでは、ノイマンの変分原理と、エネルギー運動量テンソルをソースフィールドとして再定義し、共形的に改善する必要があることが判明しました。^[26]

ゴーストフリーの巨大重力

2010年に、de Rham、Gabadadze、Tolleyが、すべてのゴースト演算子（つまり、高次微分演算子）を運動方程式に寄与しない全微分にパッケージ化することで、Boulware-Deserゴーストを回避するように係数を調整した質量重力理論を順番に構築し、画期的な進歩が達成されました。^{[27] [28]} Boulware-Deserゴーストがすべての次数まで、また分離限界を超えて完全に存在しないことは、その後、Fawad HassanとRachel Rosenによって証明されました。^{[29] [30]}

ゴーストフリーのデ・ラム・ガバダゼ・トーリー（dRGT）質量重力作用は^[31]で与えられる。

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g\;~}}\ \left(-{\frac {\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}}{2}}\ R+m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}\ \sum _{n=0}^{4}\alpha _{n}\ e_{n}\!\left(\mathbb {K} \right)+{\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\!\left(g,\Phi _{i}\right)\right)\ ,}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle S=\int d^{4}x\ {\sqrt {-g\;}}\ \left(-{\frac {\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}}{2}}\ R+m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}\ \sum _{n=0}^{4}\beta _{n}\ e_{n}\!\left(\mathbb {X} \right)+{\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\!\left(g,\Phi _{i}\right)\right)~.}$

構成要素には説明が必要です。標準的な一般相対論と同様に、リッチスカラーに比例するアインシュタイン-ヒルベルトの運動項と、物質ラグランジアンとの最小結合項⁠ ⁠があり、これは標準模型のようなすべての物質場を表します。新しい構成要素は質量項、つまり相互作用ポテンシャルで、ブールワー・デザーゴーストを回避するために慎重に構築されており、相互作用の強さは（非ゼロの項が⁠ ⁠である場合）重力子の質量に密接に関連しています。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}}$ ${\displaystyle \Phi _{i}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

ゲージ不変性の原理は、対応するゲージが与えられたあらゆる場の理論において冗長な表現となる。例えば、質量を持つスピン1のプロカ作用では、ラグランジアン中の質量部分がゲージ不変性を破る。しかし、次の変換を導入することで不変性は回復される：⁠ ⁠。質量を持つ重力についても、アルカニ＝ハメド、ゲオルギ、シュワルツの質量を持つ重力に対する有効場の理論に従うことで同じことを実現できる。^[32]このアプローチではvDVZ不連続性が存在しないため、質量を持つ重力理論のdRGT再総和が以下のように発展した。^[28] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mA_{\mu }A^{\mu }}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle A_{\mu }\to A_{\mu }+\partial _{\mu }\pi }$

相互作用ポテンシャルは、行列の固有値の基本対称多項式 、またはそれぞれ無次元結合定数または⁠ ⁠でパラメータ化されたものから構築されます。ここでは行列 の行列平方根です。指数表記で書かれ、関係⁠ ⁠によって定義されます。相互作用項を構築するために、参照計量を導入しました。これには単純な理由があります。単独で非自明な相互作用（つまり、非微分）項を構築することは不可能だからです。唯一の可能性は⁠ ⁠と⁠ ⁠であり、どちらも真の相互作用ではなく宇宙定数項につながります。物理的には、 は、変動が Fierz–Pauli 形式を取る背景計量に対応します。これは、例えば、上記のミンコフスキー空間の周りのフィエルツ-パウリ理論を非線形に完成させると、⁠ ⁠を持つdRGT質量重力につながるが、Boulware-Deserゴーストの不在の証明は一般的な⁠ ⁠に対しては成り立つことを意味する。^[33] ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} =\mathbb {I} -{\sqrt {g^{-1}f~}}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {X} ={\sqrt {g^{-1}f~}}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {g^{-1}f~}}}$ ${\displaystyle g^{-1}f}$ ${\displaystyle \mathbb {X} }$ ${\displaystyle X^{\mu }{}_{\alpha }X^{\alpha }{}_{\nu }=g^{\mu \alpha }f_{\nu \alpha }}$ ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu }=\delta _{\nu }^{\mu }}$ ${\displaystyle \det g}$ ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$

