モーメント行列

数学において、モーメント行列（モーメントぎょうさん、英: moment matrix） とは、行と列が単項式でインデックス付けされた特殊な対称正方行列である。行列の要素は、インデックス付けされた単項式の積のみによって決まる（ハンケル行列を参照）。

モーメント行列は、多項式フィッティング、多項式最適化（半正定値モーメント行列は平方和である多項式に対応するため）^[1]および計量経済学において重要な役割を果たします。^[2]

回帰分析への応用

重回帰モデルは次のように表すことができます

${\displaystyle y=\beta _{0}+\beta _{1}x_{1}+\beta _{2}x_{2}+\dots \beta _{k}x_{k}+u}$

ここで、は従属変数、は独立変数、は誤差、は推定すべき未知の係数です。観測値が与えられれば、行列表記で表せる線形方程式の連立方程式が得られます。 ^[3] ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1}\dots ,\beta _{k}}$ ${\displaystyle \left\{y_{i},x_{i1},x_{i2},\dots ,x_{ik}\right\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&x_{11}&x_{12}&\dots &x_{1k}\\1&x_{21}&x_{22}&\dots &x_{2k}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n1}&x_{n2}&\dots &x_{nk}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{k}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{n}\end{bmatrix}}}$

または

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+\mathbf {u} }$

ここで、とはそれぞれ次元のベクトル、は次数の計画行列、は次元のベクトルです。ガウス・マルコフ仮定の下では、 の最良の線形不偏推定量は、2つのモーメント行列と を含む線形最小二乗推定量であり、次のように定義されます ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle N\times (k+1)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle (k+1)\times 1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} =\left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} }$

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}n&\sum x_{i1}&\sum x_{i2}&\dots &\sum x_{ik}\\\sum x_{i1}&\sum x_{i1}^{2}&\sum x_{i1}x_{i2}&\dots &\sum x_{i1}x_{ik}\\\sum x_{i2}&\sum x_{i1}x_{i2}&\sum x_{i2}^{2}&\dots &\sum x_{i2}x_{ik}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum x_{ik}&\sum x_{i1}x_{ik}&\sum x_{i2}x_{ik}&\dots &\sum x_{ik}^{2}\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} ={\begin{bmatrix}\sum y_{i}\\\sum x_{i1}y_{i}\\\vdots \\\sum x_{ik}y_{i}\end{bmatrix}}}$

ここでは次元の正方正規行列、 は次元のベクトルです ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} }$ ${\displaystyle (k+1)\times (k+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} }$ ${\displaystyle (k+1)\times 1}$

参照

• 射影行列
• グラミアン行列
• グラフ理論

参考文献

1. ラセール、ジャン＝ベルナール、1953- (2010).モーメント、正の多項式とその応用. ワールド・サイエンティフィック社. ロンドン: インペリアル・カレッジ・プレス. ISBN 978-1-84816-446-8 OCLC  624365972{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
2. ゴールドバーガー、アーサー・S. (1964). 「古典的線形回帰」.計量経済理論. ニューヨーク: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp. 156–212. ISBN 0-471-31101-4。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
3. Huang, David S. (1970). 回帰分析と計量経済学的手法. ニューヨーク: John Wiley & Sons. pp.  52– 65. ISBN 0-471-41754-8。

外部リンク

• 「モーメント行列」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

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