N = 2 超共形代数

2D supersymmetric generalization to the conformal algebra

数理物理学において、2次元N  = 2超共形代数は、超対称性と関連し、弦理論と2次元共形場理論に現れる無限次元リー超代数である。ミラー対称性において重要な応用を持つ。M. Ademollo、L. Brink、A. D'Addaら(1976)によって、U(1)フェルミオン弦のゲージ代数として導入された。

意味

N  = 2超共形代数を記述する方法には、 N  = 2ラモンド代数とN  = 2ヌヴー・シュワルツ代数と呼ばれるわずかに異なる2つの方法があり、これらは同型（下記参照）ですが、標準基底の選択が異なります。N  = 2超共形代数は、偶数元c、L _n、J _n （ nは整数）、奇数元G⁺
_r、G⁻
_rここで、（ラモンド基底の場合）または（ヌヴー・シュワルツ基底の場合）は次の関係式で定義される：^[1] ${\displaystyle r\in {\mathbb {Z} }}$ ${\textstyle r\in {1 \over 2}+{\mathbb {Z} }}$

cは中央にあります

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=\left(m-n\right)L_{m+n}+{c \over 12}\left(m^{3}-m\right)\delta _{m+n,0}}$

${\displaystyle [L_{m},\,J_{n}]=-nJ_{m+n}}$

${\displaystyle [J_{m},J_{n}]={c \over 3}m\delta _{m+n,0}}$

${\displaystyle \{G_{r}^{+},G_{s}^{-}\}=L_{r+s}+{1 \over 2}\left(r-s\right)J_{r+s}+{c \over 6}\left(r^{2}-{1 \over 4}\right)\delta _{r+s,0}}$

${\displaystyle \{G_{r}^{+},G_{s}^{+}\}=0=\{G_{r}^{-},G_{s}^{-}\}}$

${\displaystyle [L_{m},G_{r}^{\pm }]=\left({m \over 2}-r\right)G_{r+m}^{\pm }}$

${\displaystyle [J_{m},G_{r}^{\pm }]=\pm G_{m+r}^{\pm }}$

これらの関係において、 は N = 2 ラモンド代数 を生成し、が 半整数の場合はN  = 2 ヌヴー・シュワルツ代数を生成します。演算子は、ヴィラソロ代数と同型のリー部分代数を生成します。演算子 と一緒に、これらは超ヴィラソロ代数と同型のリー超代数 を生成し、 が整数の場合はラモンド代数を、それ以外の場合はヌヴー・シュワルツ代数を与えます。 を複素内積空間上の演算子として表すと、は同じ文字で示され中心荷と呼ばれる実スカラーによる乗算として機能すると考えられ、随伴構造は次のようになります。 ${\displaystyle r,s\in {\mathbb {Z} }}$ ${\textstyle r,s\in {1 \over 2}+{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle G_{r}=G_{r}^{+}+G_{r}^{-}}$ ${\displaystyle r,s}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {L_{n}^{*}=L_{-n},\,\,J_{m}^{*}=J_{-m},\,\,(G_{r}^{\pm })^{*}=G_{-r}^{\mp },\,\,c^{*}=c}}$