参照計量は微分同相写像の下で計量テンソルのように変換される

${\displaystyle f_{\mu \nu }\to f'_{\mu \nu }\!\left(\ X(x)\ \right)\equiv f_{\alpha \beta }\ \partial _{\mu }X^{\alpha }\ \partial _{\nu }X^{\beta }~.}$

したがって、および高次の項は、同じ微分同相写像の下でスカラーとして変換されます。座標の変化に対して、摂動計量は次のように展開されます。 ${\displaystyle \ \left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]=X^{\mu }{}_{\alpha }\ X^{\alpha }{}_{\mu }=g^{\mu \alpha }\ f_{\mu \alpha }\ ,}$ ${\displaystyle x_{\mu }\to x_{\mu }+\xi _{\mu }}$ ${\displaystyle \ X^{\mu }=x^{\mu }-\phi ^{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }\ }$

${\displaystyle h_{\mu \nu }\to h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }\phi _{\nu }+\partial _{\nu }\phi _{\mu }-\partial _{\mu }\phi ^{\alpha }\ \partial _{\nu }\phi _{\alpha }\ ,}$

一方、ポテンシャルのようなベクトルはシュテッケルベルクトリックに従って変換され、シュテッケルベルク場は⁠ ⁠と定義されます。^[34]微分同相写像から、別のシュテッケルベルク行列⁠ ⁠を定義できます。ここで、と は同じ固有値を持ちます。^[35]ここで、次の対称性を考えます。 ${\displaystyle \phi _{\mu }\to \phi _{\mu }+\xi _{\mu }}$ ${\displaystyle \phi ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\left(A_{\nu }-\partial _{\nu }\pi \right)}$ ${\displaystyle \mathbb {Y} _{~b}^{a}\equiv f_{bc}g^{\mu \nu }\partial _{\mu }X^{a}\partial _{\nu }X^{c}}$ ${\displaystyle \mathbb {Y} _{~b}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbb {X} _{~b}^{a}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta h_{\mu \nu }&=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+{\frac {2}{\ M_{\mathsf {Pl}}\ }}\ {\mathcal {L}}_{\xi }\ h_{\mu \nu }\\\delta A_{\mu }&=\partial _{\mu }\pi -m\ \xi _{\mu }+{\frac {2}{\ M_{\mathsf {Pl}}\ }}\ \xi ^{\alpha }\partial _{\alpha }A_{\mu }\\\delta \pi &=-m\ \pi \end{aligned}}}$

変換された摂動計量は次のようになる。

${\displaystyle h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }A_{\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\ \partial _{\nu }A_{\alpha }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\ \partial _{\nu }\partial _{\alpha }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \ \partial _{\nu }A^{\alpha }-2\ \partial _{\mu }\partial _{\nu }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \ \partial _{\nu }\partial ^{\alpha }\ \pi ~.}$

これらの変換の共変形は次のように得られる。ヘリシティ0（またはスピン0）モードが非物理的ゴールドストーンモードの純粋ゲージであり、⁠ ⁠とすると、^[36]行列は共変化テンソルのテンソル関数となる。 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Pi _{\mu \nu }=\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\pi }$ ${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$

${\displaystyle H_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2\Pi _{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }\Pi _{\mu \alpha }\Pi _{\beta \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }-\eta _{ab}\nabla _{\mu }\phi ^{a}\nabla _{\nu }\phi ^{b}}$

