古代エジプトの数学

古代エジプトで使われた数学

古代エジプト数学は、紀元前3000年頃から紀元前300年頃まで 、エジプト古王国時代からヘレニズム時代エジプトの始まり頃まで、古代エジプト で開発され、使われていた数学である。古代エジプト人は、数を数えたり、書かれた数学の問題を解いたりするために記数法を利用しており、多くの場合、掛け算や分数が含まれていた。エジプト数学の証拠は、パピルスに書かれた現存するわずかな資料に限られている。これらのテキストから、古代エジプト人は、建築工学に役立つ3次元形状の表面積や体積を決定するなどの幾何学の概念や、擬似位置法や二次方程式などの代数の概念を理解していたことがわかっている。

概要

数学の使用に関する文献的証拠は、少なくとも紀元前3200年まで遡り、アビドスのウジ墓で発見された象牙のラベルに見られる。これらのラベルは副葬品のタグとして使われていたようで、数字が刻まれているものもある。^[1] 10進法の使用に関するさらなる証拠は、 40万頭の牛、142万2000頭のヤギ、そして12万人の囚人が捧げられた様子が描かれたナルメルのメイスヘッドにも見られる。^[2]考古学的証拠は、古代エジプトの数え方がサハラ以南のアフリカに起源を持つことを示唆している。^[3]また、サハラ以南のアフリカ文化圏に広く見られるフラクタル幾何学模様は、エジプトの建築や宇宙観の記号にも見られる。^[4]

古王国時代（紀元前2690年頃～2180年頃）における数学の使用に関する証拠は乏しいが、メイドゥムのマスタバ近くの壁に刻まれた、マスタバの傾斜に関する指針を示す碑文から推測することができる。^{[5]図中の線は1}キュビト間隔で引かれており、その測定単位が使用されていたことを示している。^[1]

最古の数学文書は第12王朝（紀元前1990年頃～1800年頃）に遡ります。モスクワ数学パピルス、エジプト数学皮革巻物、カフン・パピルスというより大規模なコレクションの一部であるラフン数学パピルス、そしてベルリン・パピルス6619は、いずれもこの時代に遡ります。第二中間期（紀元前1650年頃）に遡るリンド数学パピルスは、第12王朝のより古い数学文書に基づいていると言われています。^[6]

モスクワ数学パピルスとリンド数学パピルスは、いわゆる数学問題集です。解答付きの問題集です。これらのテキストは、典型的な数学の問題を解く教師または生徒によって書かれたと考えられます。^[1]

古代エジプトの数学の興味深い特徴は単位分数の使用である。^[7]エジプト人は分数に次のような特別な表記法を用いていた。1/2⁠、⁠1/3⁠と⁠2/3⁠そしていくつかのテキストでは⁠3/4⁠ですが、他の分数はすべて⁠の形式の単位分数として書かれました。1/n⁠あるいはそのような単位分数の和。筆写者はこれらの分数を扱うために表を用いていた。例えば、エジプト数学皮革巻物は、他の単位分数の和として表される単位分数の表である。リンド数学パピルスやその他の文献には、⁠2/n⁠表。これらの表により、筆写者は⁠の任意の部分を書き換えることができました。1/n⁠単位分数の合計として。^[1]

新王国時代（紀元前1550年頃～1070年頃）には、文学作品『アナスタシ・パピルスI 』に数学の問題が記されており、ラムセス3世時代の『ウィルバー・パピルス』には土地の測量が記録されている。デイル・エル・メディナの労働者村では、墓の採石時に除去された土砂の量を記録したオストラカが複数発見されている。^{[1] [6]}

出典

古代エジプトの数学に関する現在の理解は、入手可能な資料の少なさによって妨げられています。現存する資料には、以下の文献（一般的に中王国時代および第二中間期に遡るものとされています）が含まれます。

• モスクワ数学パピルス^[8]
• エジプトの数学的な革巻物^[8]
• ラフン数学パピルス^[8]
• ベルリン・パピルス6619、紀元前1800年頃に書かれたもの
• アフミーム木板^[6]
• レイスナー・パピルスはエジプト第12王朝初期のもので、ナグ・エル・デイル（ティニスの古代都市）で発見された^[8]
• リンド数学パピルス（RMP）は第二中間期（紀元前1650年頃）に遡るが、著者のアハメスは、現在失われている中王国時代のパピルスの写本であるとしている。RMPは世界最大の数学書である。^[8]

