Nスリット干渉方程式

量子力学は、ポール・ディラックによって初めて光学、特に干渉に応用されました。^[¹^]リチャード・ファインマンは、物理学講義で、ディラックの記法を用いて電子の二重スリット干渉に関する思考実験を説明しています。^[²^]ファインマンのアプローチは、フランク・ドゥアルテによって、単一光子照明または狭線幅レーザー照明（つまり、区別できない光子による照明）用の $N$ スリット干渉計に拡張されました。^[³^]^[⁴^] Nスリット干渉計は $、複雑な$ 干渉縞の生成と測定に初めて応用されました。^[³^]^[⁴^]

本稿では、ディラック記法を用いて導出された一般化 $N$ スリット干渉方程式について述べる。この方程式はもともと $N$ スリット干渉縞の再現と予測を目的として導出されたが、^{[ 3 ]}^{[ 4 ]、}光学の他の分野にも応用されている。

確率振幅と $N$ スリット干渉方程式

$N$ スリット干渉計の上面図。s $面$ 、 $j 面$ 、 $x$ 面の位置を示しています。Nスリットアレイ（格子）は $j面に配置されています。干渉計内部の距離は数百メートルにも及びます。TBE は$ $望遠鏡$ 型ビームエクスパンダー、MPBE はマルチプリズム型ビームエクスパンダーです。

$このアプローチでは、光源s$ から干渉面 $x$ への光子の伝播の確率振幅は、スリット $j$ の配列を介して、ディラックのブラケット記法を使用して次のように表される^{[ 3 ]}

\langle x|s\rangle =\sum _{j=1}^{\mathbb {N} }\langle x|j\rangle \langle j|s\rangle

$この式は、 j$ 個のスリットの配列を通って $sから$ $x$ へ伝播する光子の確率振幅を表す。確率振幅の波動関数表現^[¹^{]を用い、確率振幅を}^[³^]^[⁴^]^[⁵^]と定義する。

{\begin{aligned}\langle j|s\rangle &=\Psi \left(r_{j,s}\right)e^{-i\theta _{j}}\\\langle x|j\rangle &=\Psi \left(r_{x,j}\right)e^{-i\phi _{j}}\end{aligned}}

ここで、 $θ j$ と $Φ j$ はそれぞれ入射位相角と回折位相角である。したがって、全体の確率振幅は次のように書き直すことができる。

\langle x|s\rangle =\sum _{j=1}^{N}\Psi \left(r_{j}\right)e^{-i\Omega _{j}}

どこ

\Psi \left(r_{j}\right)=\Psi \left(r_{x,j}\right)\Psi \left(r_{j,s}\right)

そして

\Omega _{j}=\theta _{j}+\phi _{j}

いくつかの代数計算の後、対応する確率は^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]となる。}

{\big |}\langle x|s\rangle {\big |}^{2}=\sum _{j=1}^{N}\Psi \left(r_{j}\right)^{2}+2\sum _{j=1}^{N}\Psi \left(r_{j}\right)\left(\sum _{m=j+1}^{N}\Psi \left(r_{m}\right)\cos \left(\Omega _{m}-\Omega _{j}\right)\right)

ここで、 $N$ はアレイまたは透過型回折格子内のスリットの総数であり、括弧内の項は、 $N$ スリットアレイ（ $j$ ）、干渉計内距離、および干渉面 $x$ の形状から得られる正確な経路差に直接関連する位相を表す。^{[ 5 ]}最も単純なバージョンでは、位相項は次のように形状に関連付けられる。

\cos(\Omega _{m}-\Omega _{j})=\cos k|L_{m}-L_{m-1}|

ここで、 $k$ は波数、 $L m$ と $L m - 1$ は正確な経路差を表す。ここで、ディラック・ドゥアルテ（DD）干渉方程式は、実験的に測定された強度分布に関連する確率分布である。^{[ 6 ]}計算は数値的に行われる。^{[ 5 ]}

DD干渉方程式は、単一光子の伝播、または区別できない光子の集団の伝播に適用され、測定された $N$ スリット干渉パターンを近距離から遠距離まで連続的に正確に予測することを可能にする。^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} $この方程式で生成された干渉縞は、 Nが2から1600までの偶数（$ $N = 2、4、6...$ ）および奇数（ $N = 3、5、7...$ ）の両方の測定された干渉縞とよく一致することが示されている。 ^[⁵^]^[⁷^]

アプリケーション

実用レベルでは、 $Nスリット干渉方程式は画像化アプリケーション$ ^{[ 5 ]}のために導入され、近距離場および遠距離場の両方で $N$ スリットレーザー干渉縞の予測に日常的に適用されています。そのため、この方程式は、晴天乱流の研究や宇宙における安全なレーザー通信のための干渉特性の伝播の研究に使用される大型および超大型の $N$ スリットレーザー干渉計^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}の調整において貴重なツールとなっています。その他の解析的応用については以下で説明します。

