Determinant of a subsection of a square matrix
線型代数 において 、 行列 A の 小行列 （minor）とは、 A から 1つ以上の行と列を削除することで生成される、 より小さな 正方行列の行列 式です。正方行列から1行と1列だけを削除することで得られる小行列（ 第一小行列）は、行列 余因子の 計算に必要であり、行列余因子は正方行列の行列式と 逆 行列の両方を計算するのに役立ちます 。定義では、正方行列が元の行列よりも小さくなければならないという要件は省略されることがよくあります。
定義と説明
ファーストマイナー A が 正方行列である 場合、 i 行 j 列目 の 要素のマイナー行列（ ( i , j ) マイナー行列 、または 第一マイナー行列 [1] とも呼ばれる）は、 i 行 j 列目の 要素 を削除して形成される 部分行列の行列式である。この数はしばしば M i , j と表記される 。 ( i , j ) 補因子は、マイナー行列に (-1) i + j を 乗じることで得られる 。
これらの定義を説明するために、次の 3×3 行列を考えてみましょう。
[ 1 4 7 3 0 5 − 1 9 11 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}}
マイナー行列 M 2,3 とコファクター C 2,3 を計算するには、上記の行列から行 2 と列 3 を削除した行列式を求めます。
M 2 , 3 = det [ 1 4 ◻ ◻ ◻ ◻ − 1 9 ◻ ] = det [ 1 4 − 1 9 ] = 9 − ( − 4 ) = 13 {\displaystyle M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13}
したがって、 (2,3) 項の余因子 は
C 2 , 3 = ( − 1 ) 2 + 3 ( M 2 , 3 ) = − 13. {\displaystyle C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.}
一般的な定義 A を m × n 行列、 kを 0 < k ≤ m 、 k ≤ n の整数 と し ます 。 A の k × k 小行列式 は、 A の k 次小行列式とも呼ばれ、 m = n の場合は、 A の ( n − k ) 次 小 行列式 (「行列式」という語は省略されることが多く、「次数」という語が「次数」の代わりに使用されることもあります) は、 Aから m − k 行と n − k 列を削除することによって得られる k × k 行列の行列式です 。 この用語は、上記のように ( m − k 行と n − k 列を削除することによって) A から得られる k × k行列を指すために使用されることもありますが、この行列は A の (正方) 部分行列 と呼ぶべきであり 、「小行列式」という用語はこの行列の行列式を指すために残しておきます。 上記の行列 A には、サイズ k × k の小行列式が合計で存在します 。 0次のマイナー行列 は 1と定義されることが多い。正方行列の場合、 0次のマイナー行列 は行列の行列式となる。 [2] [3] ( m k ) ⋅ ( n k ) {\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}
をインデックスの順序付けられたシーケンス（特に明記しない限り、マイナーについて話すときは常に自然順序であると想定されます）とします。 これら のインデックスの選択に対応するマイナーは、情報源に応じて、 または または または または または （ここで ( i ) はインデックスのシーケンス Iなどを示します）で表されます。また、文献では 2 種類の表記法が使用されています。インデックス I および J の順序付けられたシーケンスに関連付けられたマイナーによって 、一部の著者 [4] は、上記のように、インデックスが I にある行とインデックスが J にある列から元の行列の要素を取得することによって形成される行列の行列式を意味しますが、他の一部の著者は、 I および Jに関連付けられたマイナーによって、 I の行と J の列を削除することによって元の行列から形成された行列の行列式を意味します 。 [2]どちらの表記法が使用されているかは常に確認する必要があります。この記事では、 Iの行と J の 列から要素を選択する包括的な定義を使用します 。例外的なケースは、最初のマイナーまたは 上記の ( i , j ) マイナーの場合です。その場合、排他的意味 は文献のどこでも標準的であり、この記事でも使用されます。 I = 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ m , J = 1 ≤ j 1 < j 2 < ⋯ < j k ≤ n , {\displaystyle {\begin{aligned}I&=1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m,\\[2pt]J&=1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}} det ( ( A i p , j q ) p , q = 1 , … , k ) {\textstyle \det {\bigl (}(\mathbf {A} _{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}{\bigr )}} det I , J A {\displaystyle \det _{I,J}A} det A I , J {\displaystyle \det \mathbf {A} _{I,J}} [ A ] I , J {\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}} M I , J {\displaystyle M_{I,J}} M i 1 , i 2 , … , i k , j 1 , j 2 , … , j k {\displaystyle M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}} M ( i ) , ( j ) {\displaystyle M_{(i),(j)}} M i , j = det ( ( A p , q ) p ≠ i , q ≠ j ) {\textstyle M_{i,j}=\det {\bigl (}\left(\mathbf {A} _{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}{\bigr )}}
補体 正方行列 A の小行列 M ijk ... , pqr ... の補行列 B ijk ..., pqr ...は、行列 Aから M ijk ..., pqr ... に関連する すべての行 ( ijk... ) と列 ( pqr... )を取り除いた行列式によって形成される。元 a ij の最初の小行列の補行列は、 単にその元である。 [5]
マイナーとコファクターの応用
行列式の補因子展開 行列式の展開に関する ラプラスの公式 において、余因子は重要な役割を果たします。 これは、より大きな行列式をより小さな行列式を用いて計算する方法です。n × n 行列 A = ( a ij ) が与えられたとき、 A の行列式 det( A ) は、行列の任意の行または列の余因子と、それらを生成する要素の和として表すことができます。言い換えれば、 j 列目に沿って余因子展開を定義すると、次のように なります。 C i j = ( − 1 ) i + j M i j {\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}