新王国時代には、計算に関する数学的なテキストや碑文がいくつか残っています。

• アナスタシ・パピルスIは、ホリという書記官がアメネモペという書記官に宛てた（架空の）手紙として書かれた文学文書である。手紙の一部には、いくつかの数学の問題が記述されている。^[6]
• オストラコン・センムト153、ヒエラティックで書かれたテキスト^[6]
• オストラコン・トリノ57170、ヒエラティックで書かれたテキスト^[6]
• デイル・エル・メディナのオストラコンには計算記録が残されている。例えば、IFAO 1206のオストラコンには、おそらく墓の採石に関連した体積の計算が記されている。^[6]

エティエンヌ・ジルソンによれば、アブラハムは「エジプト人に算術と天文学を教えた」という。^[9]

数字

古代エジプトのテキストは、ヒエログリフまたはヒエラティック（聖刻文字）で表記された。どちらの表記法においても、記数法は常に10進法で表記された。1は1本の線で、2は2本の線で表された。10、100、1000、10,000、100,000といった数字にはそれぞれ独自のヒエログリフが用いられた。10は牛の足かせ、100はロープ、1000は蓮の花、10,000は指、100,000はカエル、そして100万は両手を崇拝の念を抱く神で表された。^[8]

エジプト数字の象形文字^[2]

1	10	100	1000	10,000	10万	1,000,000

ギザの墓から出土した、古王国時代の王女ネフェルティアベト（紀元前2590～2565年）の石板碑。石灰岩に描かれたもので、現在はルーブル美術館に所蔵されている。

エジプトの数字は先王朝時代にまで遡ります。アビドス出土の象牙のラベルには、この数字体系の使用が記録されています。また、供え物の数を示すために、供え物の場面で数字が用いられることもよく見られます。王女ネフェルティアベトが1000頭の牛、パン、ビールなどを供えている場面が描かれています。

エジプトの記数法は加法的なものでした。大きな数は象形文字の集合で表され、個々の数字を単純に足し合わせることで値が得られました。

この場面は牛の頭数を数える様子を描いています（エジプト学者レプシウスによる模写）。中央の段には、左側に835頭の角のある牛、そのすぐ後ろに約220頭の動物（牛？）、右側に2235頭のヤギが描かれています。下の段には、左側に760頭のロバ、右側に974頭のヤギが描かれています。

エジプト人はほぼ例外なく、以下の形式の分数を使用していました。1/n⁠。注目すべき例外は分数⁠です。2/3⁠は数学のテキストによく見られる。非常に稀に、⁠を表すために特別な記号が使われることもある。3/4⁠。分数⁠1/2⁠ は、おそらく二つ折りの麻布を描いた象形文字で表されていました。分数⁠2/3⁠ は、2本の（異なる大きさの）線で描かれた口のグリフで表されました。残りの分数は常に、数字の上に重ねられた口で表されました。^[8]

いくつかの分数を表す象形文字^[8]

⁠1/2⁠	⁠1/3⁠	⁠2/3⁠	⁠1/4⁠	⁠1/5⁠

表記

計算の手順はエジプト語の文章で書かれていました。（例：「10 を 100 倍すると 1000 になります。」）

リンド・パピルス問題28では、ヒエログリフ

そして

（D54、D55）フィートの記号は、「足す」と「引く」という意味で使われました。これらはおそらく、

そして

「入る」と「出る」という意味。^{[10] [11]}

掛け算と割り算

エジプトの掛け算は、掛け算する数（被乗数）を繰り返し倍にして、どの倍数を足し合わせるかを選択するという方法で行われ（本質的には二進法の一種）、古王国時代につながる手法である。被乗数は数字の1の横に書き、被乗数はそれ自身に加算され、その結果は数字の2の横に書かれる。このプロセスは、倍数が乗数の半分よりも大きい数になるまで続けられる。そして、倍になった数（1、2など）は乗数から繰り返し減算され、既存の計算結果のうちどの結果を足し合わせるかを選択して答えを求めた。^[2]

