Probability distribution
修正半正規分布 表記 MHN ( α , β , γ ) {\displaystyle {\text{MHN}}\left(\alpha ,\beta ,\gamma \right)} パラメータ α > 0 , β > 0 , and γ ∈ R {\displaystyle \alpha >0,\beta >0,{\text{ and }}\gamma \in \mathbb {R} } サポート x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} PDF f MHN ( x ) = 2 β α / 2 x α − 1 exp ( − β x 2 + γ x ) Ψ ( α 2 , γ β ) {\displaystyle f_{_{\text{MHN}}}(x)={\frac {2\beta ^{\alpha /2}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}} CDF F MHN ( x ∣ α , β , γ ) = 2 β α / 2 Ψ ( α 2 , γ β ) × ∑ i = 0 ∞ γ i 2 i ! β − ( α + i ) / 2 γ ( α + i 2 , β x 2 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}F_{_{\text{MHN}}}(x\mid \alpha ,\beta ,\gamma )={}&{\frac {2\beta ^{\alpha /2}}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}\\[4pt]&{}\times \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{2i!}}\beta ^{-(\alpha +i)/2}\gamma \left({\frac {\alpha +i}{2}},\beta x^{2}\right),\end{aligned}}} ここで、 は 下側 不完全ガンマ関数 を表します。 γ ( s , y ) {\displaystyle \gamma (s,y)} 平均 E ( X ) = Ψ ( α + 1 2 , γ β ) β 1 / 2 Ψ ( α 2 , γ β ) {\displaystyle E(X)={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha +1}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}{\beta ^{1/2}\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}} モード γ + γ 2 + 8 β ( α − 1 ) 4 β if α > 1 {\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}{\text{ if }}\alpha >1} 分散 Var ( X ) = Ψ ( α + 2 2 , γ β ) β Ψ ( α 2 , γ β ) − [ Ψ ( α + 1 2 , γ β ) β 1 / 2 Ψ ( α 2 , γ β ) ] 2 {\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha +2}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}{\beta \Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}-\left[{\frac {\Psi \left({\frac {\alpha +1}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}{\beta ^{1/2}\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}\right]^{2}}
確率論 と 統計学 において 、 修正半正規分布（MHN） [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] は、実数直線の正の部分でサポートされる3パラメータの連続 確率分布族である。MHN分布は、 半正規分布 、 切断正規分布 、 ガンマ分布 、ガンマ分布の平方根など、MHN分布の特殊ケースを含む複数の族の一般化と見なすことができる 。したがって、実数値の正のデータを解析するための柔軟な確率モデルである。この分布の名前は、その密度関数が半正規分布の密度関数と類似していることに由来する。
MHN分布は確率モデルとして使用されるだけでなく、 方向データのベイズモデリング、 [4] ベイズ 2値回帰 、ベイズ グラフィカルモデリングなどの マルコフ連鎖モンテカルロ (MCMC)ベースの ベイズ 手順にも使用されます。
ベイズ解析において、新しい分布はしばしば条件付き 事後分布 として現れる。しかし、そのような確率分布の多くは文脈に依存しすぎており、より広い視点から見ると意味を持たない可能性がある。さらに、そのような分布の多くは、正規化定数の既知の関数形など、その分布的側面を扱いやすい形で表現することができない。しかしながら、MHN分布は様々な研究分野で用いられており、現代のベイズ統計モデリングとそれに関連する計算との関連性を示している。 [ 説明が必要 ]
MHN分布のモーメント（分散と歪度を含む）は、フォックス・ライトのプサイ関数によって表すことができます 。 分布 の 連続 する 3 つ のモーメントの間には再帰的な関係があり、これは分布の平均の効率的な近似値を求める際や、モーメントに基づくパラメータ推定値の構築に役立ちます。