det ( A ) = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j + a 3 j C 3 j + ⋯ + a n j C n j = ∑ i = 1 n a i j C i j = ∑ i = 1 n a i j ( − 1 ) i + j M i j {\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}
i 行目に沿った補因子展開は 次のようになる。
det ( A ) = a i 1 C i 1 + a i 2 C i 2 + a i 3 C i 3 + ⋯ + a i n C i n = ∑ j = 1 n a i j C i j = ∑ j = 1 n a i j ( − 1 ) i + j M i j {\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}
行列の逆行列 可逆行列 の逆行列は、 クラメールの規則 を用いてその余因子を計算することで、以下のように記述することができます。正方行列 A のすべての余因子によって形成される行列は、 余因子行列 （ 余因子行列 、あるいは 余行列 とも呼ばれます） と呼ばれます。
C = [ C 11 C 12 ⋯ C 1 n C 21 C 22 ⋯ C 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ C n 1 C n 2 ⋯ C n n ] {\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}
A の逆行列 は、補因子行列の転置と A の行列式の逆数を掛け合わせたものである。
A − 1 = 1 det ( A ) C T . {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}
補因子行列の転置は、 A の随伴 行列（ 古典的随伴行列 とも呼ばれる）と呼ばれます 。
上記の式は次のように一般化できる： を 自然順序で並べた添え字の列とする（ここで A は n × n 行列）。すると [6] I = 1 ≤ i 1 < i 2 < … < i k ≤ n , J = 1 ≤ j 1 < j 2 < … < j k ≤ n , {\displaystyle {\begin{aligned}I&=1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n,\\[2pt]J&=1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}}
[ A − 1 ] I , J = ± [ A ] J ′ , I ′ det A , {\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},}
ここで 、 I′ 、 J′ は、 I 、 J の補完関係にあるインデックスの順序付きシーケンス（インデックスは上記のように自然数順）を表し、 すべてのインデックス 1, ..., n はI または I' のいずれかに1回だけ現れ 、両方に現れることはありません（ J と J' についても同様）。また、 [ A ] I 、 J は 、インデックスセットI の行とインデックスセット J の列を選択して形成される A の部分行列の行列式を表します 。また、 A の簡単な証明は、ウェッジ積を用いて行うことができます。実際、 [ A ] I , J = det ( ( A i p , j q ) p , q = 1 , … , k ) . {\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}=\det {\bigl (}(A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}{\bigr )}.}
[ A − 1 ] I , J ( e 1 ∧ … ∧ e n ) = ± ( A − 1 e j 1 ) ∧ … ∧ ( A − 1 e j k ) ∧ e i 1 ′ ∧ … ∧ e i n − k ′ , {\displaystyle {\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},}
ここで 基底ベクトルはAで ある。両辺に Aを作用させると、 e 1 , … , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}
[ A − 1 ] I , J det A ( e 1 ∧ … ∧ e n ) = ± ( e j 1 ) ∧ … ∧ ( e j k ) ∧ ( A e i 1 ′ ) ∧ … ∧ ( A e i n − k ′ ) = ± [ A ] J ′ , I ′ ( e 1 ∧ … ∧ e n ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\ {\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})\\[2pt]=&\ \pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})\\[2pt]=&\ \pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).\end{aligned}}}
符号は と計算できるため
、符号は I と J の要素の合計によって決まります 。 ( − 1 ) ( ∑ s = 1 k i s − ∑ s = 1 k j s ) , {\displaystyle (-1)^{\left(\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}\right)},}
その他のアプリケーション 実数 要素（または他の 任意の体 からの要素）と 階数 rを持つ m × n 行列 が与えられた場合 、少なくとも 1 つの 0 以外の r × r マイナーが存在し、それより大きいマイナーはすべて 0 です。
マイナー行列には次の表記法を使用します。 A が m × n 行列、 I が k 要素を持つ {1, ..., m } の サブセット 、 Jが k要素を持つ {1, ..., n } のサブセット である場合、 I のインデックスを持つ行と J のインデックスを持つ列に対応する A の k × k マイナー行列を [ A ] I , J と記述します 。
I = J ならば [ A ] I , J は 主小数点 と呼ばれます 。 主小行列に対応する行列が、より大きな行列の 左上の正方 部分行列である場合（つまり、 1 から k までの行と列の行列要素で構成され、主主小行列とも呼ばれる）、主小行列は、 主小行列（次数 k ） または コーナー（主）小行列（次数 k ） と呼ばれます。 [3] n × n の正方行列の場合、 n 個の主小行列 が存在します。 行列の基本小行列式は、最大サイズで行列式がゼロでない正方部分行列の行列式である。 [ 3 ] エルミート行列 の場合 、主小行列は 正定値性を 判断するために、また主小行列は 半正定値性 を判断するために使用できます。 詳細については、 シルベスターの基準を参照してください。 通常の行列乗算 の公式 と、 2つの行列の積の行列式の コーシー・ビネ公式は 、どちらも2つの行列の積の小行列式に関する以下の一般的な命題の特殊なケースです。Aがm×n 行列 、 B が n × p 行列 、 I が k 要素 を持つ {1, ..., m } の 部分集合 、 J が k 要素を持つ {1, ..., p } の部分集合であるとします 。すると、 k 要素を持つ {1, ..., n } の部分集合 K すべてにわたって、和が成り立ちます 。この公式は、コーシー・ビネ公式の直接的な拡張です。 [ A B ] I , J = ∑ K [ A ] I , K [ B ] K , J {\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}