大きな数値のショートカットとして、被乗数に 10、100、1000、10000 などをすぐに掛けることもできます。

例えば、リンド・パピルス（RMP）の問題69には、（RMPの実際のヒエラティック文字ではなく）ヒエログリフの記号が使用されているかのように、次の図が示されています。^[8]

掛け算：80 × 14

エジプトの計算			現代の計算
結果	乗数		結果	乗数
			80	1
			800	10
			160	2
			320	4
			1120	14

は、最終的な答えを生成するために加算される中間結果を示します。

上の表は1120を80で割るのにも使えます。この問題を解くには、80の乗数の合計が1120となる商（80）を求めます。この例では、商は10 + 4 = 14になります。^[8]除算アルゴリズムのより複雑な例が問題66に示されています。合計3200 roの脂肪を365日間にわたって均等に分配します。

割り算:
3200 ÷ 365

1	365
2	730
4	1460
8	2920
⁠2/3⁠	⁠243+1/3⁠
⁠1/10⁠	⁠36+1/2⁠
⁠1/2190⁠	⁠1/6⁠

まず筆記者は365を2倍にして、365の倍数の中で3200より小さい最大の倍数に達するまで繰り返します。この場合、8倍の365は2920となり、さらに365の倍数を足していくと明らかに3200より大きい値になります。次に、⁠2/3⁠  +  ⁠1/10⁠  +  ⁠1/2190⁠を 365 で割ると必要な値は 280 になります。したがって、3200 を 365 で割ると 8 +  ⁠になります。2/3⁠  +  ⁠1/10⁠  +  ⁠1/2190⁠ . ^[8]

代数

エジプトの代数問題は、リンド数学パピルスとモスクワ数学パピルスの両方、および他のいくつかの資料に登場します。^[8]

象形文字 の「Aha」
時代：新王国時代 （紀元前1550～1069年）

Aha問題とは、量の合計とその部分が与えられた場合に、未知数（Ahaと呼ばれる）を求める問題です。リンド数学パピルスにもこの種の問題が4つ収録されています。モスクワ・パピルスの問題1、19、25はAha問題です。例えば、問題19は、ある量の合計と部分の合計を計算します。+1/2⁠回して4を加えて10にします。^[8]言い換えれば、現代の数学表記では、次の線形方程式を解くことが求められます。

${\displaystyle {\frac {3}{2}}\times x+4=10.\ }$

これらのAha問題を解くには、偽位置法と呼ばれる手法が用いられます。この手法は偽仮定法とも呼ばれます。筆記者は、答えの初期推測を問題に代入します。偽仮定を用いた解は実際の答えに比例するため、筆記者はこの比率を用いて答えを求めます。^[8]

数学書によると、筆写者たちは分数の問題を整数の問題に置き換えるために（最小）公倍数を用いていたことが分かります。このため、分数の横には赤い補助数字が記されています。^[8]

ホルスの目の分数の使用は、幾何級数に関する（初歩的な）知識を示している。等差級数に関する知識も、数学的資料から明らかである。^[8]

二次方程式

古代エジプト人は、二次方程式を開発し、それを解いた最初の文明でした。この情報はベルリン・パピルスの断片に見られます。さらに、エジプト人はリンド数学パピルスに見られる一次代数方程式も解いています。^[12]

幾何学

モスクワ数学パピルスの問題14の画像。この問題には、切頂角錐の寸法を示す図が含まれています。

古代エジプトにおいて幾何学に関する問題はごくわずかしか残っていません。幾何学の問題はモスクワ数学パピルス（MMP）とリンド数学パピルス（RMP）の両方に登場します。これらの例は、古代エジプト人が様々な幾何学的図形の面積や、円柱やピラミッドの体積を計算する方法を知っていたこと を示しています。

