Statistical NM-method
NM法 NM 法 または ナゾディ・メンドンサ法は、統計学、 計量経済学 、経済学、社会学、人口統計学において、 反事実的 分割表 を作成するために適用できる演算です 。この手法では、行列 （シード表と呼ばれる） に最も近い行列（つまり、目標行列の行と列の合計が同じ順序である という 意味で最も近い行列）を見つけます 。行列の行の合計と列の合計は 既知ですが、行列 自体は既知ではない場合があります。 X {\displaystyle X} X ∈ R n × m {\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{n\times m}} Z {\displaystyle Z} Z ∈ N n × m {\displaystyle Z\in \mathbb {N} ^{n\times m}} Y {\displaystyle Y} ( Y ∈ N n × m ) {\displaystyle (Y\in \mathbb {N} ^{n\times m})} Y {\displaystyle Y} Y {\displaystyle Y}
行列 の解は 一意であるため、NM 法は関数 となります。 ここで、 はサイズ の の行ベクトルであり 、 はサイズ の の列ベクトルです 。 X {\displaystyle X} X = NM ( Z , Y e m T , e n Y ) : N n × m × N n × N m ↦ R n × m {\displaystyle X={\text{NM}}(Z,Ye_{m}^{T},e_{n}Y):\mathbb {N} ^{n\times m}\times \mathbb {N} ^{n}\times \mathbb {N} ^{m}\mapsto \mathbb {R} ^{n\times m}} e n {\displaystyle e_{n}} 1 × n {\displaystyle 1\times n} e m T {\displaystyle e_{m}^{T}} m × 1 {\displaystyle m\times 1}
NM法はNaszodiとMendonca（2023） [1] によって開発され（NaszodiとMendonca（2019） [2] によって初めて適用され、行列が行列の行合計と列合計によって特徴付けられる母集団からのサンプルではなく、別の母集団を表す 問題における 行列を解きます ）。 X {\displaystyle X} Z {\displaystyle {\boldsymbol {Z}}} Y {\displaystyle Y}
彼らの応用は、教育の同質性 の強さの世代間変化を定量化し 、それによって1980年から2010年までの米国における異なる教育グループ間の社会的不平等の歴史的変化を測定することを目的としていました。不平等の傾向はU字型であることが判明し、適切な社会経済政策によって不平等を軽減できるという見解を裏付けています。
マトリックスランキングの定義 同じ大きさの2つの行列の近さは、いくつかの方法で定義できます。 ユークリッド距離 と カルバック・ライブラー距離 は、よく知られた2つの例です。
NM法は、 順序数 Liu-Lu指数 [3] に基づく定義と整合している。これは、Coleman (1958) [4] の式(15)で定義されたColeman指数をわずかに修正したものである。この定義によれば、行列 は、Liu-Lu値が同じである場合 に行列 に「最も近い」とされる 。言い換えれば、順序数Liu-Lu指数で同じ順位に並べられている場合である。 X {\displaystyle X} Z {\displaystyle Z}
が 2×2 行列の場合 、その Z {\displaystyle Z} スカラー値のLiu-Lu指数は次のように定義される。
LL ( Z ) = Z 1 , 1 − Q − ( Z 1 , 1 ) min ( Z 1 , . , Z . , 1 ) − Q − ( Z 1 , 1 ) {\displaystyle {\text{LL}}(Z)={\frac {Z_{1,1}-Q^{-}(Z_{1,1})}{{\text{min}}(Z_{1,.},Z_{.,1})-Q^{-}(Z_{1,1})}}} 、 どこ ; ; ; ; 。 Z 1 , . = Z 1 , 1 + Z 1 , 2 {\displaystyle Z_{1,.}=Z_{1,1}+Z_{1,2}} Z . , 1 = Z 1 , 1 + Z 2 , 1 {\displaystyle Z_{.,1}=Z_{1,1}+Z_{2,1}} Z . , . = Z . , 1 + Z 1 , . {\displaystyle Z_{.,.}=Z_{.,1}+Z_{1,.}} Q ( Z 1 , 1 ) = Z 1 , . Z . , 1 / Z . , . {\displaystyle Q(Z_{1,1})={Z_{1,.}Z_{.,1}}/{Z_{.,.}}} Q − ( Z 1 , 1 ) = i n t [ Q ( Z 1 , 1 ) ] {\displaystyle Q^{-}(Z_{1,1})=int[Q(Z_{1,1})]}
