マルチ属性ユーティリティ

意思決定理論では、多属性効用関数は、潜在的な選択の結果が確実である場合、または不確実性がある場合の、商品の束に対するエージェントの選好を表すために使用されます。

予選

人は2つ以上の選択肢の中から決断を下さなければなりません。その決断は選択肢の属性に基づいて行われます。

最も単純なケースは、属性が1つしかない場合です（例：お金）。一般的に、誰もが少ないお金よりも多くのお金を好むと想定されているため、この場合の問題は単純です。つまり、より多くのお金が得られる選択肢を選ぶということです。

現実には、属性は2つ以上存在します。例えば、ある人が2つの雇用オプションから選択しなければならないとします。オプションAでは月額12,000ドルと20日間の休暇が与えられますが、オプションBでは月額15,000ドルと10日間の休暇しか与えられません。この場合、その人は(12,000ドル、20ドル)と(15,000ドル、10ドル)のどちらかを選択する必要があります。人によって好みは異なります。特定の条件下では、人の好みは数値関数で表すことができます。序数効用に関する記事では、このような関数のいくつかの特性と、それらを計算する方法について説明しています。

意思決定問題を複雑にする可能性のあるもう一つの考慮事項は、不確実性です。不確実性の原因は少なくとも4つあります。属性の結果、そして意思決定者が以下の点について曖昧であることです。a) 個々の属性効用関数の具体的な形状、b) 集約定数の値、c) 属性効用関数が加法的であるかどうか（これらの用語については後述します）ただし、不確実性は属性レベルにおけるランダム性のみを意味します。この不確実性による複雑さは、属性が1つ（例えばお金）の場合でも存在します。例えば、選択肢Aは2ドルが当たる確率が50%の宝くじで、選択肢Bは確実に1ドルが当たる宝くじだとします。人は宝くじ <2:0.5> と宝くじ <1:1> のどちらかを選ばなければなりません。ここでも、人によって好みは異なります。また、特定の条件下では、好みは数値関数で表すことができます。このような関数は基数効用関数と呼ばれます。フォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの効用定理に関する記事では、それらの計算方法がいくつか説明されています。

最も一般的な状況は、複数の属性と不確実性が同時に存在する場合です。例えば、選択肢Aはリンゴ2個とバナナ2個が50%の確率で当たる宝くじですが、選択肢Bはバナナ2個が確実に当たる宝くじです。この場合、決定は<(2,2):(0.5,0.5)>と<(2,0):(1,0)>の間で行われます。ここでの選好は、複数の変数（属性）を取る基数効用関数で表すことができます。 ^{[1] : 26–27}本稿では、このような関数に焦点を当てます。

目標は、くじの組み合わせに対する個人の選好を表す効用関数を計算することです。つまり、くじAがくじBよりも好まれるのは、関数の期待値がAの場合の方がBの場合よりも高い場合に限られます。 ${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle E_{A}[u(x_{1},...,x_{n})]>E_{B}[u(x_{1},...,x_{n})]}$

多属性基数効用関数の評価

可能なバンドルの数が有限である場合、フォン・ノイマンとモルゲンシュテルン（VNM）によって説明されているように、 uを直接構築することができます。つまり、バンドルを最も好まれないバンドルから最も好まれないバンドルの順に並べ、前者に効用0を、後者に効用1を割り当て、その間の各バンドルに、同等の宝くじの確率に等しい効用を割り当てます。^{[1] ：222–223}

バンドルの数が無限である場合、ランダム性を無視して、確実なバンドルにおける人の効用を表す順序効用関数を評価するという選択肢があります。つまり、バンドルxがバンドルyよりも好まれるのは、 xに対する関数がyに対する関数よりも高い場合のみです。 ${\displaystyle v(x_{1},...,x_{n})}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v(x_{1},...,x_{n})>v(y_{1},...,y_{n})}$

この関数は、実質的には、多属性問題を単一属性問題に変換します。つまり、属性は です。そして、VNMを用いて関数 を構築することができます。^{[1] : 219–220} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

u はvの正の単調変換でなければならないことに注意してください。これは、次式を満たす単調増加関数が存在することを意味します。 ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})=r(v(x_{1},...,x_{n}))}$

このアプローチの問題は、関数rの評価が容易ではないことです。VNMを用いて単一属性基数効用関数を評価する場合、「2ドルを獲得する確率は1ドルに相当するか？」といった問いを立てます。したがって、関数rを評価するには、「2単位の価値を獲得する確率は1単位の価値に相当するか？」といった問いを立てる必要があります。後者の問いは、抽象的な量である「価値」が絡んでいるため、前者の問いよりもはるかに答えるのが困難です。

考えられる解決策としては、各属性ごとにn個の1次元基数効用関数を計算することが挙げられます。例えば、リンゴ（）とバナナ（）という2つの属性があり、どちらも0から99の範囲にあるとします。VNMを用いることで、以下の1次元効用関数を計算できます。 ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

