音楽の同型性

Isomorphism between the tangent and cotangent bundles of a manifold

数学、特に微分幾何学において、音楽同型（または正準同型）とは、リーマン多様体または擬リーマン多様体の接線束と余接束との間の、その計量テンソルによって誘導される同型である。シンプレクティック多様体にも同様の同型が存在する。これらの同型は、内積空間とその双対空間との間の正準同型の大域的バージョンである。音楽的な（musical）という用語は、音楽記譜記号（フラット）と（シャープ）の使用を指す。^{[1] [2]} ${\displaystyle \mathrm {T} M}$ ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$ ${\displaystyle \flat }$ ${\displaystyle \sharp }$

リッチ計算と数理物理学の記法では、この考え方は添え字の上げ下げとして表現されます。添え字の上げ下げは、テンソル式における添え字操作の一種です。

ポアソン多様体などの特定の特殊な応用では、関係が特異点において同型でなくなる場合があり、そのため、このような場合には、 は技術的には準同型のみになります。

モチベーション

線型代数では、有限次元ベクトル空間はその双対空間（ベクトル空間をその基底体に写像する線型関数の空間）と同型だが、正準同型ではない。つまり、ベクトル空間の基底が固定されていれば、ベクトルと線型関数の間を自然に行き来できる。つまり、ベクトルは基底では列ベクトルで表され、線型関数は基底では行ベクトルで表され、を転置することで行き来できる。しかし、基底が固定されていないと、ベクトルと線型関数の間を行き来することはできない。これが、正準同型が存在しないという意味である。

一方、非退化双線型形式を持つ有限次元ベクトル空間は、その双対に正準同型である。この正準同型は次のように与えられる 。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle V\to V^{*}}$

${\displaystyle v\mapsto \langle v,\cdot \rangle }$。

の非退化性は、まさに上記の写像が同型であることを意味します。例として、と が内積 であるときの が挙げられます。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

基底 において、上記の標準同型は以下のように表される。を非退化双線形形式の成分とし、を の逆行列の成分とする。をの双対基底とする。ベクトルは、アインシュタインの和記法を用いてと基底に表される。すなわち、 は基底に成分を持つ。 に標準同型を適用すると、双対の元が得られ、これは共ベクトルと呼ばれる。共ベクトルは、と縮約することで得られる双対基底に成分を持つ。 ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle g_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle }$ ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle e^{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v=v^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v^{i}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle v_{i}=g_{ij}v^{j}.}$

これが指数を下げるという意味です。逆に、共ベクトルを逆ベクトルと縮約すると、次の成分を持つベクトルが得られます。 ${\displaystyle \alpha =\alpha _{i}e^{i}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \alpha ^{i}=g^{ij}\alpha _{j}.}$

基礎において。このプロセスは指数の上昇と呼ばれます。 ${\displaystyle e_{i}}$

同じインデックスを上げて次に下げる (またはその逆) ことは逆の操作であり、これは とが逆であることに反映されています。 ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle g^{ij}}$

${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=g_{kj}g^{ji}={\delta ^{i}}_{k}={\delta _{k}}^{i}}$

ここで、 はクロネッカーのデルタまたは単位行列です。 ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

音楽同型は、（擬）リーマン多様体 の接束と余接束に対する正準同型とその逆の大域的版である。これらは、任意の点pにおいて、内積 を与えられたMのpにおける接空間に正準同型を適用したベクトル束の正準同型である。 ${\displaystyle v\mapsto \langle v,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle g_{p}}$

すべての滑らかな多様体は（非標準的に）リーマン計量を付与できるため、音楽の同型性は、滑らかな多様体上のベクトル束がその双対に（非標準的に）同型であることを示しています。

議論

( M , g )を（擬）リーマン多様体とする。各点 p において、写像g p_は接空間T _p M上の非退化双線型形式となる。vがT _p Mのベクトルである場合、その平坦部は共ベクトルである。

${\displaystyle v^{\flat }=g_{p}(v,\cdot )}$

Tで^∗
_pM。これは点pを保存する滑らかな写像なので、滑らかなベクトル束 の射を定義する。計量の非退化により、各点において逆写像が存在し ${\displaystyle \flat :\mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M}$ ${\displaystyle \flat }$ ${\displaystyle \sharp }$

${\displaystyle g_{p}(\alpha ^{\sharp },v)=\alpha (v)}$

Tのαについて^∗
_pMとv をT _p Mに代入する。このベクトルはαのシャープ写像と呼ばれる。シャープ写像は滑らかなバンドル写像である。 ${\displaystyle \alpha ^{\sharp }}$ ${\displaystyle \sharp :\mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M}$

平坦ベクトル束と鋭角ベクトル束は滑らかなベクトル束の相互逆同型である。したがって、Mの各pに対して、 T _p MとTの間には相互逆ベクトル空間同型が存在する。 ^∗
_pM .