Coleman (1958) [4] によれば、この指標は「実際値 - 期待値 / 最大値 - 最小値」と解釈される。ここで、は シード行列 のエントリ の実際の値 、 は対応する行合計と列合計が 事前に決定され、その内部はランダムであるという反事実的仮定の下での期待値（整数）である。また、 の行変数と列変数の関係が 非負である場合、 はその最小値である。最後に、 は 与えられた行合計 と列合計に対する ( ) の最大値である 。 Z 1 , 1 {\displaystyle Z_{1,1}} 1 , 1 {\displaystyle 1,1} Z {\displaystyle Z} Q − {\displaystyle Q^{-}} Z {\displaystyle Z} Q − {\displaystyle Q^{-}} Z {\displaystyle Z} min ( Z 1 , . , Z . , 1 ) {\displaystyle {\text{min}}(Z_{1,.},Z_{.,1})} Z 1 , 1 {\displaystyle Z_{1,1}} Z ∈ N n × m {\displaystyle Z\in \mathbb {N} ^{n\times m}} Z 1 , . {\displaystyle Z_{1,.}} Z . , 1 {\displaystyle Z_{.,1}}
n×m ( , ) の大きさの 行列に対して 、Liu–Lu 指数は Naszodi と Mendonca (2023) [1] によって行列値指数に一般化されました。 Z {\displaystyle Z} n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} m ≥ 2 {\displaystyle m\geq 2} 一般化の前提条件は、行列の行変数と列変数 が順序付けられていることである。行列の一般化されたLiu-Lu指数を 行列のそれと等しくすること は、それらの順序付けられた行変数と順序付けられた列変数を二分することと等価である。 Z {\displaystyle Z} Z {\displaystyle Z} X {\displaystyle X} 行変数と列変数の順序付き性質を利用することで、さまざまな方法で実現できます。次に、得られた2×2行列の元のスカラー値Liu-Luインデックスを、二分法で等しくします。つまり、任意の ( 、 )のペアに対して、 制約 が課されます。ここで 、は 最初 のブロックの サイズ が 、 2番目のブロック のサイズが である行列です 。同様に、 は の 転置 によって与えられた行列 で 、最初 のブロックの サイズが 、 2番目のブロック のサイズが です 。 ( n − 1 ) × ( m − 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (m-1)} i , j {\displaystyle i,j} i ∈ { 1 , … , n − 1 } {\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n-1\}} j ∈ { 1 , … , m − 1 } {\displaystyle j\in \{1,\ldots ,m-1\}} LL ( V i X W j T ) = LL ( V i Z W j T ) {\displaystyle {\text{LL}}(V_{i}XW_{j}^{T})={\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})} V i {\displaystyle V_{i}} 2 × n {\displaystyle 2\times n} V i = [ 1 ⋯ 1 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 1 ⋯ 1 ] {\displaystyle V_{i}={\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}\cdots &\color {red}1&\color {blue}0&\color {blue}\cdots &\color {blue}0\\\color {red}0&\color {red}\cdots &\color {red}0&\color {blue}1&\color {blue}\cdots &\color {blue}1\end{bmatrix}}} 2 × i {\displaystyle 2\times i} 2 × ( n − i ) {\displaystyle 2\times (n-i)} W j T {\displaystyle W_{j}^{T}} m × 2 {\displaystyle m\times 2} W j = [ 1 ⋯ 1 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 1 ⋯ 1 ] {\displaystyle W_{j}={\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}\cdots &\color {red}1&\color {blue}0&\color {blue}\cdots &\color {blue}0\\\color {red}0&\color {red}\cdots &\color {red}0&\color {blue}1&\color {blue}\cdots &\color {blue}1\end{bmatrix}}} 2 × j {\displaystyle 2\times j} 2 × ( m − j ) {\displaystyle 2\times (m-j)}
行合計と列合計の制約 行列は 、 だけで なく、行の合計と列の合計に関する制約のペアも 満たす
必要があります 。 X {\displaystyle X} LL ( V i X W j T ) = LL ( V i Z W j T ) {\displaystyle {\text{LL}}(V_{i}XW_{j}^{T})={\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})} X e m T = Y e m T {\displaystyle Xe_{m}^{T}=Ye_{m}^{T}} e n X = e n Y {\displaystyle e_{n}X=e_{n}Y}