• エリア：
  • 三角形：筆記者は三角形の面積を計算する問題（RMPとMMP）を記録します。^[8]
  • 長方形：長方形の土地の面積に関する問題は、RMPとMMPに掲載されています。^[8]同様の問題がロンドンのラフン数学パピルスにも掲載されています。 ^{[13] [14]}
  • 円： RMP問題48は、円（八角形で近似）とその外接正方形の面積を比較する問題です。この問題の結果は問題50で用いられ、筆写者は直径9ヘクトメートルの円形の面積を求めます。^[8]
  • 半球面： MMPの問題10では半球面の面積を求めます。^[8]
• ボリューム:
  • 円筒形（cylinder）：円筒形の穀倉の容積を計算する問題はいくつかある（RMP 41～43）。一方、RMP問題60はピラミッドではなく、円柱または円錐を対象としているようだ。この穀倉は比較的小さく、傾斜が急で、1キュビットあたり4パーム（seked）である。^[8]ラフン数学パピルスのセクションIV.3では、RMP 43と同じ手順で、円形の底面を持つ穀倉の容積を求めている。
  • 長方形（直方体）：モスクワ数学パピルス（問題14）とリンド数学パピルス（問題44、45、46）のいくつかの問題では、長方形の穀倉の容積を計算しています。 ^[13]
  • 切頂角錐（錐台）錐台：切頂角錐の体積はMMP14で計算される。^[8]

セケド

RMPの問題56は、幾何学的相似性の概念を理解していることを示す。この問題は、水平距離と垂直距離の比、つまりseqed（シークド）について論じている。ピラミッドを建造する際には、このような公式が必要となるだろう。次の問題（問題57）では、ピラミッドの高さは底辺の長さとseked（エジプト語で傾斜の逆数）から計算される。一方、問題58では底辺の長さと高さが与えられ、これらの測定値を用いてseqedを計算する。問題59では、パート1でseqedを計算し、パート2では答えを検証する計算となる。底辺が12[キュビト]で、seqedが5手のひら1本と指1本のピラミッドを建造した場合、その高さはいくらか？^[8]

参照

• 赤い補助番号
• 数学の歴史
  • 幾何学の歴史
• エジプトの象形文字と古代エジプト語の翻字
• 古代エジプトの計測単位と技術
• 数学と建築

参考文献

1. Imhausen, Annette (2006). 「古代エジプトの数学：古文献への新たな視点」. The Mathematical Intelligencer . 28 (1): 19– 27. doi :10.1007/bf02986998. S2CID  122060653.
2. バートン、デイヴィッド (2005). 『数学の歴史入門』マグロウヒル. ISBN 978-0-07-305189-5。
3. エグラッシュ、ロン (1999). 『アフリカン・フラクタル：現代のコンピューティングと先住民族のデザイン』 ニューブランズウィック、ニュージャージー州: ラトガース大学出版局. pp. 89, 141. ISBN 0813526140。
4. の物質文化におけるフラクタル幾何学」『対称性：文化と科学』6–1 : 174–177 .
5. ロッシ、コリーナ（2007年）『古代エジプトの建築と数学』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-69053-9。
6. カッツ V、イムハーセン A、ロブソン E、ドーベン JW、プロフカー K、ベルグレン JL (2007)。エジプト、メソポタミア、中国、インド、イスラムの数学: ソースブック。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-11485-9。
7. ライマー、デイビッド（2014年5月11日）『エジプト人のように数えよう：古代数学への実践的入門』プリンストン大学出版局、ISBN 9781400851416。
8. Clagett, Marshall 古代エジプト科学資料集 第3巻 古代エジプトの数学（アメリカ哲学協会紀要） アメリカ哲学協会 1999年ISBN 978-0-87169-232-0。
9. ギルソン、エティエンヌ（2019年2月15日）「スコトゥス・エリウゲナから聖ベルナルドまで」中世キリスト教哲学史、ワシントンD.C.：カトリック大学出版局、p.265、doi :10.2307/j.ctvdf0jnn、ISBN 9780813231952. JSTOR  j.ctvdf0jnn. OCLC  1080547285. S2CID  170577624.
10. チェイス、アーノルド・バファム; ブル、ラドロー; マニング、ヘンリー・パーカー (1929). 『リンド数学パピルス』第2巻. アメリカ数学協会.
11. カジョリ、フロリアン(1993) [1929].数学表記法の歴史.ドーバー出版. pp  . 229–230. ISBN 0-486-67766-4。
12. ムーア、デボラ・レラ (1994). 『数学のアフリカ的ルーツ』（第2版）. デトロイト、ミシガン州: プロフェッショナル・エデュケーショナル・サービス. ISBN 1884123007。
13. RC Archibald 『ギリシャ以前の数学』サイエンス・ニューシリーズ、第73巻、第1831号（1930年1月31日）、pp. 109–121
14. Annette Imhausen Digitalegypt ウェブサイト: Lahun Papyrus IV.3

