モダス・トレンス

Rule of logical inference

モダス・トレンス

タイプ	演繹的 議論形式 推論の規則
分野	古典論理 命題計算
声明	${\displaystyle P}$は偽であることを意味します。したがって、も偽でなければなりません。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$
象徴的な声明	${\displaystyle P\rightarrow Q,\neg Q}$ ${\displaystyle \therefore \neg P}$[1]

命題論理において、modus tollens ( / ˈ m oʊ d ə s ˈ t ɒ l ɛ n z / ) ( MT ) は、modus tollendo tollens (ラテン語で「否定によって否定するモード」) ^[2]および帰結の否定^[3]としても知られ、演繹的 議論の形式および推論規則である。modus tollensは、「もしPならばQ 。Qではない。したがって P ではない」という形式を取る混合仮説的三段論法である。これは、文が真であればその逆説も真であるという一般真理の応用である。この形式は、 Pからの推論が Q を意味し、Q の否定がP の否定を意味することが有効な議論であることを示す。

推論規則modus tollensの歴史は古代にまで遡ります。^[4] modus tollensという議論形式を明示的に記述した最初の人物はテオプラストスでした。^[5]

モーダス・トレンスはモーダス・ポネンスと密接に関連しています。類似しているものの無効な議論の形式が2つあります。それは、帰結を肯定する議論と、前提を否定する議論です。対置および対置による証明も参照してください。

説明

モダス・トレンスの議論の形式は、2 つの前提と 1 つの結論を持つ混合仮説三段論法です。

PならばQ。​

Qではありません。

したがって、P ではありません。

最初の前提は、 P がQ を示唆するといった条件付き（「もし～ならば」）の主張です。2番目の前提は、条件付き主張の帰結であるQ が真ではないという主張です。これら2つの前提から、条件付き主張の前提であるPも真ではないと論理的に結論付けることができます。

例えば：

犬は侵入者を感知すると吠えます。

犬は吠えなかった。

したがって、犬は侵入者を検知しませんでした。

前提が両方とも真であると仮定すると（犬は侵入者を検知すると吠えるだろう、そして実際には吠えない）、論理的に侵入者は検知されていないという結論が導かれます。前提が真であれば結論が偽となることはあり得ないため、これは妥当な議論です。（犬が検知しなかった侵入者がいた可能性も考えられますが、だからといって議論が無効になるわけではありません。最初の前提は「犬が侵入者を検知した場合」です。重要なのは犬が侵入者を検知するかどうかであり、侵入者が存在するかどうかではありません。）

例1:

もし私が泥棒なら、金庫を破ることができるでしょう。

金庫を破ることはできません。

したがって、私は泥棒ではありません。

例2:

レックスが鶏なら、彼は鳥です。

レックスは鳥ではありません。

したがって、レックスは鶏ではありません。

関係モーダス・ポネンス

modus tollensの使用はすべて、 modus ponensの使用と、物質的含意である前提への転置の使用に置き換えることができます。例えば、

PならばQ。 （前提 – 物質的含意）

QでなければPでもない。（転置により導出される）

Qではない。（前提）

したがって、Pではない。（モーダスポネンスにより導出される）

同様に、modus ponensのすべての使用は、modus tollensと転置の使用に変換できます。

正式な記法

モダス・トレンス規則は、正式には次のように述べられます。

${\displaystyle {\frac {P\to Q,\neg Q}{\therefore \neg P}}}$

ここで、は「PはQを意味する」という命題を表します。は「QがQではない」（または簡潔に言えば「Qではない」）という命題を表します。したがって、「」と「 」がそれぞれ単独で証明の行に現れる場合、その後の行に「 」を置くことは有効です。 ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg Q}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg Q}$ ${\displaystyle \neg P}$

モダス・トレンス規則は、次の表記法で書くことができます。

${\displaystyle P\to Q,\neg Q\vdash \neg P}$

ここで、は、およびの何らかの論理システムにおけるの構文上の帰結であることを意味するメタ論理記号です。 ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg Q}$

あるいは、機能的なトートロジーや命題論理の定理の記述として：

${\displaystyle ((P\to Q)\land \neg Q)\to \neg P}$

ここで、 およびはある形式体系で表現された命題である。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

または仮定を含む:

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash P\to Q~~~\Gamma \vdash \neg Q}{\Gamma \vdash \neg P}}}$

ただし、このルールは一連の仮定を変更するものではないため、これは厳密には必要ではありません。

集合論などでは、modus tollensを含むより複雑な書き換えがよく見られます。

${\displaystyle P\subseteq Q}$

${\displaystyle x\notin Q}$

${\displaystyle \therefore x\notin P}$

(「P は Q のサブセットです。x は Q に含まれません。したがって、x は P に含まれません。」)

第一階述語論理では次のようになります。

${\displaystyle \forall x:~P(x)\to Q(x)}$

${\displaystyle \neg Q(y)}$

${\displaystyle \therefore ~\neg P(y)}$

(「すべての x について、x が P であれば x は Q です。y は Q ではありません。したがって、y は P ではありません。」)

厳密に言えば、これらはmodus tollensの例ではありませんが、いくつかの追加手順を使用してmodus tollensから派生することができます。

真理値表による正当化

modus tollensの妥当性は、真理値表を通じて明確に実証できます。

p	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

モーダス・トレンスの例においては、前提としてp → qが真でありqが偽であると仮定します。真理値表において、この2つの条件を満たす行は4行目のみです。この行ではpは偽です。したがって、p → qが真でありqが偽であるすべての場合において、pも偽でなければなりません。