解決 （ 、および） のすべてのペアについて 、 の解は 一意かつ決定論的であり、閉じた形式の式で与えられると 仮定する。 [1] LL ( V i Z W j T ) ≥ 0 {\displaystyle {\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})\geq 0} i , j {\displaystyle i,j} i ∈ { 1 , … , n − 1 } {\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n-1\}} j ∈ { 1 , … , m − 1 } {\displaystyle j\in \{1,\ldots ,m-1\}} X {\displaystyle X}
サイズ の 行列 および の場合には 、 Y {\displaystyle Y} Z {\displaystyle Z} 2 × 2 {\displaystyle {\boldsymbol {2\times 2}}} 解決策は
X 1 , 1 = [ Z 1 , 1 − int ( Z 1 , ⋅ Z ⋅ , 1 / Z ⋅ , ⋅ ) ] [ min ( Y 1 , ⋅ , Y ⋅ , 1 ) − int ( Y 1 , ⋅ Y ⋅ , 1 / Y ⋅ , ⋅ ) ] min ( Z 1 , ⋅ , Z ⋅ , 1 ) − int ( Z 1 , ⋅ Z ⋅ , 1 / Z ⋅ , ⋅ ) + int ( Y 1 , ⋅ Y ⋅ , 1 / Y ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle X_{1,1}={\frac {\left[Z_{1,1}-{\text{int}}\left({Z_{1,\cdot }Z_{\cdot ,1}}/{Z_{\cdot ,\cdot }}\right)\right]\left[{{\text{min}}\left(Y_{1,\cdot },Y_{\cdot ,1}\right)-{\text{int}}\left({Y_{1,\cdot }Y_{\cdot ,1}}/{Y_{\cdot ,\cdot }}\right)}\right]}{{\text{min}}\left(Z_{1,\cdot },Z_{\cdot ,1}\right)-{\text{int}}\left({Z_{1,\cdot }Z_{\cdot ,1}}/{Z_{\cdot ,\cdot }}\right)}}+{\text{int}}\left({Y_{1,\cdot }Y_{\cdot ,1}}/{Y_{\cdot ,\cdot }}\right)} 。
残りの3つのセルは、 行の合計と列の合計によって一意に決定されます。つまり、NM法は2×2のシードテーブルではこのように機能します。 X {\displaystyle X}
、および サイズが ( 、 )の行列の 場合 、解は、それらの順序付けられた行変数と順序付けられた列変数を、あらゆる可能な意味のある方法で二分することによって得られ、その後、 2×2形式の多数の問題を解きます。各問題は、、 および対象の行合計と列合計がそれぞれ、、およびである、 ( および)のペア に対して 定義されます 。各問題は、の公式によって個別に解かれます 。解の集合によって 、行列 の要素数が決定されます 。残りの 要素は、対象の行合計と列合計によって一意に決定されます。 Y {\displaystyle Y} Z {\displaystyle Z} n × m {\displaystyle {\boldsymbol {n\times m}}} n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} m ≥ 2 {\displaystyle m\geq 2} ( n − 1 ) ( m − 1 ) {\displaystyle (n-1)(m-1)} i , j {\displaystyle i,j} i ∈ { 1 , . . . , n − 1 } {\displaystyle i\in \{1,...,n-1\}} j ∈ { 1 , . . . , m − 1 } {\displaystyle j\in \{1,...,m-1\}} LL ( V i X W j T ) = LL ( V i Z W j T ) {\displaystyle {\text{LL}}(V_{i}XW_{j}^{T})={\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})} V i X e m T = V i Y e m T {\displaystyle V_{i}Xe_{m}^{T}=V_{i}Ye_{m}^{T}} e n X W j T = e n Y W j T {\displaystyle e_{n}XW_{j}^{T}=e_{n}YW_{j}^{T}} X 1 , 1 {\displaystyle X_{1,1}} ( n − 1 ) ( m − 1 ) {\displaystyle (n-1)(m-1)} X {\displaystyle X} m + n − 1 {\displaystyle m+n-1}
次に、行列が の 2 番目の前提条件が に対して 満たされない 場合に NM 法がどのように機能するかを見てみましょう 。 Z {\displaystyle Z} LL ( V i Z W j T ) ≥ 0 {\displaystyle {\boldsymbol {{\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})\geq 0}}} ∀ i , j {\displaystyle {\boldsymbol {\forall i,j}}}
