平均運動

Angular speed required for a body to complete one orbit

軌道力学では、平均運動（nで表される）は、実際の物体の可変速度の楕円軌道と同じ時間で完了する円軌道上で一定速度であると仮定した場合、物体が1周するのに必要な角速度です。 ^[1] この概念は、大きな質量のある主物体の周りを回る小さな物体、または共通の質量中心の周りを回る2つの比較的同じサイズの物体にも同様に適用されます。名目上は平均であり、 2体運動の場合も理論的には平均ですが、実際には、平均運動は、2体仮定を近似するだけの実際の物体の軌道の時間平均ではありません。むしろ、物体の常に変化し、摂動を受ける軌道の現在の重力と幾何学的状況から計算された上記の条件を満たす瞬間値です。

平均運動は、例えば軌道要素の集合から天体の軌道上の位置を初期計算する際に、実際の軌道速度の近似値として用いられます。この平均位置はケプラーの方程式によって精密化され、真の位置が算出されます。

意味

軌道周期（物体が一周するのにかかる時間）をPと定義し、次元を時間とする。平均運動量は、この時間で一周を割った値である。^{[2] [3]}

${\displaystyle n={\frac {2\pi \,{\text{radians}}}{P}}={\frac {360^{\circ }}{P}}={\frac {1\,{\text{revolution}}}{P}}}$

平均運動の値は、個々の重力システムの状況によって異なります。質量が大きいシステムでは、ニュートンの万有引力の法則に従って、物体はより速く公転します。同様に、物体同士の距離が近いほど、公転速度も速くなります。

平均運動とケプラーの法則

ケプラーの惑星運動の第3法則は、周期時間の2乗は平均距離の3乗に比例すると述べている^[4]。

${\displaystyle {a^{3}}\propto {P^{2}},}$

ここで、aは軌道長半径または平均距離、Pは前述のように軌道周期である。比例定数は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{P^{2}}}={\frac {\mu }{4\pi ^{2}}},}$

ここで、μは標準重力パラメータであり、特定の重力システムに対する定数です。

平均運動が単位時間当たりのラジアン単位で与えられる場合、それをケプラーの第3法則の上記の定義に組み込むことができます。

${\displaystyle {\frac {\mu }{4\pi ^{2}}}={\frac {a^{3}}{\left({\frac {2\pi }{n}}\right)^{2}}},}$

そして削減し、

${\displaystyle \mu =a^{3}n^{2},}$

これはケプラーの第三法則の別の定義である。^{[3] [5]} μは比例定数であり、^{[6] [注 1]}は、対象となる物体の質量とニュートンの重力定数G（下記参照）によって定義される重力パラメータである。したがって、 nは次のように定義される^[7]

${\displaystyle n^{2}={\frac {\mu }{a^{3}}},\quad {\text{or}}\quad n={\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}.}$

μを拡大することで平均運動を拡大すると、

${\displaystyle n={\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}},}$

ここで、Mは通常、システムの主要な物体の質量であり、mはより小さな物体の質量です。

これは二体系における平均運動の完全な重力定義である。天体力学では、しばしば主天体が系内のどの副天体よりもはるかに大きい、つまり となる。このような状況下では、mは重要ではなくなり、ケプラーの第三法則はすべての小さな天体に対してほぼ一定となる。 ${\displaystyle M\gg m}$

ケプラーの惑星運動の第二法則は、惑星と太陽を結ぶ線は等しい面積を等しい時間に描くと述べている^[6]。あるいは、ライプニッツの記法を用いると、

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\text{constant}}}$

2 体軌道の場合、掃引面積の時間ベースの変化率です。 ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}}$

軌道周期を とすると、掃引面積は楕円の全面積 、 となる。ここでaは楕円の長半径、b は楕円の短半径である。 ^[8]したがって、 ${\displaystyle t=P}$ ${\displaystyle \mathrm {d} A=\pi ab}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\frac {\pi ab}{P}}.}$

この式を2倍すると、

${\displaystyle 2\left({\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}\right)=2\left({\frac {\pi ab}{P}}\right).}$

上記の定義から、平均運動は、 ${\displaystyle n={\frac {2\pi }{P}}}$

${\displaystyle 2{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=nab,}$

平均運動もまた

${\displaystyle n={\frac {2}{ab}}{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}},}$

2 体運動ではa、b、 がすべて一定であるため、これ自体も一定です。 ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}}$

平均運動と運動定数

保存重力場における二体運動の性質により、運動の 2 つの側面、すなわち角運動量と機械的エネルギーは変化しません。

最初の定数は比角運動量と呼ばれ、次のように定義される^{[8] [9]}

${\displaystyle h=2{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}},}$

そして、上記の式に代入すると、平均運動も

${\displaystyle n={\frac {h}{ab}}.}$

2番目の定数は比機械的エネルギーと呼ばれ、次のように定義される。^{[10] [11]}

${\displaystyle \xi =-{\frac {\mu }{2a}}.}$

を整理して で割ると、 ${\displaystyle a^{2}}$

${\displaystyle {\frac {-2\xi }{a^{2}}}={\frac {\mu }{a^{3}}}.}$

上から平均運動の2乗である。これを代入して整理すると、平均運動は次のようにも表せる。 ${\displaystyle n^{2}={\frac {\mu }{a^{3}}}}$

${\displaystyle n={\frac {1}{a}}{\sqrt {-2\xi }},}$

ここで、−2は、天体力学や天体力学における楕円軌道の場合と同様に、 ξを負の数として定義する必要があることを示しています。

平均運動と重力定数

太陽系天体力学では、ニュートンの重力定数Gとガウスの重力定数kという2つの重力定数が一般的に用いられています。上記の定義から、平均運動は

${\displaystyle n={\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}}\,\!.}$

