マクスウェル応力テンソル

Electromagnetic stress

マクスウェル応力テンソル（ジェームズ・クラーク・マクスウェルにちなんで命名）は、3次元の対称2階テンソルであり、古典電磁気学において電磁力と力学的運動量の相互作用を表すために使用されます。均一な磁場中を自由に運動する点電荷などの単純な状況では、ローレンツ力の法則から電荷に働く力を計算するのは簡単です。状況が複雑になると、この通常の手順は、方程式が複数行にまたがり、非現実的に困難になる可能性があります。そのため、これらの項の多くをマクスウェル応力テンソルに集約し、テンソル演算を用いて問題の答えを見つけるのが便利です。

電磁気学の相対論的定式化において、マクスウェル応力テンソルの9つの成分は、反転されて、電磁応力エネルギーテンソルの成分として現れる。電磁応力エネルギーテンソルは、全応力エネルギーテンソルの電磁成分である。後者は、時空におけるエネルギーと運動量の密度と流束を記述する。

モチベーション

以下に概説するように、電磁力は および を用いて表されます。ベクトル解析とマクスウェル方程式を用いて、およびを含む項の対称性を求め、マクスウェル応力テンソルを導入することで結果を簡略化します。 ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

真空 中のSI単位系におけるマクスウェル方程式
（参考）

名前	微分形式
ガウスの法則（真空中）	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$
磁気に関するガウスの法則	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} =0}$
マクスウェル・ファラデー方程式 （ファラデーの電磁誘導の法則）	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
アンペールの回路法則（真空中） （マクスウェルの補正あり）	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }$

1. ローレンツ力の法則から始める

   $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\\[3pt]&=\int (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\rho \mathrm {d} \tau \end{aligned}}}$$単位体積あたりの力は

   $${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }$$
2. 次に、ガウスの法則とアンペールの回路法則を使用して、およびをフィールドとに置き換えることができます。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} }$$
3. 時間微分は、物理的に解釈可能なもの、すなわちポインティングベクトルに書き直すことができる。積の法則とファラデーの電磁誘導の法則を用いると、となり 、これを書き直すと、となり、をまとめると、となる 。 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),}$$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$
4. および の対称性から項が「欠落している」ように見えますが、磁気に関するガウスの法則により、を挿入することで実現できます。回転 (計算がかなり複雑) を除去し、ベクトル解析の恒等式を使用すると、 次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {B} }$ $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$
5. この式は電磁気学と運動量のあらゆる側面を含んでおり、計算も比較的容易です。マクスウェル応力テンソルを導入することで、 より簡潔に記述できます。の最後の項を除くすべての項は、マクスウェル応力テンソルのテンソル発散として書き表すことができ、次のようになります。ポインティングの定理と同様に、上式の右辺第2項は電磁場の運動量密度の時間微分と解釈でき、第1項は質量を持つ粒子の運動量密度の時間微分です。このように、上式は古典電磁力学における運動量保存則となります。ここで、ポインティングベクトルが導入されています。 $${\displaystyle \sigma _{ij}\equiv \varepsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right).}$$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,,}$$ $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}$$

上記の運動量保存の関係式において、は運動量流束密度であり、ポインティングの定理におけると同様の役割を果たします。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

上記の導出は、 （自由電荷と束縛電荷、そして電流の両方）と（束縛電荷と電流の両方）の完全な知識を前提としています。非線形材料（B-H曲線を持つ磁性鉄など）の場合は、非線形マクスウェル応力テンソルを使用する必要があります。^[1] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

方程式

物理学において、マクスウェル応力テンソルは電磁場の応力テンソルである。上記のように導出されるように、以下のように表される。

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}}$、

ここで、 は電気定数、は磁気定数、は電場、は磁場、はクロネッカーのデルタです。ガウス分布系では、これは次のように表されます。 ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\left(E^{2}+H^{2}\right)\delta _{ij}\right)}$、

磁化場はどこにありますか。 ${\displaystyle \mathbf {H} }$

このテンソルを表現する別の方法は次のとおりです。

${\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right]}$

ここでは二項積であり、最後のテンソルは単位二項積である。 ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle \mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\left(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat {x}} +\mathbf {\hat {y}} \otimes \mathbf {\hat {y}} +\mathbf {\hat {z}} \otimes \mathbf {\hat {z}} \right)}$

