モノイド関数

Concept in category theory

圏論において、モノイダル関手とは、モノイダルな圏の間の関手であり、モノイダルな構造を保つ。より具体的には、2つのモノイダルな圏の間のモノイダル関手は、圏の間の関手と、2つのコヒーレンス写像（それぞれモノイダルな乗法と単位を保存する自然変換と射）から構成される。数学者は、モノイダルな構造をどの程度厳密に保存したいかに応じて、これらのコヒーレンス写像が追加の条件を満たすことを要求し、これらの条件によってモノイダル関手の若干異なる定義が生じる。

• lax モノイド関数のコヒーレンス マップは追加のプロパティを満たさず、必ずしも逆変換可能ではありません。
• 強モノイド関数のコヒーレンスマップは可逆である。
• 厳密なモノイド関数のコヒーレンス マップは恒等マップです。

ここではこれらの異なる定義を区別していますが、著者はこれらのいずれかを単にモノイド関数と呼ぶこともできます。

意味

とをモノイド圏とする。からへの緩いモノイド関手（モノイド関手とも呼ばれる）は、自然変換を伴う関手から構成される。 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \phi _{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)}$

関数と射の 間 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \phi :I_{\mathcal {D}}\to FI_{\mathcal {C}}}$、

コヒーレンスマップまたは構造射と呼ばれるものは、3つのオブジェクトごとに、および図の ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

、

   そして   

はカテゴリ において可換である。上で、 を用いて表された様々な自然変換は、および上のモノイド構造の一部である。^[1] ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \alpha ,\rho ,\lambda }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

変種

• モノイダル関手の双対はコモノイダル関手である。これは、コヒーレンス写像が逆になっているモノイダル関手である。コモノイダル関手は、オプモノイダル、コラックスモノイダル、またはオプラックスモノイダル関手とも呼ばれる。
• 強いモノイダル関数は、コヒーレンス写像が可逆なモノイダル関数です。 ${\displaystyle \phi _{A,B},\phi }$
• 厳密なモノイダル関数は、一貫性写像が恒等写像であるモノイダル関数です。
• 編み込みモノイド関手は、編み込みモノイドカテゴリ（編み込みは で示される）間のモノイド関手で、内のすべてのオブジェクトA、B のペアに対して次の図が可換になります 。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• 対称モノイド関数は、その定義域と余定義域が対称モノイドカテゴリである編組モノイド関数です。

例

• アーベル群の圏から集合の圏への基礎関手。この場合、写像は(a, b)を に、写像は1に送る。 ${\displaystyle U\colon (\mathbf {Ab} ,\otimes _{\mathbf {Z} },\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Set} ,\times ,\{\ast \})}$ ${\displaystyle \phi _{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)}$ ${\displaystyle a\otimes b}$ ${\displaystyle \phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \ast }$
• が（可換）環である場合、自由関数は強モノイド関数に拡張されます（ が可換である場合も同様です）。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathsf {Set}},\to R{\mathsf {-mod}}}$ ${\displaystyle ({\mathsf {Set}},\sqcup ,\emptyset )\to (R{\mathsf {-mod}},\oplus ,0)}$ ${\displaystyle ({\mathsf {Set}},\times ,\{\ast \})\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes ,R)}$ ${\displaystyle R}$
• が可換環の準同型である場合、制限関数はモノイダルであり、誘導関数は強モノイダルです。 ${\displaystyle R\to S}$ ${\displaystyle (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)}$ ${\displaystyle (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)\to (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)}$
• 対称モノイダル関数の重要な例として、位相量子場理論の数学的モデルが挙げられます。n -1,n次元多様体のコボルディズムの圏を とし、テンソル積が互いに素な和で与えられるものとし、空多様体を単位元とします。n次元の位相量子場理論は対称モノイダル関数です。 ${\displaystyle \mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle }}$ ${\displaystyle F\colon (\mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle },\sqcup ,\emptyset )\rightarrow (\mathbf {kVect} ,\otimes _{k},k).}$
• ホモロジー関数は写像 を介してモノイドである。 ${\displaystyle (Ch(R{\mathsf {-mod}}),\otimes ,R[0])\to (grR{\mathsf {-mod}},\otimes ,R[0])}$ ${\displaystyle H_{\ast }(C_{1})\otimes H_{\ast }(C_{2})\to H_{\ast }(C_{1}\otimes C_{2}),[x_{1}]\otimes [x_{2}]\mapsto [x_{1}\otimes x_{2}]}$

代替概念

とが内部ホム関数を持つ閉モノイド圏（読みやすくするために添え字は省略する） である場合、別の定式化が存在する。 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})}$ ${\displaystyle \Rightarrow _{\mathcal {C}},\Rightarrow _{\mathcal {D}}}$

ψ _AB  : F ( A ⇒ B ) → FA ⇒ FB

関数型プログラミングでよく使われるφ _ABの関係。 ψ _ABとφ _ABの関係は、以下の可換図で表されます。

プロパティ

• が のモノイドオブジェクトである場合、 は のモノイドオブジェクトである。^[2] ${\displaystyle (M,\mu ,\epsilon )}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (FM,F\mu \circ \phi _{M,M},F\epsilon \circ \phi )}$ ${\displaystyle D}$

モノイド関数と随伴関数

モノイダル の左随伴関手があるとする。すると はによって誘導されるコモノイダル構造を持ち、これは によって定義される。 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (G,n):({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})\to ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (F,m)}$ ${\displaystyle (G,n)}$

${\displaystyle m_{A,B}=\varepsilon _{FA\bullet FB}\circ Fn_{FA,FB}\circ F(\eta _{A}\otimes \eta _{B}):F(A\otimes B)\to FA\bullet FB}$

そして

${\displaystyle m=\varepsilon _{I_{\mathcal {D}}}\circ Fn:FI_{\mathcal {C}}\to I_{\mathcal {D}}}$。

上の誘導構造が強い場合、随伴の単位元と余単位元はモノイド自然変換であり、随伴はモノイド随伴であると言われる。逆に、モノイド随伴の左随伴は常に強いモノイド関数である。 ${\displaystyle F}$

同様に、コモノイダル関数の右随伴はモノイダルであり、コモノイダル随伴の右随伴は強モノイダル関数です。

参照

• モノイド的自然変換

インライン引用

1. ペローネ (2024)、360–364 ページ
2. ペローネ (2024)、367–368 ページ

参考文献

• ケリー、G. マックス (1974). 「教義上の付加」.カテゴリーセミナー. 数学講義ノート. 第420巻. シュプリンガー. pp.  257– 280. doi :10.1007/BFb0063105. ISBN 978-3-540-37270-7。
• ペローネ、パオロ (2024). カテゴリー理論入門. World Scientific. doi :10.1142/9789811286018_0005. ISBN 978-981-12-8600-1。

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