メトリックマップ

距離を増加させない計量空間間の関数

計量空間の数学理論において、計量写像とは、距離を増加させない計量空間間の関数である。これらの写像は、計量空間の圏Metにおける射である。^[1]このような関数は常に 連続関数である。これらは、リプシッツ定数が1であるリプシッツ関数、非拡大写像、非拡大写像、弱縮約、または短写像とも呼ばれる。

具体的には、と が距離空間であり、が からへの関数であると仮定します。したがって、内の任意の点およびに対して、 のとき、距離写像が成り立ちます。ここで、および はそれぞれおよび上の距離を表します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))\leq d_{X}(x,y).\!}$$ ${\displaystyle d_{X}}$ ${\displaystyle d_{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

例

ユークリッド計量を持つ計量空間を考えてみましょう。 に対して となるので、関数 は計量写像となります。この例ではリプシッツ定数は1であり、計量写像であることを意味します。 ${\displaystyle [0,1/2]}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|=|x+y||x-y|<|x-y|}$

メトリックマップのカテゴリ

2つの計量写像の関数合成は別の計量写像であり、計量空間上の恒等写像 も計量写像であり、これも関数合成の恒等元である。したがって、計量空間は計量写像と共にカテゴリMetを形成する。Metは、計量空間とリプシッツ写像のカテゴリのサブカテゴリである。計量空間間の写像が等長写像であるための必要十分条件は、その逆写像もまた計量写像となるような全単射計量写像である。したがって、Metにおける同型写像はまさに等長写像である。 ${\displaystyle \mathrm {id} _{M}\colon M\rightarrow M}$ ${\displaystyle M}$

多値バージョン

距離空間から の空でない部分集合族への写像がリプシッツ写像であるとは、任意の に対して（ただしハウスドルフ距離 ）となるような写像が存在するときを言う。 のとき、は非拡大写像と呼ばれ、 のとき、は縮約写像と呼ばれる。 ${\displaystyle T\colon X\to {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\geq 0}$ $${\displaystyle H(Tx,Ty)\leq Ld(x,y),}$$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L=1}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L<1}$ ${\displaystyle T}$

参照

• 縮約（作用素論）  - 部分単位ノルムを持つ有界作用素
• 縮約写像 – すべての点間の距離を縮める関数
• ストレッチ係数 – 埋め込みの数学的パラメータ
• 縮約マップ – すべての点間の距離を縮める関数リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ

参考文献

1. Isbell, JR (1964). 「入射的距離空間に関する6つの定理」. Comment. Math. Helv. 39 : 65–76 . doi :10.1007/BF02566944.

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