• ${\displaystyle u(x_{1},0)}$- バナナがない場合にリンゴに基本ユーティリティを適用する (ドメインの南の境界)。
• ${\displaystyle u(99,x_{2})}$- リンゴが最大であるときのバナナの基本効用（ドメインの東の境界）。

線形変換を使用して、関数が (99,0) で同じ値を持つようにスケーリングします。

次に、すべてのバンドルに対して、形式または形式の同等のバンドル（同じvを持つバンドル）を見つけ、その効用を同じ数に設定します。^{[1] ：221–222} ${\displaystyle (x_{1}',x_{2}')}$ ${\displaystyle (x_{1},0)}$ ${\displaystyle (99,x_{2})}$

多くの場合、属性間の特定の独立性を利用することで、効用関数の構築が容易になります。以下に、そのような独立性のいくつかについて説明します。

加法的な独立性

最も強い独立性は加法独立性と呼ばれます。2つの属性1と2は、 2つの宝くじ（2つの属性の結合確率分布として定義）間の選好度が、それらの周辺確率分布（属性1の周辺確率分布と属性2の周辺確率分布）のみに依存する場合、加法独立性と呼ばれます。

つまり、たとえば次の 2 つの宝くじは同等です。

• ${\displaystyle L}$:との間の均等確率の抽選。 ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$
• ${\displaystyle M}$:との間で均等確率の抽選を行います。 ${\displaystyle (x_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle (y_{1},x_{2})}$

これら2つの抽選において、属性1の限界確率は で50% 、 で50%です。同様に、属性2の限界確率は で50% 、 で50%です。したがって、あるエージェントが加法独立な効用を持つ場合、この2つの抽選の間で無差別でなければなりません。^{[1] : 229–232} ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle y_{2}}$

効用理論の基本的な結果は、2 つの属性の効用関数が加法的であり、次の形式である場合に限り、2 つの属性は加法的に独立であるというものです。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+u_{2}(x_{2})}$

証拠：

${\displaystyle \longrightarrow }$

属性が加法独立である場合、上で定義した宝くじと は同等です。これは、それらの期待効用が同じであることを意味します。つまり、 です。2を掛けると、次のようになります。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E_{L}[u]=E_{M}[u]}$

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})+u(y_{1},y_{2})=u(x_{1},y_{2})+u(y_{1},x_{2})}$

これは、と の任意の選択に対して成り立ちます。ここで、と は固定されていると仮定します。 を任意に設定します。と と書きます。上記の式は次のようになります。 ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$ ${\displaystyle u(y_{1},y_{2})=0}$ ${\displaystyle u_{1}(x_{1})=u(x_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle u_{2}(x_{2})=u(y_{1},x_{2})}$

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+u_{2}(x_{2})}$

${\displaystyle \longleftarrow }$

関数uが加法関数である場合、期待値の規則により、すべての宝くじに対して次のようになります。 ${\displaystyle L}$

${\displaystyle E_{L}[u(x_{1},x_{2})]=E_{L}[u_{1}(x_{1})]+E_{L}[u_{2}(x_{2})]}$

この式は、 2 つの属性の周辺確率分布のみに依存します。 ${\displaystyle L}$

この結果は任意の数の属性に一般化できる。属性1,..., nにおける宝くじに対する選好がそれらの周辺確率分布のみに依存する場合、n属性効用関数は加法的である。^{[1] : 295}

${\displaystyle u(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}{k_{i}u_{i}(x_{i})}}$

ここで、 および は範囲 に正規化され、 は正規化定数です。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle k_{i}}$

加法効用理論に関する研究の多くは、Peter C. Fishburnによって行われました。

ユーティリティの独立性

やや弱い独立性は、効用独立性です。属性1は属性2に対して効用独立とは、属性2の定数値が与えられた場合に、属性1の宝くじに対する条件付き選好がその定数値に依存しないことを意味します。

これは、たとえば、の値に関係なく、宝くじと宝くじの間の選好は同じであることを意味します。 ${\displaystyle <(x_{1},x_{2}):(y_{1},x_{2})>}$ ${\displaystyle <(x'_{1},x_{2}):(y'_{1},x_{2})>}$ ${\displaystyle x_{2}}$

効用独立性（加法独立性とは対照的に）は対称的ではないことに注意する必要がある。つまり、属性1が属性2に対して効用独立である可能性はあるが、その逆はあり得ない。^{[1] : 224–229}

属性 1 が属性 2 から効用独立である場合、属性 2 のすべての値に対する効用関数は、属性 2 の他のすべての値に対する効用関数の線形変換になります。したがって、次のように記述できます。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=c_{1}(x_{2})+c_{2}(x_{2})\cdot u(x_{1},x_{2}^{0})}$