計量摂動の共変テンソルのテンソル関数であり、その成分は次のように与えられる。 [ 37 ^]ヘリシティ0モードはガリレイ変換によって変換されるため、「ガリレオ」と呼ばれる。^[38]行列は計量摂動の共変テンソルのテンソル関数であり、その成分は次のように与えられる。 ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle H_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \phi ^{a}=A^{a}-\eta ^{a\mu }\nabla _{\mu }\pi }$ ${\displaystyle \pi \to \pi +c+v_{\mu }\ x^{\mu }}$ ${\displaystyle \mathbb {X} }$ ${\displaystyle H_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }-f'_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle \mathbb {X} _{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2\ {\mathcal {K}}_{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }\ {\mathcal {K}}_{\mu \alpha }{\mathcal {K}}_{\beta \nu }\ ,}$

どこ

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-\left({\sqrt {\mathbb {X} \;~}}\right)_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-{\sqrt {\ \eta _{\mu \nu }-H_{\mu \nu }\;~}}}$

は外在曲率である。^[39]

興味深いことに、共変テンソルは、ヘリシティ・フロイント・マヘシュワリ・シェーンベルク有限範囲重力モデルの続編である単独論文でマヘシュワリによって導入された。 ^[26]マヘシュワリの研究では、計量摂動は変分の下でヒルベルト・ローレンツ条件に従う。 ${\displaystyle (2\oplus 0)}$ ${\displaystyle m^{2}\left(\partial _{\nu }h_{\mu \nu }+q\ \partial _{\mu }h\right)=0}$

${\displaystyle \delta ^{*}h_{\mu \nu }=\delta h_{\mu \nu }+\delta h_{\mu \nu }^{\mathsf {spin}}=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+p\ \eta _{\mu \nu }\ h+\delta h_{\mu \nu }^{\mathsf {spin}}}$

これはオギエヴェツキー–ポルバリノフの質量重力理論で導入されたものであり、ここで、およびは決定されるべきである。^[40] dRGTのテンソルとMaheshwariの研究におけるテンソルの類似性は、一度選択すれば容易に分かる。また、オギエヴェツキー–ポルバリノフ模型では⁠ ⁠が必須であり、これは4次元では⁠ ⁠、変化が共形であることを意味する。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbb {X} }$ ${\displaystyle h_{(p)}^{\mu \nu }=(\eta ^{\mu \nu }-n\ \psi ^{\mu \nu })^{\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=-{\tfrac {1}{p}}}$ ${\displaystyle p=-{\tfrac {\ 1\ }{n}}=-{\tfrac {\ 1\ }{2}}}$ ${\displaystyle \delta h_{\mu \nu }}$

dRGT の有質量場は、フィエツ・パウリの有質量理論の場合と同様に、2 つのヘリシティ 2 の自由度、2 つのヘリシティ 1 の自由度、および 1 つのヘリシティ 0 の自由度に分割されます。しかし、共変化と分離限界 ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$により、この有質量理論の対称性は、線形化された一般相対論の対称性に有質量理論の対称性を加えたものに縮小され、スカラーは分離されることが保証されます。 が発散しないように、つまり が選択されると、dRGT の分離限界によって既知の線形化重力が得られます。^{[41]これがどのように起こるかを確認するには、} ⁠ ⁠の累乗で作用に含まれる項を展開します。は、 ⁠ ⁠ の項でどのように表現されるかのように、場は⁠ ⁠の項でどのように表現されます。場は次のように置き換えられます。 ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle v_{\mu }}$ ${\displaystyle \Box \ \pi =0}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle H_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle H_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \phi ^{a}}$ ${\displaystyle h'_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu },A_{\mu },\pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {h}}_{\mu \nu }&=M_{\mathsf {Pl}}\ h_{\mu \nu }\\{\tilde {A}}_{\mu }&=M_{\mathsf {Pl}}\ m\ A_{\mu }\\{\tilde {\pi }}&=M_{\mathsf {Pl}}\ m^{2}\ \pi \\{\hat {h}}_{\mu \nu }&={\tilde {h}}_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }{\tilde {\pi }}\end{aligned}}}$

