Concept in probability theory
多 変量安定分布は、単変量 安定分布 の多変量一般化である多変量 確率分布 です 。多変量安定分布は、 安定分布の 周辺分布間の線形関係を定義します。 [ 説明が必要 ]単変量の場合と同様に、分布はその 特性関数 によって定義されます 。
多変量安定分布は、多変量正規分布 の拡張とも考えられます 。 多変量安定分布は、0 < α ≤ 2の範囲で定義される パラメータ αを持ち、 α = 2 の場合は 多変量正規分布と等しくなります。多変量安定分布は、非対称分布を許容する歪パラメータも持ちますが、 多変量正規分布は 対称です。
意味 を におけるユークリッド単位球面 、 すなわちとする 。 ランダムベクトル は、 の結合特性関数が [1] であるとき、 多変量安定分布（ と表記）を持つ。 S {\displaystyle \mathbb {S} } R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} S = { u ∈ R d : | u | = 1 } {\displaystyle \mathbb {S} =\{u\in \mathbb {R} ^{d}\colon |u|=1\}} X {\displaystyle X} X ∼ S ( α , Λ , δ ) {\displaystyle X\sim S(\alpha ,\Lambda ,\delta )} X {\displaystyle X}
E exp ( i u T X ) = exp { − ∫ S { | u T s | α + i ν ( u T s , α ) } Λ ( d s ) + i u T δ } {\displaystyle \operatorname {E} \exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\int \limits _{\mathbb {S} }\left\{|u^{T}s|^{\alpha }+i\nu (u^{T}s,\alpha )\right\}\,\Lambda (ds)+iu^{T}\delta \right\}} 、 ここで0 < α < 2であり、 y ∈ R {\displaystyle y\in \mathbb {R} }
ν ( y , α ) = { − sign ( y ) tan ( π α / 2 ) | y | α α ≠ 1 , ( 2 / π ) y ln | y | α = 1. {\displaystyle \nu (y,\alpha )={\begin{cases}-\operatorname {sign} (y)\tan(\pi \alpha /2)|y|^{\alpha }&\alpha \neq 1,\\(2/\pi )y\ln |y|&\alpha =1.\end{cases}}} これは本質的にはフェルドハイム[2] の結果であり、 任意の安定なランダムベクトルはスペクトル測度 （上の有限測度 ）とシフトベクトルによって特徴付けられるというものである 。 Λ {\displaystyle \Lambda } S {\displaystyle \mathbb {S} } δ ∈ R d {\displaystyle \delta \in \mathbb {R} ^{d}}
投影を用いたパラメータ化 安定なランダムベクトルを記述する別の方法は、射影を用いることです。任意のベクトルに対して、 射影は 歪度 、スケール 、およびシフトを伴い、 一変量 -安定です。X が 任意の に対して で安定である
場合、 という表記が 使用されます 。これは射影パラメータ化と呼ばれます。 u {\displaystyle u} u T X {\displaystyle u^{T}X} α {\displaystyle \alpha } β ( u ) {\displaystyle \beta (u)} γ ( u ) {\displaystyle \gamma (u)} δ ( u ) {\displaystyle \delta (u)} X ∼ S ( α , β , γ , δ ) {\displaystyle X\sim S(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )} u T X ∼ s ( α , β ( u ) , γ ( u ) , δ ( u ) ) {\displaystyle u^{T}X\sim s(\alpha ,\beta (u),\gamma (u),\delta (u))} u ∈ R d {\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{d}}
スペクトル測定は次のように投影パラメータ関数を決定します。
γ ( u ) = ( ∫ S | u T s | α Λ ( d s ) ) 1 / α {\displaystyle \gamma (u)={\Bigl (}\int _{\mathbb {S} }|u^{T}s|^{\alpha }\,\Lambda (ds){\Bigr )}^{1/\alpha }} β ( u ) = γ ( u ) − α ∫ S | u T s | α sign ( u T s ) Λ ( d s ) {\displaystyle \beta (u)=\gamma (u)^{-\alpha }\int _{\mathbb {S} }|u^{T}s|^{\alpha }\operatorname {sign} (u^{T}s)\,\Lambda (ds)} δ ( u ) = { u T δ α ≠ 1 u T δ − ∫ S π 2 u T s ln | u T s | Λ ( d s ) α = 1 {\displaystyle \delta (u)={\begin{cases}u^{T}\delta &\alpha \neq 1\\u^{T}\delta -\int _{\mathbb {S} }{\frac {\pi }{2}}u^{T}s\ln |u^{T}s|\,\Lambda (ds)&\alpha =1\end{cases}}}
