Model of viscoelastic material
マクスウェル モデル は、典型的な液体の特性を示す 最も単純な 粘弾性材料モデルである。 [1] 長い時間スケールでは粘性流動を示すが、急激な変形に対しては弾性抵抗も示す。 [2] 1867年にこのモデルを提唱した ジェームズ・クラーク・マクスウェル にちなんで名付けられた。 [3] [4] マクスウェル流体とも呼ばれる。スカラー関係を テンソル方程式に一般化することは、より微視的なモデルからの動機付けを欠き、物質の客観性の概念にも従わない。しかしながら、これらの基準は 上層対流型マクスウェルモデル によって満たされる 。 [ 要出典 ]
意味 マクスウェル物質の図 マクスウェルモデルは、 図に示すように、純 粘性 ダンパーと純 弾性 バネを直列に接続して表されます [5] 。代わりに、これらの2つの要素を並列に接続すると、 [5]、 固体 ケルビン・フォークト材料 の一般化モデルが得られます。
マクスウェル配置では、軸方向応力が加わった場合、全応力 と全ひずみは 次のように定義されます。 [2] σ T o t a l {\displaystyle \sigma _{\mathrm {Total} }} ε T o t a l {\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {Total} }}
σ T o t a l = σ D = σ S {\displaystyle \sigma _{\mathrm {Total} }=\sigma _{\rm {D}}=\sigma _{\rm {S}}} ε T o t a l = ε D + ε S {\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {Total} }=\varepsilon _{\rm {D}}+\varepsilon _{\rm {S}}} ここで、下付き文字Dはダンパーの応力-ひずみ関係、下付き文字Sはバネの応力-ひずみ関係を表します。ひずみを時間で微分すると、次の式が得られます。
d ε T o t a l d t = d ε D d t + d ε S d t = σ η + 1 E d σ d t {\displaystyle {\frac {d\varepsilon _{\mathrm {Total} }}{dt}}={\frac {d\varepsilon _{\rm {D}}}{dt}}+{\frac {d\varepsilon _{\rm {S}}}{dt}}={\frac {\sigma }{\eta }}+{\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}} ここで、 E は 弾性係数 、 η は材料の粘性係数です。このモデルでは、ダンパーを ニュートン流体 として記述し、バネ をフックの法則 に従ってモデル化します。
マクスウェル物質では、 応力 σ 、 ひずみ ε 、およびそれらの時間 t に対する変化率は、 次の式で表される。 [2]
1 E d σ d t + σ η = d ε d t {\displaystyle {\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}+{\frac {\sigma }{\eta }}={\frac {d\varepsilon }{dt}}} またはドット表記では：
σ ˙ E + σ η = ε ˙ {\displaystyle {\frac {\dot {\sigma }}{E}}+{\frac {\sigma }{\eta }}={\dot {\varepsilon }}} この式は、材料の せん断応力 にも均一張力にも適用できます。前者の場合、粘性は ニュートン流体 の粘性に対応します。後者の場合、粘性は応力とひずみ速度の関係において若干異なる意味を持ちます。
このモデルは通常、小さな変形の場合に適用されます。大きな変形の場合は、幾何学的な非線形性を考慮する必要があります。マクスウェルモデルを一般化する最も簡単な方法については、 上対流型マクスウェルモデル を参照してください。
マクスウェル材料が突然変形し、 ひずみ に保持されると 、応力は の特性時間スケール（ 緩和時間 と呼ばれる）で減少します 。この現象は 応力緩和 として知られています。 ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} η E {\displaystyle {\frac {\eta }{E}}}
この図は無次元応力
と無次元時間の関係を示しています 。 σ ( t ) E ε 0 {\displaystyle {\frac {\sigma (t)}{E\varepsilon _{0}}}} E η t {\displaystyle {\frac {E}{\eta }}t}
材料を時間 に解放すると 、弾性要素は値 だけ跳ね返ります。 t 1 {\displaystyle t_{1}}
ε b a c k = − σ ( t 1 ) E = ε 0 exp ( − E η t 1 ) . {\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {back} }=-{\frac {\sigma (t_{1})}{E}}=\varepsilon _{0}\exp \left(-{\frac {E}{\eta }}t_{1}\right).} 粘性要素は元の長さに戻らないため、変形の不可逆成分は次の式に簡略化できます。
ε i r r e v e r s i b l e = ε 0 [ 1 − exp ( − E η t 1 ) ] . {\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {irreversible} }=\varepsilon _{0}\left[1-\exp \left(-{\frac {E}{\eta }}t_{1}\right)\right].}
突然のストレスの影響 マクスウェル材料が突然応力を受けると 、弾性要素は突然変形し、粘性要素は一定の割合で変形します。 σ 0 {\displaystyle \sigma _{0}}
ε ( t ) = σ 0 E + t σ 0 η {\displaystyle \varepsilon (t)={\frac {\sigma _{0}}{E}}+t{\frac {\sigma _{0}}{\eta }}} ある時点で 材料を解放すると、弾性要素の変形はスプリングバック変形となり、粘性要素の変形は変化しません。 t 1 {\displaystyle t_{1}}