すると、分離限界、つまり両方が⁠ ⁠ ${\displaystyle M_{\mathsf {Pl}}\to \infty ,m\to 0,m^{2}M_{\mathsf {Pl}}={\text{const}}}$のとき、質量のある重力ラグランジアンは次の条件で不変であることがわかります。

1. ${\displaystyle \delta h_{\mu \nu }=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu },}$線形化された一般相対性理論のように、
2. ${\displaystyle \delta A_{\mu }=\partial _{\mu }\pi ,}$マクスウェルの電磁気理論のように、そして
3. ${\displaystyle \delta \pi =0.}$

原則として、参照計量は手動で指定する必要があり、そのため、平坦な参照計量を持つ理論はド・ジッター参照計量を持つ理論とは異なるなど、単一の dRGT 質量のある重力理論は存在しません。あるいは、を理論の定数として考えることができます。これは、や⁠ ⁠とよく似ています。参照計量を開始から指定する代わりに、独自のダイナミクスを持たせることができます。 の運動項もアインシュタイン–ヒルベルトである場合、理論はゴーストフリーのままであり、質量のある重力子の 5 つの自由度に加えて、質量のない重力子の 2 つの自由度を伝播する、質量のある重重力の理論^[12] (または双計量的相対論、BR) が残ります。 ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M_{\mathsf {Pl}}}$ ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$

実際には、 (または)の固有値を計算しなくても⁠ ⁠を得ることができます。それらは ⁠ ⁠を使って直接書くことができます。 ${\displaystyle \mathbb {X} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {X} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}\!\left(\mathbb {X} \right)&=1\ ,\\e_{1}\!\left(\mathbb {X} \right)&=\left[\ \mathbb {X} \right]\ ,\\e_{2}\!\left(\mathbb {X} \right)&={\tfrac {\ 1\ }{2}}\left(\left[\ \mathbb {X} \ \right]^{2}-\left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]\right)\ ,\\e_{3}\!\left(\mathbb {X} \right)&={\tfrac {\ 1\ }{6}}\left(\left[\ \mathbb {X} \ \right]^{3}-3\ \left[\ \mathbb {X} \ \right]\left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]+2\ \left[\ \mathbb {X} ^{3}\ \right]\right)\ ,\\e_{4}\!\left(\mathbb {X} \right)&=\det \mathbb {X} \ ,\end{aligned}}}$

ここで、括弧はトレースを示します。これは、Boulware-Deser ゴーストを非動的にする原因となる、各項の特定の反対称組み合わせです。 ${\displaystyle [\ \mathbb {X} \ ]\equiv X^{\mu }{}_{\mu }\equiv \operatorname {tr} \mathbb {X} ~.}$ ${\displaystyle e_{n}}$

またはを単位行列と共に用いる選択は慣例であり、どちらの場合もゴーストフリー質量項は選択された行列の基本対称多項式の線形結合となる。一方の基底からもう一方の基底に変換することも可能であり、その場合、係数は関係式^{[31]を満たす。} ${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {I} -\mathbb {X} }$ ${\displaystyle \mathbb {I} }$

${\displaystyle \beta _{n}=(4-n)!\ \sum _{i=n}^{4}\ {\frac {\ (-1)^{i+n}\ }{\ (4-i)!(i-n)!\ }}\ \alpha _{i}~.}$

係数はフレドホルム行列式の形をとる特性多項式です。また、ファデーエフ・ルヴェリエ法を用いて求めることもできます。

ヴィアバイン言語における巨大な重力

4D 直交四面体フレームでは、次の基底を持ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{\,\mu }^{0}&=(-1,0,0,0)\\e_{\,\mu }^{I}&=(0,e_{i}^{I})\end{aligned}}}$

ここで、添え字は -非直交座標の3次元空間成分を表し、添え字は-直交座標の3次元空間成分を表す。平行移動にはスピン接続⁠ ⁠が必要である。したがって、計量形式におけるに対応する外在曲率は、 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e^{0\nu }\nabla _{e^{0\nu }}e_{~\mu }^{I}=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }}$