多重線形代数アプローチ より体系的な代数的マイナー処理は、 多重線型代数で ウェッジ積 を使用して与えられます 。行列の kマイナーは、 k 番目の 外部べき乗 マップのエントリです 。
行列の列を k 列 ずつくさび状に並べると、 k × k 個の小行列式が、結果として得られるk ベクトルの成分として現れます 。例えば、行列の 2 × 2 小行列式は 、最初の 2 行から -13、最初の行と最後の行から -7、最後の 2 行から 5 です。ここで、 2 つの式が行列の 2 つの列に対応するくさび積を考えてみましょう。くさび積の特性、つまり双線型かつ 交代 型 であること、 および 反対称 である ことを利用して、 この式を次のように簡略化できます 。係数は、先ほど計算した小行列式と一致する必要があります。 ( 1 4 3 − 1 2 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}} ( e 1 + 3 e 2 + 2 e 3 ) ∧ ( 4 e 1 − e 2 + e 3 ) {\displaystyle (\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})} e i ∧ e i = 0 , {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,} e i ∧ e j = − e j ∧ e i , {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},} − 13 e 1 ∧ e 2 − 7 e 1 ∧ e 3 + 5 e 2 ∧ e 3 {\displaystyle -13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}
いくつかの書籍では、補因子 の代わりに 補助因子 という用語 が使用されています。 [7]さらに、補助因子は A ij と表記され 、補因子と同じように定義されます。 A i j = ( − 1 ) i + j M i j {\displaystyle \mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}}
この表記法を使用すると、逆行列は次のように記述されます。 M − 1 = 1 det ( M ) [ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ] {\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}}
adjunct は adjugate や adjoint で はない ことに注意してください 。現代の用語では、行列の「adjoint」は、対応する adjoint 演算子 を指すことがほとんどです。
参照
参考文献 ^ バーンサイド、ウィリアム・スノー & パントン、アーサー・ウィリアム (1886) 方程式の理論：二元代数形式の理論入門 。 ^ ab 基礎行列代数 (第 3 版)、フランツ E. ホーン、マクミラン カンパニー、1973 年、 ISBN 978-0-02-355950-1 ^ abc 「マイナー」。数学百科事典。 ^ 線形代数と幾何学、Igor R. Shafarevich、Alexey O. Remizov、Springer-Verlag Berlin Heidelberg、2013年、 ISBN 978-3-642-30993-9 ^ バーサ・ジェフリーズ『数理物理学の方法』p.135、ケンブリッジ大学出版局、1999年 ISBN 0-521-66402-0 。 ^ Viktor Vasil_evich Prasolov (1994年6月13日). 線形代数の諸問題と定理. アメリカ数学会. pp. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6 。 ^ フェリックス・ガントマッハー 『 行列理論』 （第1版、原文はロシア語）、モスクワ：国立技術理論文献出版社、1953年、491頁
外部リンク
![{\displaystyle {\begin{aligned}I&=1\leq i_{1}i_{2}\cdots <i_{k}\leq m,\\[2pt]J&=1\leq j_{1}j_{2}\cdots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15bdc61898dff13beb31d1483527c8956808d9d7)
![{\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79116b5e84bb99178ebe45f84a4dccb668e94067)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f22fa3179620ec6593edf73ddeef1e11845e5064)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc9958f5e7f89c0881b71ee7c44ea03c867dde5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I&=1\leq i_{1}i_{2}\ldots <i_{k}\leq n,\\[2pt]J&=1\leq j_{1}j_{2}\ldots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/549602dcfcffd8f7c0becec6381867f4ce2f6d1a)
![{\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45c44715bae88ff227764651ac92746ad948727)
![{\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}=\det {\bigl (}(A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}{\bigr )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee7a2c22d95da660f8f1350fcc46d32094fa280)
![{\displaystyle {\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{nk}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffaa911ab52fa2df767929f07dc7594ab2926f6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\ {\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})\\[2pt]=&\ \pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{nk}})\\[2pt]=&\ \pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70086210618c94af6dc9209c2a2a158068894b82)
![{\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5b02d20f091af80b1b0e1c27b4e1758a620ddc)