ε r e v e r s i b l e = σ 0 E , {\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {reversible} }={\frac {\sigma _{0}}{E}},} ε i r r e v e r s i b l e = t 1 σ 0 η . {\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {irreversible} }=t_{1}{\frac {\sigma _{0}}{\eta }}.} マクスウェルモデルは、 ひずみを時間の線形関数としてモデル化するため、 クリープは発生しません。
小さな応力が十分長い時間加えられると、不可逆ひずみは大きくなります。したがって、マクスウェル物質は液体の一種です。
一定のひずみ速度の影響 マクスウェル材料が一定のひずみ速度にさらされると 、応力は増加し、一定値に達する。 ϵ ˙ {\displaystyle {\dot {\epsilon }}}
σ = η ε ˙ {\displaystyle \sigma =\eta {\dot {\varepsilon }}}
一般的に
σ ( t ) = η ε ˙ ( 1 − e − E t / η ) {\displaystyle \sigma (t)=\eta {\dot {\varepsilon }}(1-e^{-Et/\eta })}
動的弾性率 マクスウェル物質の緩和スペクトル マクスウェル材料の 複素 動的弾性係数は次のようになります。
E ∗ ( ω ) = 1 1 / E − i / ( ω η ) = E η 2 ω 2 + i ω E 2 η η 2 ω 2 + E 2 {\displaystyle E^{*}(\omega )={\frac {1}{1/E-i/(\omega \eta )}}={\frac {E\eta ^{2}\omega ^{2}+i\omega E^{2}\eta }{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}} したがって、動的弾性係数の成分は次のようになります。
E 1 ( ω ) = E η 2 ω 2 η 2 ω 2 + E 2 = ( η / E ) 2 ω 2 ( η / E ) 2 ω 2 + 1 E = τ 2 ω 2 τ 2 ω 2 + 1 E {\displaystyle E_{1}(\omega )={\frac {E\eta ^{2}\omega ^{2}}{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}={\frac {(\eta /E)^{2}\omega ^{2}}{(\eta /E)^{2}\omega ^{2}+1}}E={\frac {\tau ^{2}\omega ^{2}}{\tau ^{2}\omega ^{2}+1}}E} そして
E 2 ( ω ) = ω E 2 η η 2 ω 2 + E 2 = ( η / E ) ω ( η / E ) 2 ω 2 + 1 E = τ ω τ 2 ω 2 + 1 E {\displaystyle E_{2}(\omega )={\frac {\omega E^{2}\eta }{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}={\frac {(\eta /E)\omega }{(\eta /E)^{2}\omega ^{2}+1}}E={\frac {\tau \omega }{\tau ^{2}\omega ^{2}+1}}E} 図はマクスウェル物質の緩和スペクトルを示しています。緩和 時間定数 は です 。 τ ≡ η / E {\displaystyle \tau \equiv \eta /E}
青い曲線 無次元弾性率 E 1 E {\displaystyle {\frac {E_{1}}{E}}} ピンクの曲線 無次元損失係数 E 2 E {\displaystyle {\frac {E_{2}}{E}}} 黄色の曲線 無次元見かけ粘度 E 2 ω η {\displaystyle {\frac {E_{2}}{\omega \eta }}} X軸 無次元周波数 。 ω τ {\displaystyle \omega \tau }
参照
参考文献 ^ 周暁強、于道元、バレラ・オルガ (2023). 「粘弾性固体材料の力学構成モデル：開発と批判的レビュー」 応用力学の進歩 . 第56巻. pp. 189– 321. doi :10.1016/bs.aams.2022.09.003. ISBN 978-0-323-99248-0 マクスウェルモデルは、粘弾性固体材料の力学特性を記述する最も単純かつ基本的な数学モデルの一種です 。 ^ abc Roylance, David (2001年10月24日). 粘弾性工学 (PDF) (レポート). pp. 8– 11. [ 自費出版ソース? ] ^ Boyaval, Sébastien (2021年5月). 「保存則を持つマクスウェル流体の粘弾性流れ」. ESAIM: 数学モデリングと数値解析 . 55 (3): 807– 831. arXiv : 2007.16075 . doi :10.1051/m2an/2020076. ^ 「IV. 気体の力学理論について」 ロンドン王立協会哲学紀要 . 157 : 49–88 . 1867年12月31日. doi :10.1098/rstl.1867.0004. ^ ab Christensen, RM (1982). 「粘弾性応力ひずみ構成関係」. 粘弾性理論 . pp. 1– 34. doi :10.1016/B978-0-12-174252-2.50005-3. ISBN 978-0-12-174252-2 。 
![{\displaystyle \varepsilon_{\mathrm{不可逆}}=\varepsilon_{0}\left[1-\exp\left(-{\frac{E}{\eta}}t_{1}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8d432cb17a953ececadbac66b26ca40bbbbba61)