プロパティ

• N = 2のラモンド代数とヌヴー・シュワルツ代数は、シュワイマーとザイバーグ（1987）の スペクトルシフト同型によって同型である。逆は、 ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \alpha (L_{n})=L_{n}+{1 \over 2}J_{n}+{c \over 24}\delta _{n,0}}$$ $${\displaystyle \alpha (J_{n})=J_{n}+{c \over 6}\delta _{n,0}}$$ $${\displaystyle \alpha (G_{r}^{\pm })=G_{r\pm {1 \over 2}}^{\pm }}$$ $${\displaystyle \alpha ^{-1}(L_{n})=L_{n}-{1 \over 2}J_{n}+{c \over 24}\delta _{n,0}}$$ $${\displaystyle \alpha ^{-1}(J_{n})=J_{n}-{c \over 6}\delta _{n,0}}$$ $${\displaystyle \alpha ^{-1}(G_{r}^{\pm })=G_{r\mp {1 \over 2}}^{\pm }}$$
• N = 2 ラモンド代数において 、零モード演算子、、および定数は5次元リー超代数を形成する。これらはケーラー幾何学における基本演算子、 と同じ関係式を満たし、これらはラプラシアン、次数演算子、および演算子に対応する。 ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle G_{0}^{\pm }}$ ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle G_{0}^{\pm }}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$
• スペクトルシフトの偶整数乗は、 N  = 2 超共形代数の自己同型を与え、スペクトルシフト自己同型と呼ばれる。周期2の別の自己同型 は で与えられる。ケーラー作用素を用いると、 は複素構造 の共役に対応する。 であるため、自己同型とは、無限二面体群と同型なN  = 2 超共形代数の自己同型群を生成する。 ${\displaystyle \beta }$ $${\displaystyle \beta (L_{m})=L_{m},}$$ $${\displaystyle \beta (J_{m})=-J_{m}-{c \over 3}\delta _{m,0},}$$ $${\displaystyle \beta (G_{r}^{\pm })=G_{r}^{\mp }}$$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta \alpha \beta ^{-1}=\alpha ^{-1}}$ ${\displaystyle \alpha ^{2}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }\rtimes {\mathbb {Z} }_{2}}$
• ツイスト演算子はEguchi & Yang (1990)によって導入され、次式を満たす。したがって、これらの演算子は中心電荷が0であるVirasoro関係式を満たす。定数は、関係式および修正された関係式にも依然として現れる。 ${\textstyle {\mathcal {L}}_{n}=L_{n}+{1 \over 2}(n+1)J_{n}}$ $${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{m},{\mathcal {L}}_{n}]=(m-n){\mathcal {L}}_{m+n}}$$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle J_{m}}$ $${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{m},J_{n}]=-nJ_{m+n}+{c \over 6}\left(m^{2}+m\right)\delta _{m+n,0}}$$ $${\displaystyle \{G_{r}^{+},G_{s}^{-}\}=2{\mathcal {L}}_{r+s}-2sJ_{r+s}+{c \over 3}\left(m^{2}+m\right)\delta _{m+n,0}}$$

建設

自由空間建設

グリーン、シュワルツ、ウィッテン（1988a、1988b）は、2つの可換な実ボソン場 を用いた構成を与えている。 ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{n})}$

${\displaystyle {[a_{m},a_{n}]={m \over 2}\delta _{m+n,0},\,\,\,\,[b_{m},b_{n}]={m \over 2}\delta _{m+n,0}},\,\,\,\,a_{n}^{*}=a_{-n},\,\,\,\,b_{n}^{*}=b_{-n}}$

および複雑なフェルミオン場 ${\displaystyle (e_{r})}$

${\displaystyle \{e_{r},e_{s}^{*}\}=\delta _{r,s},\,\,\,\,\{e_{r},e_{s}\}=0.}$

${\displaystyle L_{n}}$は、3つのシステムのそれぞれに自然に関連付けられたヴィラソロ演算子の合計として定義されます。

${\displaystyle L_{n}=\sum _{m}:a_{-m+n}a_{m}:+\sum _{m}:b_{-m+n}b_{m}:+\sum _{r}\left(r+{n \over 2}\right):e_{r}^{*}e_{n+r}:}$

ここでは、ボソンとフェルミオンに通常の順序付けが使用されています。

電流演算子はフェルミオンからの標準的な構成によって定義される ${\displaystyle J_{n}}$

${\displaystyle J_{n}=\sum _{r}:e_{r}^{*}e_{n+r}:}$

そして、2つの超対称演算子は ${\displaystyle G_{r}^{\pm }}$

${\displaystyle G_{r}^{+}=\sum (a_{-m}+ib_{-m})\cdot e_{r+m},\,\,\,\,G_{r}^{-}=\sum (a_{r+m}-ib_{r+m})\cdot e_{m}^{*}}$

