ミルナー数

Invariant that plays a role in algebraic geometry and singularity theory

数学、特に特異点理論において、ジョン・ミルナーにちなんで名付けられたミルナー数は、関数胚の不変量です。

f が複素数値正則関数胚である場合、fのミルナー数μ ( f ) は非負整数または無限大 のいずれかとなる。これは幾何学的 不変量と代数的不変量の両方とみなすことができる。そのため、代数幾何学と特異点理論において重要な役割を果たす。

代数的定義

正則複素 関数の胚を考える

${\displaystyle f:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)\ }$

をすべての関数芽の環で表す。関数のあらゆるレベルは の複素超曲面であるため、超曲面特異点と呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$

が孤立特異点であると仮定する。正則写像の場合、超曲面特異点はにおいて特異であるとは、その勾配がにおいてゼロであることを意味する。また、 がの十分小さい近傍における唯一の特異点である場合、 は孤立特異点であるという。特に、勾配の重複度は ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \mu (f)=\dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {O}}_{n}/\nabla f}$

はリュッケルトの零点定理を適用することにより有限となる。この数はにおける特異点のミルナー数である。 ${\displaystyle \mu (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$

勾配の多重度が有限となるのは、原点がfの孤立した臨界点である場合のみであることに注意してください。 ^{[引用が必要]}

幾何学的解釈

ミルナーは当初^[1]、次のように幾何学的に導入した。に近い値のすべてのファイバーは、実次元 の非特異多様体である。を中心とする小さな開円板との交点は、ミルナーファイバーと呼ばれる滑らかな多様体である。 が十分に小さい場合、微分同相写像まではまたはに依存しない。また、ミルナーファイバー写像のファイバーにも微分同相である。 ${\displaystyle \mu (f)}$ ${\displaystyle f^{-1}(c)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2(n-1)}$ ${\displaystyle D_{\epsilon }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \epsilon }$

ミルノアファイバーは次元 の滑らかな多様体であり、球面の束と同じホモトピー型を持ちます。つまり、その中間のベッティ数はミルノア数に等しく、次元 未満の点とホモロジーを持ちます。例えば、複素平面曲線は、あらゆる特異点の近くでは、そのミルノアファイバーが円のくさび形とホモトピーを持ちます（ミルノア数は局所的な性質であるため、特異点によって異なる値を持つことがあります）。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2(n-1)}$ ${\displaystyle \mu (f)}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle b_{n-1}(F)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \mu _{z_{0}}(f)}$

したがって、次の等式が成り立ちます。

ミルナー数 =くさび形の球の数= 中心ベッティ数=写像の次数= 勾配の多重度 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle z\to {\frac {{\nabla }f(z)}{\|{\nabla }f(z)\|}}}$ ${\displaystyle S_{\epsilon }}$ ${\displaystyle \nabla f}$

ミルナー数を別の視点から見るには、摂動法を用いる。 が特異点であり、かつすべての2階偏微分からなるヘッセ行列の行列式が においてゼロとなる場合、 は において退化した特異点である、あるいはfは において退化した特異点を持つと言われる。 ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right)_{1\leq i\leq j\leq n}^{z=z_{0}}=0.}$

f は0 において退化した特異点を持つと仮定する。この退化した特異点の多重度は、無限小接着されている点の数を考えることで考察できる。f の像をある安定した方法で摂動させると、0 における孤立した退化した特異点は、退化していない他の孤立した特異点に分裂する。このような孤立した非退化特異点の数は、無限小接着されている点の数となる。

正確には、原点で特異でない別の関数 germ gを取り、これを新たな関数 germ h := f + εgとみなす。ここでεは非常に小さい。ε = 0のとき、 h = fとなる。関数hはfのモルフィケーション（morsification）と呼ばれる。 hの特異点を計算するのは非常に困難であり、実際には計算上不可能である可能性もある。この無限小に接着された点の数、つまりfの局所的重複度は、まさにfのミルナー数である。

さらなる貢献^{[2]は、ミルナー数に}変形空間の次元の観点から意味を与えています。つまり、ミルナー数は、初期特異点に関するすべての情報を保持する変形のパラメータ空間の最小次元です。

例

以下に、2変数多項式の実例をいくつか示します。1変数のみを扱うのは単純すぎるため、技法の適切な説明にはなりにくく、3変数を扱うのは煩雑になる可能性があります。fが正則で多項式でない場合は、fの冪級数展開を使用できることに注意してください。