定義 修正半正規分布の確率密度関数は、 フォックス・ライトのプサイ関数 を表す 。 [ 9] [10] [11] 分布の正規化定数とフォックス・ライト関数の関係は、Sun、Kong、Palに示されている。 [1] f ( x ) = 2 β α / 2 x α − 1 exp ( − β x 2 + γ x ) Ψ ( α 2 , γ β ) for x > 0 {\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\alpha /2}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}{\text{ for }}x>0} Ψ ( α 2 , γ β ) = 1 Ψ 1 [ ( α 2 , 1 2 ) ( 1 , 0 ) ; γ β ] {\displaystyle \Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)={}_{1}\Psi _{1}\left[{\begin{matrix}({\frac {\alpha }{2}},{\frac {1}{2}})\\(1,0)\end{matrix}};{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right]}
累積 分布関数 (CDF) は、 下側 不完全ガンマ関数 を表し
ます 。 F MHN ( x ∣ α , β , γ ) = 2 β α / 2 Ψ ( α 2 , γ β ) ∑ i = 0 ∞ γ i 2 i ! β − ( α + i ) / 2 γ ( α + i 2 , β x 2 ) for x ≥ 0 , {\displaystyle F_{_{\text{MHN}}}(x\mid \alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {2\beta ^{\alpha /2}}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{2i!}}\beta ^{-(\alpha +i)/2}\gamma \left({\frac {\alpha +i}{2}},\beta x^{2}\right){\text{ for }}x\geq 0,} γ ( s , y ) = ∫ 0 y t s − 1 e − t d t {\displaystyle \gamma (s,y)=\int _{0}^{y}t^{s-1}e^{-t}\,dt}
プロパティ 修正半正規分布は 指数 分布族であり、指数分布族の特性を継承します。
瞬間 とする。 となる 実数値を選ぶ 。すると、 番目の モーメント は 、さらに、 分布の分散は、 MHN分布のモーメント生成関数は、次のように与えられる。 X ∼ MHN ( α , β , γ ) {\displaystyle X\sim {\text{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma )} k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} α + k > 0 {\displaystyle \alpha +k>0} k {\displaystyle k} E ( X k ) = Ψ ( α + k 2 , γ β ) β k / 2 Ψ ( α 2 , γ β ) . {\displaystyle E(X^{k})={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha +k}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}{\beta ^{k/2}\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}.} E ( X k + 2 ) = α + k 2 β E ( X k ) + γ 2 β E ( X k + 1 ) . {\displaystyle E(X^{k+2})={\frac {\alpha +k}{2\beta }}E(X^{k})+{\frac {\gamma }{2\beta }}E(X^{k+1}).} Var ( X ) = α 2 β + E ( X ) ( γ 2 β − E ( X ) ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\alpha }{2\beta }}+E(X)\left({\frac {\gamma }{2\beta }}-E(X)\right).} M X ( t ) = Ψ ( α 2 , γ + t β ) Ψ ( α 2 , γ β ) . {\displaystyle M_{X}(t)={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma +t}{\sqrt {\beta }}}\right)}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}.}
モード特性評価 、、 および を 考慮 してください 。 MHN ( α , β , γ ) {\displaystyle {\text{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma )} α > 0 {\displaystyle \alpha >0} β > 0 {\displaystyle \beta >0} γ ∈ R {\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }
の場合 、分布の確率密度関数は対数凹です。 α ≥ 1 {\displaystyle \alpha \geq 1} の場合 、分布の最頻値は α > 1 {\displaystyle \alpha >1} γ + γ 2 + 8 β ( α − 1 ) 4 β . {\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}.} かつ ならば 、 密度は で極大値を持ち、 で極小値を持つ。 γ > 0 {\displaystyle \gamma >0} 1 − γ 2 8 β ≤ α < 1 {\displaystyle 1-{\frac {\gamma ^{2}}{8\beta }}\leq \alpha <1} γ + γ 2 + 8 β ( α − 1 ) 4 β {\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}} γ − γ 2 + 8 β ( α − 1 ) 4 β . {\displaystyle {\frac {\gamma -{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}.} 密度関数は で徐々に減少し、 、 、 または の 場合、分布のモードは存在しません 。 R + {\displaystyle \mathbb {R} _{+}} γ > 0 {\displaystyle \gamma >0} 0 < α < 1 − γ 2 8 β {\displaystyle 0<\alpha <1-{\frac {\gamma ^{2}}{8\beta }}} γ < 0 , α ≤ 1 {\displaystyle \gamma <0,\alpha \leq 1}