これにより、 c  = 3 のN  = 2 ネヴー・シュワルツ代数 が生成されます。

SU(2)超対称剰余類構成

ディ・ヴェッキア他 (1986) は、ゴダード、ケント、オリーブ (1986) の Virasoro 代数と超 Virasoro 代数の離散級数表現に対するコセット構成を一般化し、 N  = 2 超共形代数のコセット構成を与えた。SU (2)のアフィン Kac–Moody 代数の表現が与えられたとき、その基底は ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle E_{n},F_{n},H_{n}}$

${\displaystyle [H_{m},H_{n}]=2m\ell \delta _{n+m,0},}$

${\displaystyle [E_{m},F_{n}]=H_{m+n}+m\ell \delta _{m+n,0},}$

${\displaystyle [H_{m},E_{n}]=2E_{m+n},}$

${\displaystyle [H_{m},F_{n}]=-2F_{m+n},}$

超対称生成子は次のように定義される。

${\displaystyle G_{r}^{+}=(\ell /2+1)^{-1/2}\sum E_{-m}\cdot e_{m+r},\,\,\,G_{r}^{-}=(\ell /2+1)^{-1/2}\sum F_{r+m}\cdot e_{m}^{*}.}$

これにより、N=2の超共形代数が得られる。

${\displaystyle c=3\ell /(\ell +2).}$

代数はボソン演算子と可換である

${\displaystyle X_{n}=H_{n}-2\sum _{r}:e_{r}^{*}e_{n+r}:.}$

物理的状態空間は、正の のとスーパーチャージ演算子 によって同時に消滅するの固有ベクトルから構成される。 ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle Q=G_{1/2}^{+}+G_{-1/2}^{-}}$（ヌヴー・シュワルツ）

${\displaystyle Q=G_{0}^{+}+G_{0}^{-}.}$（ラモンド）

スーパーチャージ演算子はアフィンワイル群の作用と可換であり、物理的状態はこの群の単一の軌道上に存在し、この事実はワイル-カック特性式を意味する。^[2]

風間・鈴木超対称剰余類構成

風間・鈴木（1989）は、SU(2)剰余類構成を、単純コンパクトリー群 と最大階数の閉部分群（すなわち、の最大トーラスを含む）からなる任意のペアに一般化した。ただし、 の中心の次元は非ゼロであるという条件が付加される。この場合、コンパクトエルミート対称空間はケーラー多様体であり、例えば のときである。物理的状態はアフィンワイル群の単一軌道上に存在し、これもまた のアフィンカック・ムーディ代数に対するワイル・カック指標式を意味する。^[2] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle H=T}$ ${\displaystyle G}$

参照

• ヴィラソロ代数
• スーパーヴィラソロ代数
• コセット構成
• IIB型弦理論

注記

1. グリーン、シュワルツ、ウィッテン 1988a、240–241ページ
2. ワッサーマン 2010より

参考文献

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• グリーン、マイケル・B. ;シュワルツ、ジョン・H. ;ウィッテン、エドワード（1988a）、『超弦理論』第1巻：序論、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-35752-7
• グリーン、マイケル B. ;シュワルツ、ジョン H. ;ウィッテン、エドワード(1988b)、超弦理論、第 2 巻：ループ振幅、異常および現象学、ケンブリッジ大学出版局、Bibcode :1987cup..bookR....G、ISBN 0-521-35753-5
• 風間 洋一; 鈴木 久雄 (1989)、「新しいN  = 2超共形場の理論と超弦理論のコンパクト化」、核物理B、321 (1): 232– 268、Bibcode :1989NuPhB.321..232K、doi :10.1016/0550-3213(89)90250-2
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• ヴォワザン、クレア（1999年）「ミラー対称性」、SMF/AMSテキストおよびモノグラフ、第1巻、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-1947-X
• Wassermann, AJ (2010) [1998]. 「Kac-Moody代数とVirasoro代数に関する講義ノート」arXiv : 1004.1287 .
• ウェスト、ピーター C. (1990)、超対称性と超重力入門（第2版）、ワールドサイエンティフィック、pp.  337–8、ISBN 981-02-0099-4

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