$N = 3$ スリットの干渉縞。右外翼に回折パターンが重ねて表示されている。^{[ 9 ]}

一般化された回折と屈折

Nスリット干渉方程式は、量子力学の原理を用いた合理的かつ統一的なアプローチで、干渉、回折、屈折（スネルの法則）、反射などの古典現象を記述するために適用されてきた $。$ [ 7 ] [ 10 ]特に、この干渉^{アプローチは、}^正屈折と負屈折の両方に対する一般化屈折方程式を導出するために使用されており、^{[ 11 ]}回折理論と一般化屈折の間に明確なつながりを提供している。^{[ 11 ]}

干渉方程式の位相項から、式

d_{m}\left(\pm n_{1}\sin {\theta _{m}}\pm n_{2}\sin {\phi _{m}}\right)\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)=M\pi

が得られます。ここで、 $M = 0、2、4...$ です。

$n 1 = n 2$ の場合、この式は次のように書ける^{[ 7 ]}^{[ 10 ]}

d_{m}\left(\pm \sin {\theta _{m}}\pm \sin {\phi _{m}}\right)=m\lambda

これは一般化された回折格子方程式です。ここで、 $θ m$ は入射角、 $φ m$ は回折角、 $λ$ は波長、 $m = 0, 1, 2...$ は回折次数です。

実験的に容易に得られる特定の条件、 $d m ≪ λ$ の下では、位相項は^{[ 7 ]}^{[ 10 ]となる。}

\left(\pm n_{1}\sin {\theta _{m}}\pm n_{2}\sin {\phi _{m}}\right)=0

これは一般化された屈折方程式である^{[ 11 ]。}ここで $θm は$ 入射角であり、 $φm は$ 屈折角となる。

共振器線幅方程式

さらに、 $Nスリット干渉方程式は$ 、多重プリズム格子レーザー発振器などの分散発振器に適用可能な共振器線幅方程式を導出するために適用されている：^[¹²^]

\Delta \lambda \approx \Delta \theta \left({\frac {\partial \Theta }{\partial \lambda }}\right)^{-1}

この式では、 $Δ θ$ はビームの発散角であり、全体的な共振器内角度分散は括弧内の量です。

フーリエ変換画像

フーリエ変換ゴーストイメージングを研究している研究者は、 $N$ スリット干渉方程式^{[ 3 ]}^{[ 5 ]}^{[ 10 ]}をゴーストイメージングの量子的性質を調査する手段として検討している。^{[ 13 ]}また、 $N$ スリット干渉アプローチは、基本的な光学現象をまとまりのある統一的な方法で記述するために適用されるいくつかのアプローチの1つである。^{[ 14 ]}

$注: N$ スリット干渉法ではさまざまな用語が使用されているため、 $N$ スリット干渉法の方程式は 2 スリット干渉、3 スリット干渉、4 スリット干渉などに適用されることを明示的にする必要があります。

量子もつれ

$N$ スリット干渉方程式を導くために使われたディラック原理と確率論的手法は、偏光量子もつれ確率振幅を導くためにも使われてきた^{[ 15 ]}

\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}\left|x\right\rangle _{1}\left|y\right\rangle _{2}-\left|y\right\rangle _{1}\left|x\right\rangle _{2}{\bigr )}

そして対応する確率振幅は、複数の量子対の伝播を描写する。^{[ 16 ]}

古典的な方法との比較

干渉計算の性能におけるディラックアプローチと古典的な方法の比較は、トラヴィス・S・テイラーらによって行われました。^{[ 17 ]}これらの著者は、ディラック形式を介して導出された干渉方程式が非常に近い場で有利であると結論付けました。

DD 干渉方程式と古典的な形式論とのいくつかの違いは次のようにまとめることができます。

近傍場アプリケーションには古典的なフレネルアプローチが用いられ、遠方場アプリケーションには古典的なフラウンホーファーアプローチが用いられる。DD干渉法を用いる場合、この形式は近傍場と遠方場の両方に適用できるため、この区分は不要である。^{[ 5 ]}
フラウンホーファーアプローチは平面波照明に有効である。^{[ 18 ]} DDアプローチは平面波照明と高回折照明パターンの両方に有効である。^{[ 5 ]}
DD干渉方程式は統計的な性質を持っています。これは古典的な定式化とは異なります。