1

0 に非退化特異点を持つ関数芽（例えば ）を考えます。ヤコビアンイデアルは です。局所代数を計算すると： ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle \langle 2x,2y\rangle =\langle x,y\rangle }$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}={\mathcal {O}}/\langle x,y\rangle =\langle 1\rangle .}$

アダマールの補題によれば、任意の関数は次のように書ける。 ${\displaystyle h\in {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle h(x,y)=k+xh_{1}(x,y)+yh_{2}(x,y)}$

定数kと関数および（ただし、どちらか一方または両方が0になる場合もある）に対して、この式は妥当である。したがって、関数xとyの倍数を法として、関数hは定数として表される。定数関数の空間は1で張られるため、 ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}=\langle 1\rangle }$

したがって、 μ ( f ) = 1 となります。0 に非退化特異点を持つ任意の関数 germ gに対して、 μ ( g ) = 1であることは簡単に確認できます。

この方法を非特異関数germ gに適用すると、 μ ( g ) = 0となることに注意してください。

2

とすると、 ${\displaystyle f(x,y)=x^{3}+xy^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}={\mathcal {O}}/\langle 3x^{2}+y^{2},xy\rangle =\langle 1,x,y,x^{2}\rangle .}$

つまりこの場合は。 ${\displaystyle \mu (f)=4}$

3

すると、 ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}y^{2}+y^{3}}$ ${\displaystyle \mu (f)=\infty .}$

これは、 x軸のあらゆる点でfが特異であるという事実によって説明できます。

ヴァーサル変形

fが有限ミルナー数μを持ち、ベクトル空間として考えられる局所代数の基底とする。このとき、 fのミニバーサル変形は次のように与えられる。 ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{\mu }}$

${\displaystyle F:(\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{\mu },0)\to (\mathbb {C} ,0),}$

${\displaystyle F(z,a):=f(z)+a_{1}g_{1}(z)+\cdots +a_{\mu }g_{\mu }(z),}$

ここで、これらの変形（または展開）は科学の多くの分野で大きな関心を集めています。^[要出典] ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{\mu })\in \mathbb {C} ^{\mu }}$

不変性

関数芽は、同値類を構築するためにまとめて収集することができます。標準的な同値類の一つはA同値です。2つの関数芽がA同値であるとは、微分同相写像芽が存在し、かつ、定義域と値域の両方においてfをgにする微分同相写像的な変数変換が存在する場合を指します。fとg がA同値である場合、 μ ( f ) = μ ( g ) となります。^[要出典] ${\displaystyle f,g:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)}$ ${\displaystyle \phi :(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ^{n},0)}$ ${\displaystyle \psi :(\mathbb {C} ,0)\to (\mathbb {C} ,0)}$ ${\displaystyle f\circ \phi =\psi \circ g}$

しかしながら、ミルナー数は関数芽に対して完全な不変量を提供しません。つまり、逆は偽です。μ (f) = μ ( g )を満たす関数芽 f と g は A -等価ではありません。これを確認するには、とを考えてみましょう。すると が得られますが、fのヘッセ行列はゼロであるのに対し、 g のヘッセ行列はゼロではないため、 fとgは明らかにA -等価ではありません（そして、ヘッセ行列の階数は容易にわかるようにA -不変量です）。 ${\displaystyle f(x,y)=x^{3}+y^{3}}$ ${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{5}}$ ${\displaystyle \mu (f)=\mu (g)=4}$

参考文献

1. ミルナー、ジョン(1969).複素超曲面の特異点. Annals of Mathematics Studies.プリンストン大学出版局.
2. アーノルド、VI ;グセイン・ザーデ、SM; ＡＮ州ヴァルチェンコ（1988）。微分可能な写像の特異点。 Vol. 2.ビルクホイザー。

• アーノルド, VI ;グセイン・ザーデ、SM; ＡＮ州ヴァルチェンコ（1985）。微分可能な写像の特異点。 Vol. 1.ビルクホイザー。
• ギブソン、クリストファー・G. (1979).滑らかな写像の特異点. 数学研究ノート. ピットマン.
• ミルナー、ジョン(1963).モース理論. 数学研究年報.プリンストン大学出版局.
• ミルナー、ジョン(1969).複素超曲面の特異点. Annals of Mathematics Studies.プリンストン大学出版局.

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