平坦写像と鋭角写像は、各点に適用することでベクトル場と共ベクトル場に適用できる。したがって、 Xがベクトル場、ωが共ベクトル場の場合、

${\displaystyle X^{\flat }=g(X,\cdot )}$

そして

${\displaystyle g(\omega ^{\sharp },X)=\omega (X)}$。

動くフレームで

{ e _i }が接線束T Mの移動接線フレーム（滑らかなフレームも参照）であり、その双対フレーム（双対基底も参照）として移動余弦フレーム（余線束の移動接線フレーム。余弦フレームも参照）{ e ⁱ }があるとする。すると、 2共変テンソル体である擬リーマン計量は、この余弦フレームにおいて、アインシュタインの総和記法を用いて局所的にg = g _ij e ⁱ ⊗ e ^jと表記できる。 ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$

ベクトル場X = X ⁱ e _iが与えられ、g _ij X ⁱ = X _jと表記されると、その平坦部は

${\displaystyle X^{\flat }=g_{ij}X^{i}\mathbf {e} ^{j}=X_{j}\mathbf {e} ^{j}}$。

これはインデックスを下げると呼ばれます。これは、Xのコンポーネントが上位インデックスX ⁱで記述されるのに対し、 のコンポーネントが下位インデックスX _jで記述されるためです。 ${\displaystyle X^{\flat }}$

同様に、共ベクトル場ω = ω _i e ⁱが与えられ、 g ^ij ω _i = ω ^jと表記すると、そのシャープは

${\displaystyle \omega ^{\sharp }=g^{ij}\omega _{i}\mathbf {e} _{j}=\omega ^{j}\mathbf {e} _{j}}$、

ここで、g ^ijは逆計量テンソルの成分（ g _ijの逆行列の要素によって与えられる）である。共ベクトル体のシャープを取ることを指数乗という。

テンソル積への拡張

音楽的同型性は、各r、s、kに対して、バンドル間の同型性に拡張されることもできる。

${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{s}{\rm {T}}M\otimes \bigotimes _{j=1}^{r}{\rm {T}}^{*}M}$

テンソルとテンソルの束。ここでkはr - k ≥ 0かつs + k ≥ 0である限り正でも負でもよい。 ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle (r-k,s+k)}$

テンソルのインデックスを下げるとテンソルになり、インデックスを上げると になります。どちらのインデックスを上げるか下げるかを指定する必要があります。 ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle (r-1,s+1)}$ ${\displaystyle (r+1,s-1)}$

例えば、(0, 2)テンソルX = X _ij e ⁱ ⊗ e ^jを考えます。2番目の添え字を乗じると、(1, 1)テンソルが 得られます。

${\displaystyle X^{\sharp }=g^{jk}X_{ij}\,{\rm {e}}^{i}\otimes {\rm {e}}_{k}.}$

言い換えれば、の成分は次のように与えられる。 ${\displaystyle X_{i}^{k}}$ ${\displaystyle X^{\sharp }}$

${\displaystyle X_{i}^{k}=g^{jk}X_{ij}.}$

他の位数のテンソルにも同様の式が適用できる。例えば、テンソルXの場合、すべての添え字は次のように乗じられる。^[3] ${\displaystyle (0,n)}$

${\displaystyle X^{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}=g^{j_{1}i_{1}}g^{j_{2}i_{2}}\cdots g^{j_{n}i_{n}}X_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}.}$

テンソルXの場合、すべてのインデックスは次のように下げられます。 ${\displaystyle (n,0)}$

${\displaystyle X_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}=g_{j_{1}i_{1}}g_{j_{2}i_{2}}\cdots g_{j_{n}i_{n}}X^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}.}$

位数の混合テンソルの場合、すべての下位のインデックスは上がり、すべての上位のインデックスは下がる。 ${\displaystyle (n,m)}$

${\displaystyle {X_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}}^{q_{1}q_{2}\cdots q_{m}}=g_{p_{1}i_{1}}g_{p_{2}i_{2}}\cdots g_{p_{n}i_{n}}g^{q_{1}j_{1}}g^{q_{2}j_{2}}\cdots g^{q_{m}j_{m}}{X^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{m}}.}$

適切に定式化された式は、アインシュタインの加法記法の規則に制約されます。つまり、任意の添え字は最大2回しか出現できず、さらに、添え字を上げたものは添え字を下げたものと縮約しなければなりません。これらの規則を用いると、 のような式は適切に定式化されているのに対し、 のような式は適切に定式化されていないことがすぐにわかります。 ${\displaystyle g_{ij}v^{i}u^{j}}$ ${\displaystyle g_{ij}v_{i}u_{j}}$