これまでのところ、ホイヘンス・フレネルの原理やキルヒホッフの回折式に基づくより一般的な古典的なアプローチとの比較は公表されていない。

参照

参考文献

^ ^a ^bディラック, PAM (1978). 『量子力学の原理』（第4版）. ロンドン:オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-851208-0。
^ファインマン, RP ; レイトン, RB; サンズ, M. (1965).ファインマン物理学講義. 第3巻. 朗読:アディソン・ウェスレー.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Duarte, FJ ; Paine, DJ (1989). Sze, RC; Duarte, FJ (編). 「 $N$ スリット干渉現象の量子力学的記述」. Lasers '88; Proceedings of the International Conference . McLean, VA: STS: 42– 47. Bibcode : 1989lase.conf...42D .
^ ^a ^b ^c ^d ^e Duarte, FJ (1991). 「第2章分散色素レーザー」. Duarte, FJ (編). 『高出力色素レーザー』ベルリン: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-54066-3。
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j Duarte, FJ (1993). 「一般化干渉方程式と干渉測定について」. Opt. Commun . 103 ( 1– 2): 8– 14. Bibcode : 1993OptCo.103....8D . doi : 10.1016/0030-4018(93)90634-H .
^ ^a ^b Duarte, FJ (2004). 「『反射、屈折、そして多重スリット干渉』に関するコメント」". Eur. J. Phys . 25 (5): L57–L58. Bibcode : 2004EJPh...25L..57D . doi : 10.1088/0143-0807/25/5/L04 . S2CID 250829486 .
^ ^a ^b ^c ^dドゥアルテ、フロリダ州(2015).波長可変レーザー光学系(第 2 版)。ニューヨーク州ニューヨーク州: CRC。ISBN 978-1-4822-4529-5。
^ Duarte, FJ; Taylor, TS; Clark, AB; Davenport, WE (2010). 「 $N$ スリット干渉計：拡張構成」. J. Opt . 12 (1) 015705. Bibcode : 2010JOpt...12a5705D . doi : 10.1088/2040-8978/12/1/015705 . S2CID 121521124 .
^ ^a ^b Duarte, FJ; Taylor, TS; Black, AM; Davenport, WE; Varmette, PG (2011). 「安全な自由空間光通信のための $N$ スリット干渉計：干渉計内経路長527m」. J. Opt . 13 (3) 035710. Bibcode : 2011JOpt...13c5710D . doi : 10.1088/2040-8978/13/3/035710 . S2CID 6086533 .
^ ^a ^b ^c ^d Duarte, FJ (1997). 「ディラック記法による干渉、回折、屈折」Am. J. Phys . 65 (7): 637– 640. Bibcode : 1997AmJPh..65..637D . doi : 10.1119/1.18613 .
^ ^a ^b ^c Duarte, FJ (2006). 「正および負の屈折に対する多重プリズム分散方程式」. Appl. Phys. B. 82 ( 1): 35– 38. Bibcode : 2006ApPhB..82...35D . doi : 10.1007/s00340-005-1996-x . S2CID 120462686 .
^ Duarte, FJ (1992). 「空洞分散方程式：その起源に関する注釈」. Appl. Opt . 31 (33): 6979– 6982. Bibcode : 1992ApOpt..31.6979D . doi : 10.1364/AO.31.006979 . PMID 20802556 .
^ Liu, H.; Shen, X.; Zhu, D.-M.; Han, S. (2007). 「純粋な遠距離場相関熱光によるフーリエ変換ゴーストイメージング」. Phys. Rev. A . 76 (5) 053808. Bibcode : 2007PhRvA..76e3808L . doi : 10.1103/PhysRevA.76.053808 .
^ Kurusingal, J. (2007). 「法線散乱の法則 – 界面における波動伝播の包括的法則」. J. Opt. Soc. Am. A. 24 ( 1): 98– 108. Bibcode : 2007JOSAA..24...98K . doi : 10.1364/JOSAA.24.000098 . PMID 17164848 .
^ Duarte, FJ (2014). 『エンジニアのための量子光学』ニューヨーク: CRC. ISBN 978-1-4398-8853-7. OCLC 871400712 .
^ Duarte, FJ (2016). 「安全な宇宙間干渉通信と量子もつれの物理学との結びつき」. Appl. Phys. Rev. 3 ( 4): 041301. Bibcode : 2016ApPRv...3d1301D . doi : 10.1063/1.4966139 .
^ Taylor, TS; et al. (1996). 「古典光学におけるフーリエ計算とディラック計算の比較」.国際レーザー会議'95議事録. McLean, VA: STS. pp. 487– 492.
^ Fowles, GR (1968). 『現代光学入門』ニューヨーク、NY: Holt, Rinehart and Winston .