${\displaystyle K_{j}^{i}\equiv {\frac {1}{2}}\gamma ^{ik}\partial _{t}(\gamma _{kj})=e_{I}^{i}\partial _{t}(e_{j}^{I}),}$

ここで、 はADM形式および初期値の定式化における空間メトリックです。 ${\displaystyle \gamma _{ij}}$

四面体が共形変換して外在曲率が となる場合、フリードマン方程式、および（議論の余地はあるものの^[42]）、すなわち外在曲率は⁠ ⁠として変換されます。これは行列やテンソル⁠ ⁠と非常によく似ています。 ${\displaystyle e_{i}^{I}\to {e'}_{i}^{I}\equiv a(t)~e_{i}^{I},}$ ${\displaystyle {K'}_{j}^{i}={\frac {a}{\dot {a}}}K_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-{\frac {a}{\dot {a}}}e_{I}^{i}\partial _{t}\!\!\left(e_{j}^{I}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {a}{\dot {a}}}={\frac {a}{\partial _{t}a}}\sim {\frac {1}{\sqrt {\Lambda }}}}$ ${\displaystyle m\sim 1/{\sqrt {\Lambda }}}$ ${\displaystyle K_{j}^{i}\to mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{j}^{i}}$

dRGTは、高次元カルツァ＝クライン重力理論の解体を考慮した後、以前の技術を5D DGPモデルに適用することに着想を得て開発された。 ^{[43]この理論では、余分な次元が}N個の格子点の系列に置き換えられ、高次元の計量は4D成分のみに依存する相互作用する計量の集合に置き換えられる。^[39]

平方根行列の存在はやや扱いにくく、四周波を用いたより単純な別の定式化が必要となる。計量を四周波に分割すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=\eta _{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }\\f_{\mu \nu }&=\eta _{ab}f^{a}{}_{\mu }f^{b}{}_{\nu }\end{aligned}}}$

そして、1つの形式を定義する

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} ^{a}&=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\\\mathbf {f} ^{a}&=f^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\\\mathbf {i} ^{a}&=\delta ^{a}{}_{\mu }dx^{\mu },\end{aligned}}}$

ハッサン・ローゼン重重力理論におけるゴーストフリー相互作用項は、（数値因子を除いて）次のように簡単に記述できる^[44]

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {e} ^{d}\\e_{1}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{2}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{3}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{4}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {f} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\end{aligned}}}$

したがって、計量ではなく、四電子帯の観点から見ると、ゴーストのない dRGT ポテンシャル項の物理的な意味が非常に明確にわかります。つまり、それらは単に、 2 つの計量の四電子帯のくさび積のさまざまな可能な組み合わせすべてです。

計量定式化と四分円定式化における質量重力は、対称条件が満たされる場合にのみ等価となることに注意する。

${\displaystyle (e^{-1})_{a}{}^{\mu }f_{b\nu }=(e^{-1})_{b}{}^{\mu }f_{a\nu }}$

が満たされる。これはほとんどの物理的状況において真であるが、物質が両方の計量に結合している場合や、相互作用サイクルを持つ多重計量理論など、そうでない場合もある。このような場合、計量定式化と四分円定式化はそれぞれ健全な質量を持つ重力子を伝播するものの、異なる物理理論となる。

dRGT質量重力理論の新規性は、参照計量がミンコフスキー計量に等しいと仮定することで局所ローレンツ変換の下でゲージ不変性が実現され、また能動的な曲がった時空の存在から微分同相不変性が実現される点にある。これは、先に議論したシュテッケルベルク形式を以下のように四分音符言語で書き直すことで示される。^[45] ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

5Dにおけるアインシュタイン場の方程式の4D版は次のように読み取られる。

${\displaystyle G_{\mu \nu }n^{\mu }n^{\nu }={\frac {1}{2}}\left(R-K^{\mu \nu }K_{\mu \nu }+\left(K_{~\mu }^{\mu }\right)^{2}\right),}$

