多変量ラプラス分布

Probability distribution

数学的確率論において、多変量ラプラス分布は、ラプラス分布と非対称ラプラス分布を多変数に拡張したものである。対称多変量ラプラス分布変数の周辺分布はラプラス分布である。非対称多変量ラプラス分布変数の周辺分布は非対称ラプラス分布である。^[1]

対称多変量ラプラス分布

多変数ラプラス（対称）
パラメータ	μ ∈ R k —位置 Σ ∈ R k×k —共分散(正定行列)
サポート	x ∈ μ + スパン( Σ ) ⊆ R k
PDF	の場合、およびは第 2 種修正ベッセル関数です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle {\frac {2}{(2\pi )^{k/2}\left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|^{1/2}}}\left({\frac {\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{2}}\right)^{v/2}K_{v}\left({\sqrt {2\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }}\right),}$ ${\displaystyle v=(2-k)/2}$ ${\displaystyle K_{v}}$
平均	μ
モード	μ
分散	Σ
歪度	0
CF	${\displaystyle {\frac {\exp(i{\boldsymbol {\mu }}'\mathbf {t} )}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} }}}$

対称多変量ラプラス分布の典型的な特徴付けは、特性関数を持つ。

${\displaystyle \varphi (t;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {\exp(i{\boldsymbol {\mu }}'\mathbf {t} )}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} }},}$

ここで、は各変数の平均のベクトルであり、は共分散行列である。^[2] ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$

多変量正規分布とは異なり、共分散行列の共分散と相関がゼロであっても、変数は独立ではありません。^[1] 対称多変量ラプラス分布は楕円分布です。^[1]

確率密度関数

の場合、k次元多変量ラプラス分布 の確率密度関数（pdf）は次のようになります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {2}{(2\pi )^{k/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{0.5}}}\left({\frac {\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{2}}\right)^{v/2}K_{v}\left({\sqrt {2\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }}\right),}$

どこ：

${\displaystyle v=(2-k)/2}$は第二種修正ベッセル関数である。^[1] ${\displaystyle K_{v}}$

相関のある二変量の場合、つまりk  = 2の場合、pdfは次のようになります。 ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},x_{2})={\frac {1}{\pi \sigma _{1}\sigma _{2}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}K_{0}\left({\sqrt {\frac {2\left({\frac {x_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {2\rho x_{1}x_{2}}{\sigma _{1}\sigma _{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right)}{1-\rho ^{2}}}}\right),}$

どこ：

${\displaystyle \sigma _{1}}$および はそれぞれおよびの標準偏差であり、 はおよびの相関係数である。^[1] ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

相関のない2変量ラプラスの場合、つまりk  = 2、pdfは次のようになります。 ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=\rho =0}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}=1}$

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},x_{2})={\frac {1}{\pi }}K_{0}\left({\sqrt {2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}}\right).}$^[1]

非対称多変量ラプラス分布

多変数ラプラス（非対称）
パラメータ	μ ∈ R k —位置 Σ ∈ R k×k —共分散(正定行列)
サポート	x ∈ μ + スパン( Σ ) ⊆ R k
PDF	${\displaystyle {\frac {2e^{\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{(2\pi )^{\frac {k}{2}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{0.5}}}{\Big (}{\frac {\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{2+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{\Big )}^{\frac {v}{2}}K_{v}{\Big (}{\sqrt {(2+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }})(\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} )}}{\Big )}}$ ここで、は第2種修正ベッセル関数です。 ${\displaystyle v=(2-k)/2}$ ${\displaystyle K_{v}}$
平均	μ
分散	Σ + μ ' μ
歪度	μ = 0でない限りゼロではない
CF	${\displaystyle {\frac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} -i{\boldsymbol {\mu }}\mathbf {t} }}}$

非対称多変量ラプラス分布の典型的な特徴付けは、特性関数を持つ。

${\displaystyle \varphi (t;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} -i{\boldsymbol {\mu }}\mathbf {t} }}.}$^[1]

対称多変量ラプラス分布と同様に、非対称多変量ラプラス分布の平均は ですが、共分散は になります。^[3] 非対称多変量ラプラス分布は でない限り楕円ではありません。の場合には、分布は の対称多変量ラプラス分布に簡約されます。^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$

k次元非対称多変量ラプラス分布 の確率密度関数(pdf) は次のとおりです。

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {2e^{\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{(2\pi )^{k/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{0.5}}}{\Big (}{\frac {\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{2+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{\Big )}^{v/2}K_{v}{\Big (}{\sqrt {(2+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }})(\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} )}}{\Big )},}$

どこ：

${\displaystyle v=(2-k)/2}$は第二種修正ベッセル関数である。^[1] ${\displaystyle K_{v}}$

非対称ラプラス分布は、 の特殊なケースも含めて、幾何安定分布の一例です。^[3] これは、有限分散共分散を持つ独立かつ同一に分布する確率変数の和に対する極限分布を表します。この場合、和される要素の数自体が、幾何分布に従って分布する独立確率変数です。^[1] このような幾何和は、生物学、経済学、保険学などの分野で実用化されることがあります。 [ ^{1]分布は、より広い状況で、正規分布よりも裾が重いが}モーメント が有限である多変量データをモデル化するために適用できる場合もあります。^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$

指数分布とラプラス分布の関係は、二変量非対称ラプラス変数（ の場合も含む）をシミュレートする簡単な方法を可能にする。 と共分散行列 を持つ 分布から二変量正規確率変数ベクトルをシミュレートする。これとは独立に、Exp(1)分布から指数確率変数をシミュレートする。 は平均と共分散行列 を持つ（非対称）二変量ラプラス分布となる。^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} ={\sqrt {W}}\mathbf {Y} +W{\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$

参考文献

1. Kotz. Samuel; Kozubowski, Tomasz J.; Podgorski, Krzysztof (2001). The Laplace Distribution and Generalizations . Birkhauser. pp.  229– 245. ISBN 0817641661。
2. Fragiadakis, Konstantinos & Meintanis, Simos G. (2011年3月). 「多変量ラプラス分布の適合度検定」.数学およびコンピュータモデリング. 53 ( 5–6 ): 769–779 . doi : 10.1016/j.mcm.2010.10.014 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Kozubowski, Tomasz J.; Podgorski, Krzysztof; Rychlik, Igor (2010). 「多変量一般化ラプラス分布と関連する確率場」. Journal of Multivariate Analysis . 113.ヨーテボリ大学: 59–72 . doi : 10.1016/j.jmva.2012.02.010 . S2CID  206252976.

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