モードと期待値に関する追加のプロパティ 、、 およびについて 、 分布のモードを次のように表す 。 X ∼ MHN ( α , β , γ ) {\displaystyle X\sim {\text{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma )} α ≥ 1 {\displaystyle \alpha \geq 1} β > 0 {\displaystyle \beta >0} γ ∈ R {\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} {}} X mode = γ + γ 2 + 8 β ( α − 1 ) 4 β . {\displaystyle X_{\text{mode}}={\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}.}
ならば 、 すべての に対してが成り立ちます 。 が大きくなるにつれて、上限と下限の差はゼロに近づきます。したがって、が大きい 場合も、これは の高精度な近似値となります 。 α > 1 {\displaystyle \alpha >1} X mode ≤ E ( X ) ≤ γ + γ 2 + 8 α β 4 β {\displaystyle X_{\text{mode}}\leq E(X)\leq {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\alpha \beta }}}{4\beta }}} γ ∈ R {\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} } α {\displaystyle \alpha } E ( X ) {\displaystyle E(X)} α {\displaystyle \alpha }
一方、 かつ ならば 、 すべての 、 、 について 、 が成り立ちます 。 また 、 の条件 はその妥当性の十分条件です。 という事実は、 分布が正に歪んでいることを意味します。 γ > 0 {\displaystyle \gamma >0} α ≥ 4 {\displaystyle \alpha \geq 4} log ( X mode ) ≤ E ( log ( X ) ) ≤ log ( γ + γ 2 + 8 α β 4 β ) . {\displaystyle \log(X_{\text{mode}})\leq E(\log(X))\leq \log \left({\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\alpha \beta }}}{4\beta }}\right).} α > 0 {\displaystyle \alpha >0} β > 0 {\displaystyle \beta >0} γ ∈ R {\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} } Var ( X ) ≤ 1 2 β {\displaystyle {\text{Var}}(X)\leq {\frac {1}{2\beta }}} α ≥ 4 {\displaystyle \alpha \geq 4} X mode ≤ E ( X ) {\displaystyle X_{\text{mode}}\leq E(X)}
混合表現 とします 。 の場合、 かつ となる 確率 変数が存在します 。逆に、 の場合、 かつ となる 確率変数が存在します。 ここで、 は 一般 化逆ガウス分布 を 表します 。 X ∼ MHN ( α , β , γ ) {\displaystyle X\sim \operatorname {MHN} (\alpha ,\beta ,\gamma )} γ > 0 {\displaystyle \gamma >0} V {\displaystyle V} V ∣ X ∼ Poisson ( γ X ) {\displaystyle V\mid X\sim \operatorname {Poisson} (\gamma X)} X 2 ∣ V ∼ Gamma ( α + V 2 , β ) {\displaystyle X^{2}\mid V\sim \operatorname {Gamma} \left({\frac {\alpha +V}{2}},\beta \right)} γ < 0 {\displaystyle \gamma <0} U {\displaystyle U} U ∣ X ∼ GIG ( 1 2 , 1 , γ 2 X 2 ) {\displaystyle U\mid X\sim {\text{GIG}}\left({\frac {1}{2}},1,\gamma ^{2}X^{2}\right)} X 2 ∣ U ∼ Gamma ( α 2 , ( β + γ 2 U ) ) {\displaystyle X^{2}\mid U\sim {\text{Gamma}}\left({\frac {\alpha }{2}},\left(\beta +{\frac {\gamma ^{2}}{U}}\right)\right)} GIG {\displaystyle {\text{GIG}}}