[Dirac-1] ディラック, PAM (1978). 『量子力学の原理』（第4版）. ロンドン:オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-851208-0。

[2] ファインマン, RP ; レイトン, RB; サンズ, M. (1965).ファインマン物理学講義. 第3巻. 朗読:アディソン・ウェスレー.

[D1989-3] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Duarte, FJ ; Paine, DJ (1989). Sze, RC; Duarte, FJ (編). 「 $N$ スリット干渉現象の量子力学的記述」. Lasers '88; Proceedings of the International Conference . McLean, VA: STS: 42– 47. Bibcode : 1989lase.conf...42D .

[HPDL-4] Duarte, FJ (1991). 「第2章分散色素レーザー」. Duarte, FJ (編). 『高出力色素レーザー』ベルリン: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-54066-3。

[D1993-5] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j Duarte, FJ (1993). 「一般化干渉方程式と干渉測定について」. Opt. Commun . 103 ( 1– 2): 8– 14. Bibcode : 1993OptCo.103....8D . doi : 10.1016/0030-4018(93)90634-H .

[D2004-6] Duarte, FJ (2004). 「『反射、屈折、そして多重スリット干渉』に関するコメント」". Eur. J. Phys . 25 (5): L57–L58. Bibcode : 2004EJPh...25L..57D . doi : 10.1088/0143-0807/25/5/L04 . S2CID 250829486 .

[D2003-7] ドゥアルテ、フロリダ州(2015).波長可変レーザー光学系(第 2 版)。ニューヨーク州ニューヨーク州: CRC。ISBN 978-1-4822-4529-5。

[JOPT2010-8] Duarte, FJ; Taylor, TS; Clark, AB; Davenport, WE (2010). 「 $N$ スリット干渉計：拡張構成」. J. Opt . 12 (1) 015705. Bibcode : 2010JOpt...12a5705D . doi : 10.1088/2040-8978/12/1/015705 . S2CID 121521124 .

[JOPT2011-9] Duarte, FJ; Taylor, TS; Black, AM; Davenport, WE; Varmette, PG (2011). 「安全な自由空間光通信のための $N$ スリット干渉計：干渉計内経路長527m」. J. Opt . 13 (3) 035710. Bibcode : 2011JOpt...13c5710D . doi : 10.1088/2040-8978/13/3/035710 . S2CID 6086533 .

[D1997-10] Duarte, FJ (1997). 「ディラック記法による干渉、回折、屈折」Am. J. Phys . 65 (7): 637– 640. Bibcode : 1997AmJPh..65..637D . doi : 10.1119/1.18613 .

[APB-11] Duarte, FJ (2006). 「正および負の屈折に対する多重プリズム分散方程式」. Appl. Phys. B. 82 ( 1): 35– 38. Bibcode : 2006ApPhB..82...35D . doi : 10.1007/s00340-005-1996-x . S2CID 120462686 .

[12] Duarte, FJ (1992). 「空洞分散方程式：その起源に関する注釈」. Appl. Opt . 31 (33): 6979– 6982. Bibcode : 1992ApOpt..31.6979D . doi : 10.1364/AO.31.006979 . PMID 20802556 .

[13] Liu, H.; Shen, X.; Zhu, D.-M.; Han, S. (2007). 「純粋な遠距離場相関熱光によるフーリエ変換ゴーストイメージング」. Phys. Rev. A . 76 (5) 053808. Bibcode : 2007PhRvA..76e3808L . doi : 10.1103/PhysRevA.76.053808 .

[14] Kurusingal, J. (2007). 「法線散乱の法則 – 界面における波動伝播の包括的法則」. J. Opt. Soc. Am. A. 24 ( 1): 98– 108. Bibcode : 2007JOSAA..24...98K . doi : 10.1364/JOSAA.24.000098 . PMID 17164848 .

[QOE-15] Duarte, FJ (2014). 『エンジニアのための量子光学』ニューヨーク: CRC. ISBN 978-1-4398-8853-7. OCLC 871400712 .

[16] Duarte, FJ (2016). 「安全な宇宙間干渉通信と量子もつれの物理学との結びつき」. Appl. Phys. Rev. 3 ( 4): 041301. Bibcode : 2016ApPRv...3d1301D . doi : 10.1063/1.4966139 .

[17] Taylor, TS; et al. (1996). 「古典光学におけるフーリエ計算とディラック計算の比較」.国際レーザー会議'95議事録. McLean, VA: STS. pp. 487– 492.

[18] Fowles, GR (1968). 『現代光学入門』ニューヨーク、NY: Holt, Rinehart and Winston .

[

[

[

[

[

[ 6 ]

[

[ 8 ]

[ 9 ]

正屈折と

[ 11 ]

[

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]