nベクトルモデル

統計力学において、nベクトルモデルまたはO( n )モデルは、結晶格子上で相互作用するスピンの単純な系である。これは、H・ユージン・スタンレーによって、イジングモデル、XYモデル、ハイゼンベルクモデルの一般化として開発された。^[1] nベクトルモデル では、n成分の単位長さの古典スピンがd次元格子の頂点に配置される。nベクトルモデルのハミルトニアンは次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbf {s} _{i}}$

${\displaystyle H=K{\sum }_{\langle i,j\rangle }\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}}$

ここで、和は隣接するスピンのペアすべてにわたっており、標準的なユークリッド内積を表します。nベクトルモデルの特殊なケースは以下のとおりです。 ${\displaystyle \langle i,j\rangle }$ ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle n=0}$：自己回避歩行^{[2] [3]}

${\displaystyle n=1}$:イジングモデル

${\displaystyle n=2}$: XYモデル

${\displaystyle n=3}$ハイゼンベルク模型

${\displaystyle n=4}$:標準モデルのヒッグスセクターのおもちゃモデル

nベクトル モデルを記述および解決するために使用される一般的な数学的形式と特定の一般化については、ポッツ モデルに関する記事で説明されています。

ループモデルとしての再定式化

小さな結合展開では、構成の重みは次のように書き直される。

${\displaystyle e^{H}{\underset {K\to 0}{\sim }}\prod _{\langle i,j\rangle }\left(1+K\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\right)}$

ベクトルを積分すると次のような式が得られる。 ${\displaystyle \mathbf {s} _{i}}$

${\displaystyle \int d\mathbf {s} _{i}\ \prod _{j=1}^{4}\left(\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\right)=\left(\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}\right)\left(\mathbf {s} _{3}\cdot \mathbf {s} _{4}\right)+\left(\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{4}\right)\left(\mathbf {s} _{2}\cdot \mathbf {s} _{3}\right)+\left(\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{3}\right)\left(\mathbf {s} _{2}\cdot \mathbf {s} _{4}\right)}$

これは、頂点を通る2本の直線を用いて頂点同士を2つずつ結ぶ3通りの可能な方法の和として解釈されます。すべてのベクトルについて積分すると、対応する直線は閉ループに結合され、分割関数はループ構成の和になります。 ${\displaystyle 1,2,3,4}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle Z=\sum _{L\in {\mathcal {L}}}K^{E(L)}n^{|L|}}$

ここで、 はループ構成の集合であり、 は構成内のループの数、 は格子エッジの総数です。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle |L|}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E(L)}$

二次元では、ループは交差しないと仮定するのが一般的です。これは、格子を三価にするか、交差が無関係な希薄相でモデルを考えるか、手動で交差を禁止するかのいずれかの方法で行われます。こうして得られた交差しないループのモデルは、強力な代数的手法を用いて研究することができ、そのスペクトルは正確に知られています。^[4]さらに、このモデルはランダムクラスターモデルと密接に関連しており、これも交差しないループを用いて定式化できます。ループの交差が許容されるモデルや、二次元を超える高次元のモデルについては、あまり分かっていません。

連続体限界

連続体極限はシグマモデルとして理解できる。これはハミルトニアンを積で表すことで簡単に得られる。

${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j})\cdot (\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j})=\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-1}$

ここで「バルク磁化」の項である。この項をエネルギーに加算される定数項として除けば、ニュートン差分を次のように 定義することで極限が得られる。 ${\displaystyle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{i}=1}$

${\displaystyle \delta _{h}[\mathbf {s} ](i,j)={\frac {\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}}{h}}}$

隣接する格子位置における の極限において、は方向の勾配である。したがって、 の極限において、 ${\displaystyle i,j.}$ ${\displaystyle \delta _{h}[\mathbf {s} ]\to \nabla _{\mu }\mathbf {s} }$ ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$ ${\displaystyle (i,j)\to \mu }$

${\displaystyle -\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\to {\tfrac {1}{2}}\nabla _{\mu }\mathbf {s} \cdot \nabla _{\mu }\mathbf {s} }$

これはシグマモデルにおける場の運動エネルギーとして認識できます。スピンについては、まだ2つの可能性があります。スピンの離散的な集合（ポッツモデル）から取られるか、球面上の点として取られるかです。つまり、は単位長さの連続値ベクトルです。後者の場合、回転群はの等長変換群であり、明らかに「平坦」ではない、つまり線形場ではないため、これは非線形シグマモデルと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$

共形場理論

臨界温度および連続極限において、このモデルは臨界O(n)モデルと呼ばれる共形場理論を導く。この共形場理論は、d次元またはn次元の展開、あるいは共形ブートストラップ法を用いて解析することができる。その共形データはdとnの関数であり、多くの結果が知られている。^[5]

参考文献

1. Stanley, HE (1968). 「スピンの次元性に対する臨界特性の依存性」. Phys. Rev. Lett . 20 (12): 589– 592. Bibcode :1968PhRvL..20..589S. doi :10.1103/PhysRevLett.20.589.
2. de Gennes, PG (1972). 「ウィルソン法による排除体積問題の指数」. Phys. Lett. A. 38 ( 5): 339– 340. Bibcode :1972PhLA...38..339D. doi :10.1016/0375-9601(72)90149-1.
3. Gaspari, George; Rudnick, Joseph (1986). 「n→0極限におけるnベクトル模型と線状高分子系の統計：ギンツブルグ・ランダウ理論」. Phys. Rev. B. 33 ( 5): 3295– 3305. Bibcode :1986PhRvB..33.3295G. doi :10.1103/PhysRevB.33.3295. PMID  9938709.
4. Jacobsen, Jesper Lykke; Ribault, Sylvain; Saleur, Hubert (2023-05-03). 「2次元$O(n)$模型とポッツ模型の状態空間」. SciPost Physics . 14 (5). arXiv : 2208.14298 . doi : 10.21468/scipostphys.14.5.092 . ISSN  2542-4653.
5. Henriksson, Johan (2023). 「臨界O(N) CFT：手法と共形データ」. Physics Reports . 1002. Elsevier BV: 1– 72. arXiv : 2201.09520 . doi : 10.1016/j.physrep.2022.12.002 . ISSN  0370-1573 . 2025年1月14日閲覧。

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