この方程式の一部を正規化し、いくつかの仮定を置くことで方程式を簡略化し、平均運動と定数の関係を明らかにすることができます。

例えば、太陽の質量を1（M  = 1）とすると、惑星の質量はすべてはるかに小さくなります（）。したがって、どの惑星についても、 ${\displaystyle m\ll M}$

${\displaystyle n\approx {\sqrt {\frac {G}{a^{3}}}},}$

また、長半径を1天文単位として、

${\displaystyle n_{1\;{\text{AU}}}\approx {\sqrt {G}}.}$

ガウスの重力定数[ ^{12] [13] [注2]}は、したがって、上記と同じ条件下では、任意の特定の惑星について、 ${\displaystyle k={\sqrt {G}}}$

${\displaystyle n\approx {\frac {k}{\sqrt {a^{3}}}},}$

そして再び長半径を1天文単位として、

${\displaystyle n_{1{\text{ AU}}}\approx k.}$

平均運動と平均異常

平均運動は平均異常の変化率も表すため、計算することもできる。^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\frac {M_{1}-M_{0}}{t_{1}-t_{0}}}={\frac {M_{1}-M_{0}}{\Delta t}},\\M_{1}&=M_{0}+n\times (t_{1}-t_{0})=M_{0}+n\times \Delta t\end{aligned}}}$

ここで、 およびは特定の時点での平均異常であり、は 2 つの時点の間の経過時間です。は、エポックでの平均異常と呼ばれ、はエポック 以降の時間です。 ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle \Delta t(\equiv t_{1}-t_{0})}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \Delta t}$

公式

地球衛星の軌道パラメータの場合、平均運動は通常、1日あたりの回転数で測定されます。その場合、

${\displaystyle n={\frac {d}{2\pi }}{\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}}=d{\sqrt {\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}a^{3}}}}\,\!}$

どこ

• dは1日の時間の量であり、
• Gは重力定数であり、
• Mとmは軌道を周回する天体の質量であり、
• aは半長径の長さです。

単位時間あたりのラジアンを 1 日あたりの回転数に変換するには、次の点を考慮してください。

${\displaystyle {\rm {{\frac {radians}{time\ unit}}\times {\frac {1\ revolution}{2\pi \ radians}}\times }}{\frac {d\ {\rm {time\ units}}}{1{\rm {\ day}}}}={\frac {d}{2\pi }}{\rm {\ revolutions\ per\ day}}}$

上記から、単位時間あたりのラジアンでの平均運動は次のようになります。

${\displaystyle n={\frac {2\pi }{P}},}$

したがって、1日あたりの平均運動回転数は

${\displaystyle n={\frac {d}{2\pi }}{\frac {2\pi }{P}}={\frac {d}{P}},}$

ここで、 Pは上記のように軌道周期です。

参照

• 天文学ポータル

• ガウス重力定数
• ケプラー軌道
• 平均異常
• 平均経度
• 平均運動共鳴
• 軌道要素

注記

1. 重力パラメータμと縮小質量μを混同しないでください。
2. ガウスの重力定数kは通常、ラジアン/日で表され、ニュートンの重力定数Gは通常、 SI単位で表されます。変換する際には注意してください。

参考文献

1. セイデルマン、P. ケネス、アーバン、ショーン E. 編 (2013). 『天文年鑑（第3版）補足解説』ユニバーシティ・サイエンス・ブックス、ミルバレー、カリフォルニア州、p. 648. ISBN 978-1-891389-85-6。
2. Roy, ​​AE (1988).軌道運動（第3版）. Institute of Physics Publishing . p. 83. ISBN 0-85274-229-0。
3. ブラウワー, ディルク; クレメンス, ジェラルド・M. (1961).天体力学の方法.アカデミック・プレス. pp. 20–21.
4. Vallado, David A. (2001). 『天体力学の基礎と応用』（第2版）エルセグンド、カリフォルニア州: Microcosm Press. p. 29. ISBN 1-881883-12-4。
5. バティン、リチャード・H. (1999). 『天体力学の数学と手法入門 改訂版』アメリカ航空宇宙学会 p. 119. ISBN 1-56347-342-9。
6. バリャド、デビッド A. (2001)。 p. 31.
7. バリャド、デビッド A. (2001)。 p. 53.
8. バリャド、デビッド A. (2001)。 p. 30.
9. ベイト, ロジャー・R.; ミューラー, ドナルド・D.; ホワイト, ジェリー・E. (1971). 『天体力学の基礎』ドーバー出版, ニューヨーク, p. 32. ISBN 0-486-60061-0。
10. バリャド、デビッド A. (2001)。 p. 27.
11. ベイト、ロジャー・R.; ミューラー、ドナルド・D.; ホワイト、ジェリー・E. (1971). p. 28.
12. アメリカ海軍天文台航海暦局；HM航海暦局（1961年）。『天文暦およびアメリカ航海暦・天文暦補足』 HM文具局、ロンドン。493ページ。
13. Smart, WM (1953).天体力学. Longmans, Green and Co., London. p. 4.
14. バリャド、デビッド A. (2001)。 p. 54.

外部リンク

• 用語集の項目「平均運動」は、2017年12月23日にWayback Machineでアーカイブされ、米国海軍天文台の天文年鑑オンラインに掲載されています。2015年4月20日にWayback Machineでアーカイブされました。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mean_motion&oldid=1310708579"