ここで、は4次元スライスに垂直なベクトルです。質量外在曲率の定義を用いると、外在曲率を含む項が四項作用において関数形をとることは容易に理解できます。 ${\displaystyle n^{\mu }}$ ${\displaystyle mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I}}$ ${\displaystyle (f^{a}-e^{a})\wedge (f^{b}-e^{b})\wedge e^{c}\wedge e^{d}}$

したがって、数値係数を除けば、テンソル形式の完全なdRGT作用は

${\displaystyle S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\int dx^{4}{\sqrt {g}}\left(R+2m^{2}[e_{2}({\mathcal {K}})+e_{3}({\mathcal {K}})+e_{4}({\mathcal {K}})]\right),}$

ここで、関数は⁠ ⁠と同様の形をとる。そして、いくつかの数値係数を除いて、作用は積分形をとる。 ${\displaystyle e_{i}({\mathcal {K}})}$ ${\displaystyle e_{i}(\mathbb {X} )}$

${\displaystyle S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\epsilon _{abcd}\int {\Big (}\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land R^{cd}-m^{2}\left[\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {i} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}\right]{\Big )},}$

ここで、最初の項は4項パラティーニ作用のアインシュタイン-ヒルベルト部分であり、はレヴィ-チヴィタ記号です。 ${\displaystyle \epsilon _{abcd}}$

デカップリング極限は ⁠ ⁠ を保証し、{{tmath \phi^{\mu} }} と比較することで、テンソル⁠ ⁠を考えることは正当です。これを ⁠ ⁠ 1-形式⁠ ⁠の定義と比較すると、フレームフィールド⁠ ⁠の共変成分、すなわち ⁠ ⁠ を定義して、⁠ ⁠を置き換え、四周波作用の最後の3つの相互作用項が ${\displaystyle \Box \pi =0}$ ${\displaystyle A_{\mu }\to x_{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle {1}}$ ${\displaystyle \mathbf {i} ^{a}}$ ${\displaystyle f^{a}{}_{\mu }=\partial _{\mu }\phi ^{\nu }\delta _{~\nu }^{a}}$ ${\displaystyle e^{a}{}_{\mu }={\frac {\partial x^{\nu }}{\partial \phi ^{\mu }}}\Lambda ^{a}{}_{b}e^{b}{}_{\nu }}$ ${\displaystyle \mathbf {i} ^{a}}$

${\displaystyle S=-{\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}m^{2}\epsilon _{abcd}\int \left[\mathbf {f} ^{a}\land \left(\Lambda _{b'}^{b}\mathbf {e} ^{b'}\right)\land \left(\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'}\right)\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land \left(\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'}\right)\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land \mathbf {f} ^{c}\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)\right].}$

これは、ローレンツ変換を通して微分同相変換を参照四周界上に自由に移動できるため可能です。さらに重要なのは、微分同相変換がヘリシティ0モードとヘリシティ1モードのダイナミクスを明らかにするのに役立つことです。そのため、シュテッケルベルク場をオフにしてゲージ変換のみを適用したバージョンと比較すると、これらのモードを容易にゲージ化できます。 ${\displaystyle \partial _{\nu }\phi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \Lambda ^{a}{}_{b}}$ ${\displaystyle U(1)}$

なぜ係数が省略されているのか、そしてそれらが明示的に場に依存しない数値的であることをどのように保証できるのか疑問に思う人もいるかもしれない。実際には、局所ローレンツ変換されたシュテッケルベルク場に対するビアバイン作用の変化がこの良好な結果をもたらすため、これは許容される。^[45]さらに、ローレンツ不変なシュテッケルベルク場について明示的に解くことができ、ビアバイン作用に代入することで、dRGT質量付き重力のテンソル形式と完全に等価であることを示すことができる。^[46]