のすべてのペアに対して 、 の解も 一意かつ決定論的であり、閉形式の式で与えられます。しかし、これに対応する行列の順位付けの概念は、上で議論したものとは少し異なります。Liu and Lu (2006) [3] はこれを と定義しています。 ここで 、 は 以上の最小の整数です 。 LL ( V i Z W j T ) ≤ 0 {\displaystyle {\boldsymbol {{\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})\leq 0}}} i , j {\displaystyle {\boldsymbol {i,j}}} X {\displaystyle X} LL − ( Z ) = Z 1 , 1 − Q + ( Z 1 , 1 ) Q + ( Z 1 , 1 ) − m a x ( 0 ; Z 1 , . − Z . , 2 ) {\displaystyle {\text{LL}}^{-}(Z)={\frac {Z_{1,1}-Q^{+}(Z_{1,1})}{Q^{+}(Z_{1,1})-max(0;Z_{1,.}-Z_{.,2})}}} Z . , 2 = Z 1 , 2 + Z 2 , 2 {\displaystyle Z_{.,2}=Z_{1,2}+Z_{2,2}} Q + ( Z 1 , 1 ) {\displaystyle Q^{+}(Z_{1,1})} Q {\displaystyle Q}
最後に、となるペアの場合 、NM 法も も定義されませんが 、 となる別のペアの場合は 定義されます 。 LL ( Z ) {\displaystyle {\boldsymbol {{\text{LL}}(Z)}}} ∃ ( i , j ) {\displaystyle \exists (i,j)} LL ( V i Z W j T ) > 0 {\displaystyle {\boldsymbol {{\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})>0}}} k , l ( ≠ i , j ) {\displaystyle k,l(\neq i,j)} LL ( V k Z W l T ) < 0 {\displaystyle {\boldsymbol {{\text{ LL}}(V_{k}ZW_{l}^{T})<0}}}
数値例 行の合計と列の合計、およびターゲット、つまり 行列の 行の合計 と列の合計が補完された 次の 行列 を考えます。 Z {\displaystyle \color {green}Z} Y {\displaystyle \color {orange}Y}
Z 1 2 3 4 合計 ターゲット 1 120 70 30 20 240 400 2 50 100 50 35 235 300 3 30 40 75 40 185 150 4 10 20 30 80 140 150 合計 210 230 185 175 800 ターゲット 400 300 200 100 1,000
NM法の最初のステップとして、 行列 を 、各 ( 、 、 ) のペアについて、行列 、 、 で乗算します 。これにより、次の 9 つの 2×2 行列と、それぞれの目標行合計および目標列合計が得られます。 Z {\displaystyle \color {green}Z} V i {\displaystyle {\boldsymbol {V_{i}}}} W j T {\displaystyle {\boldsymbol {W_{j}^{T}}}} i , j {\displaystyle i,j} i ∈ { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle i\in \{1,2,3\}} j ∈ { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle j\in \{1,2,3\}}
i = 1 , j = 1 {\displaystyle i=1,j=1} 1 2 合計 ターゲット 1 120 120 240 400 2 90 470 560 600 合計 210 590 800 ターゲット 400 600 1,000
i = 1 , j = 2 {\displaystyle i=1,j=2} 1 2 合計 ターゲット 1 190 50 240 400 2 250 30 560 600 合計 440 360 800 ターゲット 700 300 1,000
i = 1 , j = 3 {\displaystyle i=1,j=3} 1 2 合計 ターゲット 1 220 20 240 400 2 405 155 560 600 合計 625 175 800 ターゲット 900 100 1,000
i = 2 , j = 1 {\displaystyle i=2,j=1} 1 2 合計 ターゲット 1 170 305 475 700 2 40 285 325 300 合計 210 590 800 ターゲット 400 600 1,000
i = 2 , j = 2 {\displaystyle i=2,j=2} 1 2 合計 ターゲット 1 340 135 475 700 2 100 225 325 300 合計 440 360 800 ターゲット 700 300 1,000
i = 2 , j = 3 {\displaystyle i=2,j=3} 1 2 合計 ターゲット 1 420 55 475 700 2 205 120 325 300 合計 625 175 800 ターゲット 900 100 1,000
i = 3 , j = 1 {\displaystyle i=3,j=1} 1 2 合計 ターゲット 1 200 460 660 850 2 10 130 140 150 合計 210 590 800 ターゲット 400 600 1,000