正式な証明

選言三段論法を通じて

ステップ	命題	導出
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	与えられた
2	${\displaystyle \neg Q}$	与えられた
3	${\displaystyle \neg P\lor Q}$	物質的影響（1）
4	${\displaystyle \neg P}$	選言三段論法（3,2）

経由不条理への還元

ステップ	命題	導出
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	与えられた
2	${\displaystyle \neg Q}$	与えられた
3	${\displaystyle P}$	予測
4	${\displaystyle Q}$	モーダス・ポネンス（1,3）
5	${\displaystyle Q\land \neg Q}$	接続詞の導入（2,4）
6	${\displaystyle \neg P}$	アブスルドゥム（3,5）

対位法によって

ステップ	命題	導出
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	与えられた
2	${\displaystyle \neg Q}$	与えられた
3	${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$	対置（1）
4	${\displaystyle \neg P}$	モーダス・ポネンス（2,3）

他の数学的枠組みとの対応

確率計算

モーダス・トレンスは、次のように表現されるベイズの定理と組み合わせた全確率の法則のインスタンスを表します。

$${\displaystyle \Pr(P)=\Pr(P\mid Q)\Pr(Q)+\Pr(P\mid \lnot Q)\Pr(\lnot Q)\,,}$$

ここで、条件文と は、次のように表現されるベイズの定理（の拡張形）によって得られます。 ${\displaystyle \Pr(P\mid Q)}$ ${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)}$

$${\displaystyle \Pr(P\mid Q)={\frac {\Pr(Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(Q\mid P)\,a(P)+\Pr(Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}}\;\;\;}$$そして $${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)+\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}}.}$$

上記の式では、は の確率、 はのベース レート（別名、事前確率）を表します。条件付き確率は論理ステートメント を一般化します。つまり、TRUE または FALSE を割り当てることに加えて、ステートメントに任意の確率を割り当てることもできます。 がTRUE であることに等しく、 がFALSE であることに等しいと仮定します。すると、および のとき であることが簡単にわかります。これは、最後の式で となるためです。したがって、最初の式の積項には常にゼロ因子があるため となり、は FALSE であることに等しくなります。したがって、全確率の法則とベイズの定理を組み合わせると、 modus tollensの一般化が表されます。^[6] ${\displaystyle \Pr(Q)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle a(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pr(Q\mid P)}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \Pr(Q)=1}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \Pr(Q)=0}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \Pr(P)=0}$ ${\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}$ ${\displaystyle \Pr(Q)=0}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0}$ ${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)=0}$ ${\displaystyle \Pr(P)=0}$ ${\displaystyle P}$

主観的論理

Modus tollens は、次のように表現される主観論理におけるアブダクション演算子のインスタンスを表します。

$${\displaystyle \omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A}){\widetilde {\circledcirc }}(a_{P},\,\omega _{Q}^{A})\,,}$$

ここで、は についての主観的意見、 はソース によって表現される二項条件付き意見のペアを表します。パラメータ はの基本率（別名、事前確率）を表します。 に関するアブダクションされた周辺意見はで示されます。条件付き意見は論理ステートメント を一般化します。つまり、TRUE または FALSE を割り当てることに加えて、ソースはステートメントに任意の主観的意見を割り当てることができます。が絶対的に真の意見である場合は、ソースが が真であると言っていることと同等であり、が絶対的に偽の意見である場合は、ソースが が偽であると言っていることと同等です。主観的論理のアブダクション演算子は、条件付き意見が絶対的に真で、結果の意見が絶対的に偽である場合に、絶対的に偽のアブダクションされた意見を生成します。したがって、主観的論理のアブダクションは、モダストレンスと、ベイズの定理と組み合わされた全確率の法則の両方の一般化を表しています。^[7] ${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\widetilde {\circledcirc }}}$ ${\displaystyle \omega _{P{\widetilde {\|}}Q}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$

参照

• 不在の証拠 – 関連性の誤謬
• ラテン語のフレーズ
• 作業方法 – 仕事の習慣
• モーダス・ポネンス – 論理的推論の規則
• 共存関係 – 対立する当事者が平和的に共存できるようにする取り決め
• 非論理的推論 – 論理的欠陥による誤った演繹的推論Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 遂行的矛盾 – 論理における概念
• 背理法による証明 – 証明の形式
• 逆説による証明 – 数学的論理の概念Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ストア派論理学 – 徳に焦点を当てた哲学体系Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 排中律

注記

1. マシュー・C・ハリス「先行詞の否定」カーンアカデミー。
2. ストーン、ジョン・R. (1996). 『ラテン語の非識字者のための：死語の亡霊を追い払う』 ロンドン: ラウトレッジ. p. 60. ISBN 978-0-415-91775-9。
3. サンフォード、デイヴィッド・ホーリー（2003年）『もしPならばQ：条件文と推論の基礎』（第2版）ロンドン：ラウトレッジ、39ページ。ISBN 978-0-415-28368-7。[Modus] tollens は常に modus tollendo tollens の略語であり、否定することで否定する気分です。
4. スザンヌ・ボブジエン(2002)。 「古代における手口の発展」、フロネシス47。
5. 「古代論理学：モーダス・ポネンスとモーダス・トレンスの先駆者」スタンフォード哲学百科事典。
6. アウドゥン・ヨサン 2016:p.2
7. アウドゥン・ヨサン 2016:p.92

出典

• Audun Jøsang, 2016, 『主観的論理：不確実性下での推論のための形式主義』 Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1

外部リンク

• Wolfram MathWorldでのModus Tollens

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