拡張け-ベクトルとけ-フォーム

外積代数の文脈では、音楽演算子の拡張は⋀ Vとその双対⋀ V ^*上に定義され、これも相互に逆である: ^[4]

${\displaystyle \flat :\bigwedge _{i=1}^{k}V\to \bigwedge _{i=1}^{k}V^{*},}$

${\displaystyle \sharp :\bigwedge _{i=1}^{k}V^{*}\to \bigwedge _{i=1}^{k}V,}$

定義

${\displaystyle (X\wedge \ldots \wedge Z)^{\flat }=X^{\flat }\wedge \ldots \wedge Z^{\flat },}$

${\displaystyle (\alpha \wedge \ldots \wedge \gamma )^{\sharp }=\alpha ^{\sharp }\wedge \ldots \wedge \gamma ^{\sharp }.}$

この拡張では、♭ はkベクトルをk 共ベクトルにマッピングし、♯ はk共ベクトルをkベクトルにマッピングしますが、完全に反対称なテンソルのすべてのインデックスは同時に増加または減少するため、インデックスを指定する必要はありません。 $${\displaystyle Y^{\sharp }=(Y_{i_{1}\dots i_{j}}\mathbf {e} ^{i_{1}}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} ^{i_{j}})^{\sharp }=g^{i_{1}r_{1}}\dots g^{i_{j}r_{s}}\,Y_{i_{1}\dots i_{k}}\,\mathbf {e} _{r_{1}}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} _{r_{s}}.}$$

これは、線型代数の文脈におけるkベクトルだけでなく、 （擬似）リーマン多様体の文脈におけるk形式にも適用されます。

${\displaystyle \flat :\bigwedge _{i=1}^{k}{\rm {T}}M\to \bigwedge _{i=1}^{k}{\rm {T}}^{*}M,}$

${\displaystyle \sharp :\bigwedge _{i=1}^{k}{\rm {T}}^{*}M\to \bigwedge _{i=1}^{k}{\rm {T}}M,}$

バンドルメトリクスを持つベクトルバンドル

より一般的には、バンドル メトリックが備わったベクトル バンドルとその双対の間には音楽同型性が常に存在します。

テンソルの痕跡

(0, 2)テンソルX = X _ij e ⁱ ⊗ e ^jが与えられ、計量テンソルgを通るXのトレースを次のように定義する。 $${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}(X):=\operatorname {tr} (X^{\sharp })=\operatorname {tr} (g^{jk}X_{ij}\,{\bf {e}}^{i}\otimes {\bf {e}}_{k})=g^{ij}X_{ij}.}$$

計量テンソルは対称的であるため、トレースの定義は指数の選択に依存しないことに注意してください。

テンソルのトレースも同様の方法でとることができます。ただし、トレースする2つの異なるインデックスを指定する必要があります。このプロセスは、2つのインデックスの縮約とも呼ばれます。例えば、Xがr > 1のテンソルである場合、インデックスとを縮約して、次の成分を持つテンソルを得ることができます。 ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle i_{2}}$ ${\displaystyle (r-2,s)}$

${\displaystyle X_{j_{1}j_{2}\cdots j_{s}}^{i_{3}i_{4}\cdots i_{r}}=g_{i_{1}i_{2}}X_{j_{1}j_{2}\cdots j_{s}}^{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}.}$

計算例

ミンコフスキー時空において

共変4位は次のように与えられる。

${\displaystyle X_{\mu }=(-ct,x,y,z)}$

コンポーネント付き:

${\displaystyle X_{0}=-ct,\quad X_{1}=x,\quad X_{2}=y,\quad X_{3}=z}$

（ここでx , y , zは通常の直交座標）であり、計量シグネチャ（− + + + ）を持つミンコフスキー計量テンソルは次のように定義される。

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

コンポーネント内:

${\displaystyle \eta _{00}=-1,\quad \eta _{i0}=\eta _{0i}=0,\quad \eta _{ij}=\delta _{ij}\,(i,j\neq 0).}$

指数を上げるには、テンソルを掛けて縮約します。

${\displaystyle X^{\lambda }=\eta ^{\lambda \mu }X_{\mu }=\eta ^{\lambda 0}X_{0}+\eta ^{\lambda i}X_{i}}$

λ = 0の場合：

${\displaystyle X^{0}=\eta ^{00}X_{0}+\eta ^{0i}X_{i}=-X_{0}}$

λ = j = 1, 2, 3の場合：

${\displaystyle X^{j}=\eta ^{j0}X_{0}+\eta ^{ji}X_{i}=\delta ^{ji}X_{i}=X_{j}\,.}$

したがって、インデックスを上げた反変4 位置は次のようになります。

${\displaystyle X^{\mu }=(ct,x,y,z)\,.}$

この演算は行列の乗算と同等である

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$

2 つのベクトル および が与えられた場合、それらの (擬似) 内積を 2 つの方法で記述できます。 ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle Y^{\mu }}$