i = 3 , j = 2 {\displaystyle i=3,j=2} 1 2 合計 ターゲット 1 410 250 660 850 2 30 110 140 150 合計 440 360 800 ターゲット 700 300 1,000
i = 3 , j = 3 {\displaystyle i=3,j=3} 1 2 合計 ターゲット 1 565 95 660 850 2 60 80 140 150 合計 625 175 800 ターゲット 900 100 1,000
次のステップは、一般化行列値Liu-Lu指数 （ ）を計算することです。これは、元のスカラー値Liu-Lu指数の式を9つの行列のそれぞれに適用することによって行われます。 LL ( Z ) {\displaystyle {\text{LL}}({Z})} LL ( Z ) i , j = LL ( V i Z W j T ) {\displaystyle {\text{LL}}({Z})_{i,j}={\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})}
LL(Z) {\displaystyle {\text{LL(Z)}}} j = 1 {\displaystyle j=1} j = 2 {\displaystyle j=2} j = 3 {\displaystyle j=3} i = 1 {\displaystyle i=1} 0.39 0.54 0.62 i = 2 {\displaystyle i=2} 0.53 0.44 0.47 i = 3 {\displaystyle i=3} 0.73 0.61 0.45
明らかに、行列は 正である。したがって、NM法が定義される。2×2形式の9つの問題をそれぞれ解くと、 行列の9つの要素が得られる。残りの7つの要素は、対象の行の合計と列の合計によって一意に決定される。の解は以下のとおり である。 LL ( Z ) {\displaystyle {\text{LL}}(Z)} X {\displaystyle X} X {\displaystyle {\boldsymbol {X}}}
X {\displaystyle {X}} 1 2 3 4 合計 1 253.1 91.4 40.5 15.1 400 2 91.1 147.1 39.8 21.9 300 3 39.6 36.8 64.2 9.3 150 4 16.2 24.7 55.5 53.6 150 合計 400 300 200 100 1,000
Abbott et al.(2019)から引用した別の数値例 行の合計と列の合計、およびターゲットが補完された 次の 行列を考えてみましょう。 Z {\displaystyle \color {green}Z} つまり、行列の 行の合計 と 列の合計です 。 Y {\displaystyle \color {orange}Y}
Z 1 2 3 合計 ターゲット 1 1,070 270 20 1,360 1,600 2 300 4,980 560 5,840 5,900 3 20 420 2,360 2,800 2,500 合計 1,390 5,670 2,940 10,000 ターゲット 1,390 5,670 2,940 10,000
NM法の最初のステップとして、 行列 を 、各 ( 、 、 ) のペアについて、行列 、 、 で乗算します 。これにより、次の4つの2×2行列と、それぞれの目標行合計と目標列合計が得られます。 Z {\displaystyle \color {green}Z} V i {\displaystyle {\boldsymbol {V_{i}}}} W j T {\displaystyle {\boldsymbol {W_{j}^{T}}}} i , j {\displaystyle i,j} i ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle i\in \{1,2\}} j ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle j\in \{1,2\}}
i = 1 , j = 1 {\displaystyle i=1,j=1} 1 2 合計 ターゲット 1 1,070 290 1,360 1,600 2 320 8,320 8,640 8,400 合計 1,390 8,610 10,000 ターゲット 1,390 8,610 10,000
i = 1 , j = 2 {\displaystyle i=1,j=2} 1 2 合計 ターゲット 1 1,340 20 1,360 1,600 2 5,720 2,920 8,640 8,400 合計 7,060 2,940 10,000 ターゲット 7,060 2,940 10,000
i = 2 , j = 1 {\displaystyle i=2,j=1} 1 2 合計 ターゲット 1 1,370 5,830 7,200 7,500 2 20 2,780 2,800 2,500 合計 1,390 8,610 10,000 ターゲット 1,390 8,610 10,000
i = 2 , j = 2 {\displaystyle i=2,j=2} 1 2 合計 ターゲット 1 6,620 580 7,200 7,500 2 440 2,360 2,800 2,500 合計 7,060 2,940 10,000 ターゲット 7,060 2,940 10,000
次のステップは、一般化行列値Liu-Lu指数 （ ）を計算することです。これは、元のスカラー値Liu-Lu指数の式を4つの行列のそれぞれに適用することによって行われます。 LL ( Z ) {\displaystyle {\text{LL}}({Z})} LL ( Z ) i , j = LL ( V i Z W j T ) {\displaystyle {\text{LL}}({Z})_{i,j}={\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})}
