モナド変換器

関数型プログラミングでは、モナドトランスフォーマーは、モナドを引数として受け取り、結果としてモナドを返す型コンストラクタです。

モナド変換子は、状態、例外処理、I/Oなど、モナドによってカプセル化された機能をモジュール的に組み合わせるために使用できます。通常、モナド変換子は既存のモナドを一般化することで作成されます。得られたモナド変換子を恒等モナドに適用すると、元のモナドと等価なモナドが生成されます（必要なボックス化とアンボックス化は無視されます）。

意味

モナドトランスフォーマーは以下から構成されます:

種類tの型コンストラクタ (* -> *) -> * -> *
モナド演算returnおよびbind（または同等の定式化）は、モナド法則を満たすモナドでt mあるすべてのm
追加の演算はlift :: m a -> t m a、以下の法則を満たす: ^[1] (以下の表記は`bind`中置適用を示す):
1. lift . return = return
2. lift (m `bind` k) = (lift m) `bind` (lift . k)

例

オプションモナドトランスフォーマー

任意のモナドが与えられた場合、オプションモナドトランスフォーマー( はオプション型を表します) は次のように定義されます。 $\mathrm {M} \,A$ $\mathrm {M} \left(A^{?}\right)$ $A^{?}$

{\begin{array}{ll}\mathrm {return} :&A\rightarrow \mathrm {M} \left(A^{?}\right)\\&a\mapsto \mathrm {return} (\mathrm {Just} \,a)\\\mathrm {bind} :&\mathrm {M} \left(A^{?}\right)\rightarrow \left(A\rightarrow \mathrm {M} \left(B^{?}\right)\right)\rightarrow \mathrm {M} \left(B^{?}\right)\\&m\mapsto f\mapsto \mathrm {bind} \,m\,\left(a\mapsto {\begin{cases}{\mbox{return Nothing}}&{\mbox{if }}a=\mathrm {Nothing} \\f\,a'&{\mbox{if }}a=\mathrm {Just} \,a'\end{cases}}\right)\\\mathrm {lift} :&\mathrm {M} (A)\rightarrow \mathrm {M} \left(A^{?}\right)\\&m\mapsto \mathrm {bind} \,m\,(a\mapsto \mathrm {return} (\mathrm {Just} \,a))\end{array}}

例外モナド変換子

任意のモナドが与えられた場合、例外モナドトランスフォーマー（ $E$ は例外の型）は次のように定義されます。 $\mathrm {M} \,A$ $\mathrm {M} (A+E)$

{\begin{array}{ll}\mathrm {return} :&A\rightarrow \mathrm {M} (A+E)\\&a\mapsto \mathrm {return} (\mathrm {value} \,a)\\\mathrm {bind} :&\mathrm {M} (A+E)\rightarrow (A\rightarrow \mathrm {M} (B+E))\rightarrow \mathrm {M} (B+E)\\&m\mapsto f\mapsto \mathrm {bind} \,m\,\left(a\mapsto {\begin{cases}{\mbox{return err }}e&{\mbox{if }}a=\mathrm {err} \,e\\f\,a'&{\mbox{if }}a=\mathrm {value} \,a'\end{cases}}\right)\\\mathrm {lift} :&\mathrm {M} \,A\rightarrow \mathrm {M} (A+E)\\&m\mapsto \mathrm {bind} \,m\,(a\mapsto \mathrm {return} (\mathrm {value} \,a))\\\end{array}}

リーダーモナドトランスフォーマー

任意のモナドが与えられた場合、リーダーモナドトランスフォーマー( $E$ は環境型) は次のように定義されます。 $\mathrm {M} \,A$ $E\rightarrow \mathrm {M} \,A$

{\begin{array}{ll}\mathrm {return} :&A\rightarrow E\rightarrow \mathrm {M} \,A\\&a\mapsto e\mapsto \mathrm {return} \,a\\\mathrm {bind} :&(E\rightarrow \mathrm {M} \,A)\rightarrow (A\rightarrow E\rightarrow \mathrm {M} \,B)\rightarrow E\rightarrow \mathrm {M} \,B\\&m\mapsto k\mapsto e\mapsto \mathrm {bind} \,(m\,e)\,(a\mapsto k\,a\,e)\\\mathrm {lift} :&\mathrm {M} \,A\rightarrow E\rightarrow \mathrm {M} \,A\\&a\mapsto e\mapsto a\\\end{array}}