宇宙論

重力子の質量がハッブル宇宙望遠鏡の速度に匹敵するならば、宇宙論的距離において質量項は反発的な重力効果を生み出し、宇宙の加速につながる可能性がある。大まかに言えば、極限における強化された微分同相対称性は、小さな重力子質量を大きな量子補正から保護するため、この選択は技術的に自然である。^{[47]このように、質量のある重力は、}宇宙定数問題、すなわち量子補正がなぜ極めて初期の宇宙を加速させないのかという問題に対する解決策を提供する可能性がある。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle m\sim H_{0}}$

しかし、平坦で閉じたフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー宇宙論解は、平坦参照計量を持つ dRGT 質量重力には存在しないことが判明している。 ^[13]開いた解と一般参照計量を持つ解は不安定性に悩まされる。^{[48]そのため、実行可能な宇宙論は、宇宙が大規模で均一であるという}宇宙論的原理を放棄するか、そうでなければ dRGT を一般化した場合にのみ、質量重力で見出すことができる。 例えば、宇宙論解は、ダイナミクスを与えることによって dRGT を拡張する理論であるbigravity [ ^14]においてより適切に振る舞う。 これらも不安定性を持つ傾向があるが、^{[49] [50]}それらの不安定性は、非線形ダイナミクス（ヴァインシュタインのようなメカニズムを通じて）で、または不安定性時代を宇宙のごく初期にまで押しやることによって解決できるかもしれない。^[15] ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$

3D巨大重力

3次元には、質量のない重力子が自由度を伝播しない特殊なケースが存在する。ここでは、質量を持つ重力子が2つの自由度を伝播する、ゴーストフリーの理論がいくつか定義できる。位相的に質量を持つ重力^[1]の場合、作用は次のようになる 。

${\displaystyle S={\frac {M_{3}}{2}}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}(R-2\Lambda )+{\frac {1}{4\mu }}\epsilon ^{\lambda \mu \nu }\Gamma _{\lambda \sigma }^{\rho }\left(\partial _{\mu }\Gamma _{\rho \nu }^{\sigma }+{\frac {2}{3}}\Gamma _{\mu \alpha }^{\sigma }\Gamma _{\nu \rho }^{\alpha }\right),}$

3次元プランク質量を持つ。これは、クリストッフェル記号から構築されたチャーン・サイモンズのような項によって補完された3次元一般相対論である。 ${\displaystyle M_{3}}$

最近では、新しい大質量重力理論^[2]が開発され、これは次のような作用で説明される。

${\displaystyle S=M_{3}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}\left[\pm R+{\frac {1}{m^{2}}}\left(R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }-{\frac {3}{8}}R^{2}\right)\right].}$

重力波との関係

2016年の重力波の発見^[51]とその後の観測により、重力子の最大質量（もし重力子に質量があるならば）に関する制約が得られた。GW170104イベントの後、重力子のコンプトン波長は少なくとも1.6 × 10 ¹⁶  m、つまり約1.6光年で、重力子の質量は7.7 × 10 ⁻²³  eV/ c ²。^{[16]この波長とエネルギーの関係は、}電磁波の波長と光子のエネルギーを関連付ける同じ式（プランク・アインシュタインの関係）で計算されます。しかし、エネルギーのみを持ち質量を持たない光子は、この点で質量を持つ重力子とは根本的に異なります。なぜなら、重力子のコンプトン波長は重力波長と等しくないからです。その代わりに、下限重力子コンプトン波長は約 これは、GW170104イベントの重力波長（約1,700 km）の9 × 10 ⁹倍です。これは、コンプトン波長が重力子の静止質量によって定義され、不変のスカラー量であるためです。

参照

• 宇宙の加速膨張 – 宇宙現象
• 一般相対論の代替 - 重力に関する提案された理論
• ホーンデスキーの理論
• 双計量重力 - 重力の提案理論
• DGPモデル – 重力の提案モデル
• スカラー・テンソル理論 – スカラーとテンソルの両方が力や相互作用を記述する物理学の理論
• 二重重力子

さらに読む

レビュー記事

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