さらに読む

• ボイヤー、カール・B. 1968. 『数学史』ジョン・ワイリー. プリンストン大学出版局 (1985) の再版.
• チェイス、アーノルド・バファム. 1927–1929. 『リンド数学パピルス：自由翻訳と解説、厳選写真、翻訳、翻字、直訳』 . 全2巻. 数学教育古典集成第8巻. オバーリン：アメリカ数学協会. (レストン：全米数学教育者協会、1979年再版). ISBN 0-87353-133-7
• クラゲット、マーシャル. 1999. 『古代エジプト科学：資料集』 . 第3巻：古代エジプトの数学. アメリカ哲学協会紀要232. フィラデルフィア：アメリカ哲学協会. ISBN 0-87169-232-5
• クショー、シルビア。 1993.エジプト数学: Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Égypte pharaonique。パリ: エディション ル レオパル ドール
• Daressy、G.「Ostraca」、カイロ古代エジプト博物館カタログ、General Ostraca hieraques、vol 1901、番号 25001-25385。
• ギリングス、リチャード・J. 1972. 『ファラオの時代の数学』 MIT出版。（ドーバー版再版あり）。
• イムハウゼン、アネット。 2003年。「エジプトアルゴリズム」。ヴィースバーデン: ハラソヴィッツ
• ジョンソン、G.、スリラマン、B.、サルツシュタイン。2012年。「計画はどこにあるのか？ 初期エジプト数学の社会批評的・建築学的概観」|バラス・スリラマン編著『数学史と数学教育の岐路』。モンタナ数学愛好家による数学教育モノグラフ12、Information Age Publishing, Inc.、ノースカロライナ州シャーロット
• ノイゲバウアー、オットー(1969)。古代の正確な科学 (第 2 版)。ドーバー出版。ISBN 978-0-486-22332-2。
• ピート、トーマス・エリック. 1923. 『リンド数学パピルス』、大英博物館 10057および10058.ロンドン: リバプール大学出版局およびホッダー・アンド・スタウトン出版
• ライマー、デイヴィッド（2014年）『エジプト人のように数えよう：古代数学への実践的入門』プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-16012-2。
• ロビンズ、R・ゲイ. 1995. 「ファラオ時代のエジプトにおける数学、天文学、暦」. 『古代近東文明』ジャック・M・サッソン、ジョン・R・ベインズ、ゲイリー・ベックマン、カレン・S・ルビンソン編. 第3巻. ニューヨーク: チャールズ・シュリブナー・サンズ社. (ピーボディ: ヘンドリクソン出版社、2000年に再版). 1799–1813
• ロビンズ、R. ゲイ、チャールズ・C.D. シュート. 1987. 『リンド数学パピルス：古代エジプトのテキスト』ロンドン：大英博物館出版局. ISBN 0-7141-0944-4
• サートン、ジョージ. 1927.科学史入門、第1巻. ウィリアムズ＆ウィリアムズ.
• ストラドウィック、ナイジェル・G、ロナルド・J・レプロホン共著。2005年、『ピラミッド時代のテキスト』ブリル・アカデミック出版社。ISBN 90-04-13048-9。
• ストルーベ、ヴァシリー・ヴァシレヴィチ、ボリス・アレクサンドロヴィッチ・トゥラエフ。 1930年。モスカウの国立数学パピルス美術館。 Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik;アブタイルング A: クエレン 1. ベルリン: J. Springer
• Van der Waerden、BL 1961。科学の目覚め。オックスフォード大学出版局。
• ヴィマザロワ、ハナ。 2002.カイロの木製タブレット....、Archiv Orientální、第 1 巻、27 ～ 42 ページ。
• ヴィルシング、アルミン。 2009.ギザのピラミッド – シュタイン・ゲボーの数学。 (第 2 版) オンデマンドのブック。ISBN 978-3-8370-2355-8。

外部リンク

• エジプト算術
• 初期数学入門

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