参考文献 ^ ab Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (2021年6月22日). 「修正半正規分布：特性と効率的なサンプリング手法」. Communications in Statistics - Theory and Methods . 52 (5): 1591– 1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN 0361-0926. S2CID 237919587. ^ Trangucci, Rob; Chen, Yang; Zelner, Jon (2023). 「非ランダム欠損値を考慮した共変量を用いたCOVID-19発生率における人種／民族差のモデル化」 応用統計年報 . 17 (4). arXiv : 2206.08161 . doi :10.1214/22-AOAS1711. PPR533225。 ^ Wang, Hai-Bin; Wang, Jian (2022年8月23日). 「完全ベイジアン弾性ネットのための正確なサンプラー」. 計算統計 . 38 (4): 1721– 1734. doi :10.1007/s00180-022-01275-8. ISSN 1613-9658. ^ ab Pal, Subhadip; Gaskins, Jeremy (2022年11月2日). 「方向データのベイズ分析のための修正ポリアガンマデータ拡張」. Journal of Statistical Computation and Simulation . 92 (16): 3430– 3451. doi :10.1080/00949655.2022.2067853. ISSN 0094-9655. S2CID 249022546. ^ Trangucci, Robert Neale (2023). 疫学における選択バイアスのためのベイズモデル拡張（論文）. doi :10.7302/8573. hdl :2027.42/178116. ^ Haoran, Xu; Ziyi, Wang (2023年5月18日). 「GAN-CNNに基づく電力変圧器の状態評価と故障診断」. Journal of Electrotechnology, Electrical Engineering and Management . 6 (3): 8– 16. doi : 10.23977/jeeem.2023.060302 . S2CID 259048682. ^ Gao, Fengxin; Wang, Hai-Bin (2022年8月17日). 「緩和変換密度棄却法による修正半正規分布ランダム変量生成」 www.researchsquare.com . doi :10.21203/rs.3.rs-1948653/v1. ^ Копаниця、Юрій (2021年10月5日)。 「ПОВІТРЯНИЙ СТОВП НАПІРНОГО ГІДРОЦИКЛОНУ ІЗ ПНЕВМАТИЧНИМ」 РЕГУЛЯТОРОМ」。 Проблеми водопостачання, водовідведення та гідравліки (ウクライナ語) (36): 4–10 . doi : 10.32347/2524-0021.2021.36.4-10 。 ISSN 2524-0021。 S2CID 242771336。 ^ ライト, E. メイトランド (1935). 「一般化超幾何関数の漸近展開」. ロンドン数学会誌 . s1-10 (4): 286– 293. doi :10.1112/jlms/s1-10.40.286. ISSN 1469-7750. ^ Fox, C. (1928). 「一般化超幾何関数の漸近展開」. ロンドン数学会報 . s2-27 (1): 389– 400. doi :10.1112/plms/s2-27.1.389. ISSN 1460-244X. ^ Mehrez, Khaled; Sitnik, Sergei M. (2019年11月1日). 「Fox–Wright関数の関数不等式」. The Ramanujan Journal . 50 (2): 263– 287. arXiv : 1708.06611 . doi :10.1007/s11139-018-0071-2. ISSN 1572-9303. S2CID 119716471. 
![{\displaystyle {\begin{aligned}F_{_{\text{MHN}}}(x\mid \alpha ,\beta ,\gamma )={}&{\frac {2\beta ^{\alpha /2}}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}\\[4pt]&{}\times \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{2i!}}\beta ^{-(\alpha +i)/2}\gamma \left({\frac {\alpha +i}{2}},\beta x^{2}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bafb7721f4a93f442bf0c80cc888918dbb9346fb)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha +2}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}{\beta \Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}-\left[{\frac {\Psi \left({\frac {\alpha +1}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}{\beta ^{1/2}\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b437002dfad187375133ab4b3468078bb2cf5cdc)
![{\displaystyle \Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)={}_{1}\Psi _{1}\left[{\begin{matrix}({\frac {\alpha }{2}},{\frac {1}{2}})\\(1,0)\end{matrix}};{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951d5a8569f120cd6d8f98bb285e43d50dfed531)