状態モナド変換器

任意のモナドが与えられた場合、状態モナドトランスフォーマー( $S$ は状態型) は次のように定義されます。 $\mathrm {M} \,A$ $S\rightarrow \mathrm {M} (A\times S)$

{\begin{array}{ll}\mathrm {return} :&A\rightarrow S\rightarrow \mathrm {M} (A\times S)\\&a\mapsto s\mapsto \mathrm {return} \,(a,s)\\\mathrm {bind} :&(S\rightarrow \mathrm {M} (A\times S))\rightarrow (A\rightarrow S\rightarrow \mathrm {M} (B\times S))\rightarrow S\rightarrow \mathrm {M} (B\times S)\\&m\mapsto k\mapsto s\mapsto \mathrm {bind} \,(m\,s)\,((a,s')\mapsto k\,a\,s')\\\mathrm {lift} :&\mathrm {M} \,A\rightarrow S\rightarrow \mathrm {M} (A\times S)\\&m\mapsto s\mapsto \mathrm {bind} \,m\,(a\mapsto \mathrm {return} \,(a,s))\end{array}}

ライターモナドトランスフォーマー

任意のモナドが与えられたとき、ライターモナド変換器( $W$ には単位元を持つモノイド演算 $*$ が与えられている) は次のように定義されます。 $\mathrm {M} \,A$ $\mathrm {M} (W\times A)$ $\varepsilon$

{\begin{array}{ll}\mathrm {return} :&A\rightarrow \mathrm {M} (W\times A)\\&a\mapsto \mathrm {return} \,(\varepsilon ,a)\\\mathrm {bind} :&\mathrm {M} (W\times A)\rightarrow (A\rightarrow \mathrm {M} (W\times B))\rightarrow \mathrm {M} (W\times B)\\&m\mapsto f\mapsto \mathrm {bind} \,m\,((w,a)\mapsto \mathrm {bind} \,(f\,a)\,((w',b)\mapsto \mathrm {return} \,(w*w',b)))\\\mathrm {lift} :&\mathrm {M} \,A\rightarrow \mathrm {M} (W\times A)\\&m\mapsto \mathrm {bind} \,m\,(a\mapsto \mathrm {return} \,(\varepsilon ,a))\\\end{array}}

継続モナド変換器

任意のモナドが与えられたとき、継続モナド変換子は任意の型 $R$ を型の関数に写像します。ここで $R$ は継続の結果型です。これは次のように定義されます。 $\mathrm {M} \,A$ $(A\rightarrow \mathrm {M} \,R)\rightarrow \mathrm {M} \,R$

{\begin{array}{ll}\mathrm {return} \colon &A\rightarrow \left(A\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \mathrm {M} \,R\\&a\mapsto k\mapsto k\,a\\\mathrm {bind} \colon &\left(\left(A\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \left(A\rightarrow \left(B\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \left(B\rightarrow \mathrm {M} \,R\right)\rightarrow \mathrm {M} \,R\\&c\mapsto f\mapsto k\mapsto c\,\left(a\mapsto f\,a\,k\right)\\\mathrm {lift} \colon &\mathrm {M} \,A\rightarrow (A\rightarrow \mathrm {M} \,R)\rightarrow \mathrm {M} \,R\\&\mathrm {bind} \end{array}}

モナド変換は通常は可換ではないことに注意してください。たとえば、状態トランスフォーマーをオプションモナドに適用すると、型(失敗して最終状態を生成しない可能性がある計算) が生成されますが、逆の変換では型(最終状態とオプションの戻り値を生成する計算) が生成されます。 $S\rightarrow \left(A\times S\right)^{?}$ $S\rightarrow \left(A^{?}\times S\right)$

参照

関数型プログラミングにおけるモナド

参考文献

^ Liang, Sheng; Hudak, Paul; Jones, Mark (1995). 「モナド変換子とモジュラーインタプリタ」(PDF) .第22回ACM SIGPLAN-SIGACTシンポジウム「プログラミング言語の原理」議事録. ニューヨーク: ACM. pp. 333– 343. doi : 10.1145/199448.199528 .

外部リンク

モナド変換子と関連概念に関する文献を、カテゴリカル理論的な扱いに焦点を当てて簡単にレビューしたブログ記事

[modular-interpreters-1] Liang, Sheng; Hudak, Paul; Jones, Mark (1995). 「モナド変換子とモジュラーインタプリタ」(PDF) .第22回ACM SIGPLAN-SIGACTシンポジウム「プログラミング言語の原理」議事録. ニューヨーク: ACM. pp. 333– 343. doi : 10.1145/199448.199528 .