特殊なケース 多変数 特性関数が より単純な形をとる特殊なケースがあります。安定周辺分布の特性関数を次のように定義します。
ω ( y | α , β ) = { | y | α [ 1 − i β ( tan π α 2 ) sign ( y ) ] α ≠ 1 | y | [ 1 + i β 2 π sign ( y ) ln | y | ] α = 1 {\displaystyle \omega (y|\alpha ,\beta )={\begin{cases}|y|^{\alpha }\left[1-i\beta (\tan {\frac {\pi \alpha }{2}})\operatorname {sign} (y)\right]&\alpha \neq 1\\|y|\left[1+i\beta {\tfrac {2}{\pi }}\operatorname {sign} (y)\ln |y|\right]&\alpha =1\end{cases}}}
等方性多変量安定分布 ここで特性関数は である 。スペクトル測度は球面上の一様分布のスカラー倍であり、放射状／等方性対称性をもたらす。 [3] ガウス分布の場合 、これは独立成分に対応するが、 の場合はそうではない 。等方性は楕円性の特殊なケースである（次の段落を参照）。 を 単位行列の倍数とすればよい。 E exp ( i u T X ) = exp { − γ 0 α | u | α + i u T δ ) } {\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-\gamma _{0}^{\alpha }|u|^{\alpha }+iu^{T}\delta )\}} α = 2 {\displaystyle \alpha =2} α < 2 {\displaystyle \alpha <2} Σ {\displaystyle \Sigma }
楕円形の多変量安定分布 楕円曲線を描く 多 変量安定分布は、多変量安定分布の特殊な対称ケースです。X が α 安定かつ楕円曲線を描くとは、あるシフトベクトル（平均値が存在する場合は平均値に等しい）とある半正定値行列（相関行列に類似しているが、相関の通常の定義は意味をなさない）に対する結合 特性
関数 を持つ場合と同値です 。α = 2 のときに得られる 多 変量正規分布 の特性関数 :との関係に注意してください。 E exp ( i u T X ) = exp { − ( u T Σ u ) α / 2 + i u T δ ) } {\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-(u^{T}\Sigma u)^{\alpha /2}+iu^{T}\delta )\}} δ ∈ R d {\displaystyle \delta \in \mathbb {R} ^{d}} Σ {\displaystyle \Sigma } E exp ( i u T X ) = exp { − ( u T Σ u ) + i u T δ ) } {\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-(u^{T}\Sigma u)+iu^{T}\delta )\}}
独立コンポーネント 周辺分布が独立であることは 、特性関数が X j ∼ S ( α , β j , γ j , δ j ) {\displaystyle X_{j}\sim S(\alpha ,\beta _{j},\gamma _{j},\delta _{j})}
E exp ( i u T X ) = exp { − ∑ j = 1 m ω ( u j | α , β j ) γ j α + i u T δ } {\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\sum _{j=1}^{m}\omega (u_{j}|\alpha ,\beta _{j})\gamma _{j}^{\alpha }+iu^{T}\delta \right\}} 。 α = 2 のとき、 これは再び多変数正規分布に簡約されることに注意してください。α < 2 のとき、iid の場合と等方性の場合が一致しないことに注意してください。 独立 成分は離散スペクトル測定の特殊なケースであり (次の段落を参照)、スペクトル測定は標準の単位ベクトルによってサポートされます。
α = 1 の多変量（二変量）独立安定分布を示すヒートマップ α = 2 の多変量（二変量）独立安定分布を示すヒートマップ
離散 スペクトル測度が離散的であり 、質量が 、 である場合 、特性関数は λ j {\displaystyle \lambda _{j}} s j ∈ S {\displaystyle s_{j}\in \mathbb {S} } j = 1 , … , m {\displaystyle j=1,\ldots ,m}
E exp ( i u T X ) = exp { − ∑ j = 1 m ω ( u T s j | α , 1 ) λ j α + i u T δ } {\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\sum _{j=1}^{m}\omega (u^{T}s_{j}|\alpha ,1)\lambda _{j}^{\alpha }+iu^{T}\delta \right\}} 。