属性2が定数値である場合。同様に、属性2が属性1と効用独立である場合： ${\displaystyle x_{2}^{0}}$

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=d_{1}(x_{1})+d_{2}(x_{1})\cdot u(x_{1}^{0},x_{2})}$

属性が互いに効用独立である場合、効用関数uは次の多重線形形式をとる：^{[1] ：233–235}

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+u_{2}(x_{2})+k\cdot u_{1}(x_{1})\cdot u_{2}(x_{2})}$

ここで、 は正、負、または 0 になる定数です。 ${\displaystyle k}$

• のとき、関数uは加法的であり、属性は加法に依存しません。 ${\displaystyle k=0}$
• のとき、効用関数は次のように書けるため乗法的です。 ${\displaystyle k\neq 0}$

${\displaystyle [ku(x_{1},x_{2})+1]=[ku_{1}(x_{1})+1]\cdot [ku_{2}(x_{2})+1]}$

ここで、各項は効用関数の線形変換です。 ${\displaystyle k\cdot +1}$

これらの結果は、任意の数の属性に一般化できます。属性 1,..., nが与えられた場合、属性のいずれかのサブセットがその補集合と効用独立である場合、n属性の効用関数は多重線形となり、以下のいずれかの形をとります。

• 添加物、または -
• 乗法：^{[1] ：289–290}

${\displaystyle 1+ku(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}{1+kk_{i}u_{i}(x_{i})}}$

どこ：

• およびは範囲 に正規化されます。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• はの定数です。 ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• ${\displaystyle k}$は、または の定数です（が加法形式である場合の極限に注意）。 ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle k\to 0}$

独立概念の比較

属性の独立性に関連する3つの異なる概念、すなわち加法独立性（AI）、効用独立性（UI）、選好独立性（PI）を比較することは有用である。^{[1] : 344}

AI と UI はどちらも宝くじに関する好みに関係しており、上記で説明されています。PI は確実な結果に関する好みに関係しており、順序効用に関する記事で説明されています。

それらの意味順序は次のとおりです。

AI ⇒ UI ⇒ PI

AI は対称関係 (属性 1 が属性 2 の AI である場合、属性 2 は属性 1 の AI) ですが、UI と PI は対称関係ではありません。

AIは相互UIを意味する。その逆は一般には成り立たない。UI属性の多重線形式においてのみ成り立つ。しかし、相互UIに加えて、上で定義した2つのくじとが等価となるようなものが存在する場合、は0でなければならない。これは選好関係がAIでなければならないことを意味する。^{[1] : 238–239} ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$

UIはPIを意味します。その逆は、一般的には当てはまりません。しかし、以下の場合は当てはまりません。

• 少なくとも 3 つの必須属性があります。
• すべての属性ペア{1, i }はその補集合のπであり、
• 属性1はその補集合のUIであり、

全ての属性は相互にUIである。さらに、その場合、宝くじへの選好を表す基数効用関数と、確実なバンドルへの選好を表す順序効用関数との間には単純な関係が存在する。この関数は、以下のいずれかの形式をとる必要がある：^{[1] : 330–332  [2]} ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

• 添加剤: ${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})=v(x_{1},...,x_{n})}$
• 乗法： ${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})=[exp(R\cdot v(x_{1},...,x_{n}))-1]/[exp(R)-1]}$

どこ。 ${\displaystyle R\neq 0}$

証明: u が値vに関して一定の絶対リスク回避を持っていることを証明すれば十分です。

• PI 仮定は、価値関数が加法的であることを意味します。つまり、 ${\displaystyle n\geq 3}$

${\displaystyle v(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(x_{i})}}$

• 属性1の2つの異なる値を とします。 を宝くじの確実性相当値とします。UI仮定は、他の属性の値のあらゆる組み合わせにおいて、以下の同値性が成り立つことを意味します。 ${\displaystyle x_{1},z_{1}}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle <x_{1}:z_{1}>}$ ${\displaystyle (w_{2},\dots ,w_{n})}$

${\displaystyle (y_{1},w)\sim <(x_{1},w):(z_{1},w)>}$

• 前の 2 つのステートメントは、すべてのwに対して、値空間で次の同値性が成り立つことを意味します。

${\displaystyle \lambda _{1}v_{1}(y_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}\sim <\lambda _{1}v_{1}(x_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}:\lambda _{1}v_{1}(z_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}>}$

• これは、宝くじの両側に任意の量を追加すると（項 を通じて）、宝くじの確実性相当量が同じ量だけ増加することを意味します。 ${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}}$
• 後者の事実は、常にリスクを回避することを意味します。

参照

• 複数属性オークション
• 多目的最適化
• 複数議題の投票
• 意思決定ソフトウェア

参考文献

1. キーニー、ラルフ・L.; ライファ、ハワード (1993). 『多目的意思決定』ISBN 0-521-44185-4。
2. ジョン・W・プラットによるものです。

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