マクスウェル応力テンソルの要素は、単位面積あたり単位時間あたりの運動量の単位を持ち、単位時間あたりに、 番目の軸に平行で、 番目の軸に垂直な面（負の方向）を横切る運動量の流束を与えます。 ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

これらの単位は、単位面積あたりの力（負圧）の単位とも考えられ、テンソルの要素は、単位面積あたりで軸に垂直な面が軸に平行に受ける力として解釈することもできます。実際、対角要素は、対応する軸に垂直な微分面積要素に作用する張力（引張力）を表します。理想気体の圧力による力とは異なり、電磁場における面積要素は、要素に垂直ではない方向の力も受けます。このせん断力は、応力テンソルの非対角要素によって与えられます。 ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

最近、マクスウェル応力テンソルは、虚数部が反応性電磁力を考慮した、より一般的な複素電磁応力テンソルの実部であることが示されました。^[2]

静磁気学では

場が磁気のみの場合（たとえばモーターの場合はほぼ当てはまります）、いくつかの項は省略され、SI 単位系の方程式は次のようになります。

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}\,.}$

モーターのローターなどの円筒形の物体の場合、これはさらに次のように簡略化されます。

${\displaystyle \sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{rt}\,.}$

ここで、 はラジアル方向（円筒から外側へ）のせん断力、は接線方向（円筒の周囲）のせん断力です。これがモーターを回転させる接線方向の力です。はラジアル方向の磁束密度、 は接線方向の磁束密度です。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle B_{t}}$

静電気学では

静電気学では磁気の効果は存在しません。この場合、磁場はゼロ、つまり となり、静電マクスウェル応力テンソルが得られます。これは成分形式で次のように表されます。 ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ij}}$

そして象徴的な形で

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I} }$

ここで、適切な恒等テンソルは通常 です。 ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle {\big (}}$ ${\displaystyle 3\times 3{\big )}}$

固有値

マクスウェル応力テンソルの固有値は次のように与えられます。

${\displaystyle \{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}}$

これらの固有値は、行列式の補題をシャーマン・モリソンの公式と組み合わせて反復的に適用することによって得られます。

特性方程式行列は次のように書けることに注意する。 ${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } }$

${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$

どこ

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)}$

私たちは設定しました

${\displaystyle \mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}$

行列式の補題を一度適用すると、次の式が得られる。

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \right)}}$

これを再度適用すると、

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}}$

右辺の最後の被乗数から、 が固有値の 1 つであることがすぐにわかります。 ${\displaystyle \lambda =-V}$

の逆関数を求めるには、シャーマン・モリソンの公式を使います。 ${\displaystyle \mathbf {U} }$

${\displaystyle \mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }}}$

行列式の項を因数分解すると、有理関数の零点を見つけることになります。 ${\displaystyle \left(-\lambda -V\right)}$

${\displaystyle \left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}$

したがって、

${\displaystyle -\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0}$

残りの2つの固有値を取得します。

参照

• リッチ計算
• 電場と磁場のエネルギー密度
• ポインティングベクトル
• 電磁応力エネルギーテンソル
• 磁気圧力
• 磁気張力

参考文献

1. Brauer, John R. (2014-01-13). 磁気アクチュエータとセンサー. John Wiley & Sons. ISBN 9781118754979。
2. Nieto-Vesperinas, Manuel; Xu, Xiaohao (2022年10月12日). 「複素マクスウェル応力テンソル定理：虚数応力テンソルと軌道運動量の反応強度。電磁光学力の新たな基盤」. Light: Science & Applications . 11 (1): 297. doi :10.1038/s41377-022-00979-2. PMC 9556612. PMID  36224170 . 

• デイヴィッド・J・グリフィス著、「電気力学入門」pp. 351–352、ベンジャミン・カミングス社、2008年
• ジョン・デイビッド・ジャクソン著「古典電気力学 第3版」John Wiley & Sons, Inc., 1999
• リチャード・ベッカー、「電磁場と相互作用」、ドーバー出版、1964年

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