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }X^{\mu }Y^{\nu }.}$

インデックスを下げると、この式は次のように書ける。

${\displaystyle X_{\mu }Y^{\mu }.}$

行列表記では、最初の式は次のように書ける。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}X^{0}&X^{1}&X^{2}&X^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y^{0}\\Y^{1}\\Y^{2}\\Y^{3}\end{pmatrix}}}$

2番目は、の指数を下げた後、 ${\displaystyle X^{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-X^{0}&X^{1}&X^{2}&X^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y^{0}\\Y^{1}\\Y^{2}\\Y^{3}\end{pmatrix}}.}$

電磁気学では

(0,2)テンソルの場合、^[3]逆計量テンソルを2回収縮し、異なるインデックスで収縮すると、各インデックスが上昇します。

${\displaystyle A^{\mu \nu }=g^{\mu \rho }g^{\nu \sigma }A_{\rho \sigma }.}$

同様に、計量テンソルを 2 回収縮し、異なるインデックスで収縮すると、各インデックスが低下します。

${\displaystyle A_{\mu \nu }=g_{\mu \rho }g_{\nu \sigma }A^{\rho \sigma }}$

これを電磁気学の理論に当てはめてみましょう。

(+ − − −)シグネチャにおける反変 電磁テンソルは[ ^5]で与えられる。

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

コンポーネントでは、

${\displaystyle F^{0i}=-F^{i0}=-{\frac {E^{i}}{c}},\quad F^{ij}=-\varepsilon ^{ijk}B_{k}}$

共変テンソルFαβ_を得るには、逆計量テンソルと縮約します。

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=\eta _{\alpha \gamma }\eta _{\beta \delta }F^{\gamma \delta }\\&=\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta 0}F^{00}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}F^{i0}+\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta i}F^{0i}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}\end{aligned}}}$

そして、F ⁰⁰ = 0かつF ^{0 i} = − F ^{i 0}であるので、これは次のように帰着する。

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\left(\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}-\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta i}\right)F^{i0}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}}$

ここでα = 0、β = k = 1, 2, 3とします。

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{0k}&=\left(\eta _{0i}\eta _{k0}-\eta _{00}\eta _{ki}\right)F^{i0}+\eta _{0i}\eta _{kj}F^{ij}\\&={\bigl (}0-(-\delta _{ki}){\bigr )}F^{i0}+0\\&=F^{k0}=-F^{0k}\\\end{aligned}}}$

反対称性により、α = k = 1, 2, 3、β = 0の場合：

${\displaystyle F_{k0}=-F^{k0}}$

最後に、α = k = 1, 2, 3、β = l = 1, 2, 3となります。

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{kl}&=\left(\eta _{ki}\eta _{l0}-\eta _{k0}\eta _{li}\right)F^{i0}+\eta _{ki}\eta _{lj}F^{ij}\\&=0+\delta _{ki}\delta _{lj}F^{ij}\\&=F^{kl}\\\end{aligned}}}$

（共変の）下位インデックス付きテンソルは次のようになります。

${\displaystyle F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{z}}{c}}\\-{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

この演算は行列の乗算と同等である

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{z}}{c}}\\-{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

参照

• 双対性（数学）
• 双対空間 § 双線型積と双対空間
• アインシュタイン記法
• ♭と♯の記号について、フラット（音楽）とシャープ（音楽）
• ホッジスター演算子
• 計量テンソル
• ベクトル束

引用

1. Lee 2003、第11章。
2. Lee 1997、第3章。
3. Kay, DC (1988).テンソル計算. シャウムのアウトライン. ニューヨーク: マグロウヒル. ISBN 0-07-033484-6。
4. ヴァズ&ダ・ロシャ、2016年、48、50ページ。
5. 注：例えば、グリフィス、デイビッド・J.（1987年）『素粒子入門』、Wiley, John & Sons, Inc. ISBNなど。 0-471-60386-4。は、このテンソルの全体係数を-1として表示します。これは、ここで使用されている計量テンソルの負の値(- + + +)を使用しているためです。計量シグネチャ を参照してください。Jackson（第2版）などの古い教科書では、ガウス単位系を使用しているため、cの係数は存在しません。ここではSI単位系を使用しています。

参考文献

• Lee, JM (2003).滑らかな多様体入門. Springer Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218. ISBN 0-387-95448-1。
• Lee, JM (1997).リーマン多様体 ― 曲率入門. Springer Graduate Texts in Mathematics. 第176巻. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6。
• ヴァズ、ジェイミー。ダ・ロッシャ、ロルダン（2016）。クリフォード代数とスピノルの紹介。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-878-292-6。

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