ミルナー地図

数学において、ミルナー写像はジョン・ミルナーにちなんで名付けられました。ミルナーは著書『複素超曲面の特異点』（プリンストン大学出版局、1968年）やそれ以前の講義で、ミルナー写像を位相幾何学と代数幾何学に導入しました。最も研究されているミルナー写像は実際にはファイブレーションであり、数学文献ではミルナーファイブレーションという用語の方が一般的に用いられています。ミルナーファイブレーションは、特異空間の滑らかな変形の位相に関連する数値不変量を構築することにより、孤立した特異点を研究するために導入されました。

意味

を複素変数の非定数多項式関数とし、 $f(z_{0},\dots ,z_{n})$ $n+1$ $z_{0},\dots ,z_{n}$

f(z)\ {\text{ と }}\ {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}(z)

は原点のみで成立するため、付随する多様体は原点において滑らかではない。すると、（半径の内側の球面）に付随するミルナーファイバ^[1]^{pg 68}は、写像として定義される。 $X=V(f)$ $K=X\cap S_{\varepsilon}^{2n+1}$ $\mathbb {C} ^{n+1}$ $\varepsilon >0$ $f$

\phi \colon (S_{\varepsilon }^{2n+1}\setminus K)\to S^{1}\ {\text{ sending }}\ x\mapsto {\frac {f(x)}{|f(x)|}}

、

これは十分に小さいに対して局所的に自明な滑らかなファイブレーションである。これはもともとミルナーによって定理として証明されたが、後にミルナーファイブレーションの定義として採用された。これは、 $\varepsilon$

f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}

、

ここで、は複素数の引数です。 $\operatorname {Arg} (f(x))$

歴史的動機

このような写像を研究する元々の動機の一つは、実4次元球体と同型な平面曲線の特異点を囲む球体を取り、その境界（3次元球体の内部にある1次元多様体）内の結び目を観察することによって構成される結び目の研究でした。この概念は孤立した特異点を持つ超曲面にも一般化できるため、ミルナーはこの主題を提唱し、定理を証明しました。 $\varepsilon$

代数幾何学では

代数幾何学におけるもう一つの閉じた関連概念は、孤立した超曲面特異点のミルナーファイバーである。これは同様の設定で、原点に特異点を持つ多項式があるが、ここでは多項式は $f$ $f=0$

f_{t}\colon \mathbb {C} ^{n+1}\to \mathbb {C} \ {\text{送信}}\ (z_{0},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{0},\ldots ,z_{n})-t

を考慮する。そして、代数的ミルノアファイバーは多項式の一つとして取られる。 $f_{t\neq 0}$

性質と定理

並列化可能性

ミルナーファイバーに関する基本的な構造定理の1つは、それらが平行化可能な多様体であるということである^[1]^75ページ。

ホモトピー型

ミルナーファイバーは、球束のホモトピー型を持つという点で特別である^[1]^78ページ。これらの球の数はミルナー数である。実際、球の数は次の式で計算できる。

\mu (f)={\text{dim}}_{\mathbb {C} }{\frac {\mathbb {C} [[z_{0},\ldots ,z_{n}]]}{\operatorname {Jac} (f)}},

ここで、商イデアルは偏微分によって定義されるヤコビアンイデアルである。代数的ミルナーファイバーに変形されたこれらの球面は、ファイバー化の消失サイクルである^[1]^{83ページ。これらのモノドロミーの固有値を計算することは計算上困難であり、}b関数^[2]^23ページなどの高度な技術が必要となる。 $\partial f/\partial z_{i}$

ミルナーのファイブレーション定理

ミルナーのファイブレーション定理は、原点が超曲面の特異点となるような任意のもの（特に、平面曲線の場合、2変数の任意の非定数平方自由多項式）に対して、十分に小さい $f$ $V_{f}$ $f$ $\epsilon$

{\dfrac {f}{|f|}}\colon \left(S_{\varepsilon }^{2n+1}\setminus V_{f}\right)\to S^{1}

はファイバ化です。各ファイバは、実次元の非コンパクト微分可能多様体です。各ファイバの閉包は、境界を持つコンパクト多様体であることに注意してください。ここで、境界は、と（十分に小さい半径の） -球面との交点に対応し、したがって、次元の実多様体です。さらに、境界を持つこのコンパクト多様体は、（原点におけるの孤立特異点の）ミルノアファイバとして知られ、閉じた-球体（小さな-球面によって囲まれる）と（非特異）超曲面との交点に微分同相です。ここで、は十分に小さい任意のゼロでない複素数です。この超曲面の小片は、ミルノアファイバとも呼ばれます。 $2n$ $V_{f}$ $(2n+1)$ $(2n-1)$ $V_{f}$ $(2n+2)$ $(2n+1)$ $V_{g}$ $g=fe$ $e$

他の半径におけるミルナー写像は必ずしもファイブレーションとは限らないが、それでも多くの興味深い性質を持つ。ほとんどの（ただしすべてではない）多項式において、無限遠（つまり十分に大きな半径）におけるミルナー写像もまたファイブレーションとなる。

例

任意の半径ののミルナー写像は繊維化であり、この構成により三つ葉結び目は繊維結び目としての構造を持ちます。 $f(z,w)=z^{2}+w^{3}$

参照

参考文献

^ abcd Dimca, Alexandru (1992).特異点と超曲面の位相. ニューヨーク: Springer . ISBN 978-1-4612-4404-2 OCLC 852790417 。
^ Budur, Nero. 「乗数イデアル、ミルナーファイバー、その他の特異点不変量」（PDF） . doi :10.1002/humu.22655. S2CID 221776902. 2019年3月6日時点のオリジナル（PDF）からのアーカイブ。

ミルナー、ジョン・W.（1968）「複素超曲面の特異点」、数学研究年報、第61号。プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー州；東京大学出版局、東京、ISBN 0-691-08065-8

[:0-1] Dimca, Alexandru (1992).特異点と超曲面の位相. ニューヨーク: Springer . ISBN 978-1-4612-4404-2 OCLC 852790417 。

[2] Budur, Nero. 「乗数イデアル、ミルナーファイバー、その他の特異点不変量」（PDF） . doi :10.1002/humu.22655. S2CID 221776902. 2019年3月6日時点のオリジナル（PDF）からのアーカイブ。