線形特性 がd 次元安定 である 場合 、 Aは m × d 行列であり
、 AX + b はスケール関数 、歪度関数 、位置関数を持つ m 次元安定 です 。 X ∼ S ( α , β ( ⋅ ) , γ ( ⋅ ) , δ ( ⋅ ) ) {\displaystyle X\sim S(\alpha ,\beta (\cdot ),\gamma (\cdot ),\delta (\cdot ))} α {\displaystyle \alpha } b ∈ R m , {\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{m},} α {\displaystyle \alpha } γ ∘ A T {\displaystyle \gamma \circ A^{T}} β ∘ A T {\displaystyle \beta \circ A^{T}} δ ∘ A T + b T {\displaystyle \delta \circ A^{T}+b^{T}}
独立成分モデルにおける推論 ビクソンとゲストリンは、独立成分モデルを含む線形モデル（または同等の 因子分析 モデル）において、閉形式で推論を計算する方法を示した。 [4]
より具体的には、 安定分布 から抽出された iid 観測されない一変量 の族を とします。 サイズ の 既知の線形関係行列 A が与えられた場合、観測値は 隠れ因子 の畳み込みとして分布すると仮定されます。 したがって、 となります。推論タスクは、 線形関係行列 A と観測値が与えられた場合に、 最も可能性の高い を計算することです。このタスクは、閉じた形式で O( n 3 )で計算できます 。 X i ∼ S ( α , β x i , γ x i , δ x i ) {\displaystyle X_{i}\sim S(\alpha ,\beta _{x_{i}},\gamma _{x_{i}},\delta _{x_{i}})} ( i = 1 , … , n ) {\displaystyle (i=1,\ldots ,n)} n × n {\displaystyle n\times n} Y i = ∑ i = 1 n A i j X j {\displaystyle Y_{i}=\sum _{i=1}^{n}A_{ij}X_{j}} X i {\displaystyle X_{i}} Y i = S ( α , β y i , γ y i , δ y i ) {\displaystyle Y_{i}=S(\alpha ,\beta _{y_{i}},\gamma _{y_{i}},\delta _{y_{i}})} X i {\displaystyle X_{i}} Y i {\displaystyle Y_{i}}
この構造の応用例としては、 安定した非ガウスノイズによる マルチユーザー検出が挙げられます。
参照
リソース Mark Veillette の安定配布 matlab パッケージ http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/37514 このページのグラフは、Danny Bickson の線形安定モデル推論 Matlab パッケージを使用して作成されました: https://www.cs.cmu.edu/~bickson/stable
注記 ^ J. Nolan, 多変量安定密度と分布関数：一般および楕円の場合、ブンデスバンクカンファレンス、エルトヴィル、ドイツ、2005年11月11日。http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.htmlも参照。 ^ フェルドハイム、E. (1937)。確率の安定性の練習。博士論文、パリ科学学部、パリ、フランス。 ^ STABLE 5.1 Matlab バージョンのユーザーマニュアル、Robust Analysis Inc.、http://www.RobustAnalysis.com ^ D. Bickson、C. Guestrin. 多変量ヘビーテール線形モデルにおける推論. Neural Information Processing Systems (NIPS) 2010, Vancouver, Canada, 2010年12月. https://www.cs.cmu.edu/~bickson/stable/
離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle \alpha \in (0,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98dade01a06507996c8330ec68b7c0f7bc305a05)
![{\displaystyle \omega (y|\alpha ,\beta )={\begin{cases}|y|^{\alpha }\left[1-i\beta (\tan {\frac {\pi \alpha }{2}})\operatorname {sign} (y)\right]&\alpha \neq 1\\|y|\left[1+i\beta {\tfrac {2}{\pi }}\operatorname {sign} (y)\ln |y|\right]&\alpha =1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29464e072623dfd317b165eb34aec7c3590a4b2)