LL(Z) {\displaystyle {\text{LL(Z)}}} j = 1 {\displaystyle j=1} j = 2 {\displaystyle j=2} i = 1 {\displaystyle i=1} 0.75 0.95 i = 2 {\displaystyle i=2} 0.95 0.78
明らかに、行列は 正です。したがって、NM法が定義されます。2×2形式の4つの問題をそれぞれ解くと、 行列の4つの要素が得られます。残りの5つの要素は、対象の行の合計と列の合計によって一意に決定されます。 LL ( Z ) {\displaystyle {\text{LL}}(Z)} X {\displaystyle X} 解決策は 次のとおりです。 X {\displaystyle {\boldsymbol {X}}}
X {\displaystyle {X}} 1 2 3 合計 1 1,101 476 24 1,600 2 271 4,819 809 5,900 3 18 375 2,107 2,500 合計 1,390 5,670 2,940 10,000
実装 NM法はExcel [5] 、 Visual Basic [5] 、R [5] 、Stata [6]でも実装されています。
アプリケーション NM法は、 同類婚姻、 社会移動 の一種としての世代間移動 、 [7] 居住地の分離 、 採用 および 人材管理 など、さまざまな現象の研究に適用できます。
これらすべての応用において、行列 、 、 は、 1 対 1 でマッチングされたエンティティ (夫と妻、第一子と母親、住居と主なテナント、CEO と会社、チェスのインストラクターとその最も才能のある生徒など) の結合分布を表します。エンティティは、二値 カテゴリ変数 (ベジタリアン/非ベジタリアン、グランドマスター/それ以外などの値を取る)、または順序付き多項式カテゴリ変数 (最終学歴のレベル、スキーヤーの能力レベル、収入範囲、レンタル料金のカテゴリ、 信用格付け 、 FIDE タイトル など ) によって特徴付けられます。NM 法は広範囲に適用できますが、次に提示するすべての例は、教育レベルに沿った同類婚姻に関するものです。これらの応用では、2 つの前提条件 (順序付き特性変数、およびすべての教育グループでの正の同類婚姻) が満たされるかどうかは議論されません。 X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} Z {\displaystyle Z}
仮定する 行列は ジンバブエにおける夫婦の共同教育配分を特徴づけ、行列は イエメンにおける共同教育配分を特徴づける。NM 法を用いて構築される行列は、夫婦の教育配分がイエメンと同じで、同質 婚 への全体的な願望（経済学では集約的婚姻選好、社会学では婚姻のマッチングに関する 社会規範 ／社会障壁とも呼ばれる）が変化しなかった場合、ジンバブエの夫婦の共同教育配分がどうなるかを示している。 Z {\displaystyle Z} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X}
で 2つ目の応用として、行列 と行列は、 2つの異なる年における同じ国の特徴を示します。行列は、 2040年のアメリカ人の新婚夫婦の共同教育分布です。夫はZ世代で、観測時には若年成人です。行列は 同じですが、2024年に観測されたY世代です。行列を作成することで 、将来、Z世代の男性とそのパートナーと同じように結婚を分類し、Y世代の男性とそのパートナーの教育レベルと同じレベルであった場合、新婚のアメリカ人の若いカップルの教育分布がどうなるかを研究することができます。 Z {\displaystyle Z} Y {\displaystyle Y} Z {\displaystyle Z} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X}
で 3つ目の応用では、行列を用い て、 同じ国を2つの異なる年で特徴づけます。この応用では、行列 は2011年のポルトガルの若いカップル（男性パートナーの年齢が30歳から34歳）の共同教育分布です。そして、 同じものですが、1981年に観測されたものです。 ポルトガルの若いカップルが2011年の同年代のカップルと同じように結婚していた場合、性別別の教育分布は1981年と同じであったとしたら、彼らの教育分布はどうなっていたかを研究するために、行列を作成することを目的とすることができます。 Z {\displaystyle Z} Y {\displaystyle Y} Z {\displaystyle Z} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X}
最初の 2 つのアプリケーションのそれぞれにおいて、行列は 反事実的結合分布を表します。これを使用して、特定の ceteris paribus 効果を定量化できます。より正確には、 反事実的分解によって、ジンバブエとイエメン、またはジェネレーション Z とジェネレーション Y における直接観察できない結婚選別の程度の差を 基数スケール で定量化します。分解では、反事実的表を使用して、各推進力 (つまり、人口レベルでの機会を決定するさまざまな教育レベルの潜在的なパートナーの観察された構造的可用性、および観察できない非構造的推進力 (例: 集約的なマッチングの好み、欲求、規範、障壁) とそれらの相互作用 (つまり、構造的可用性の変化による集約的な好み/欲求/規範/障壁の変化の影響) の、観察可能な基数スケールの統計 (例: 教育的に同質のカップル の割合) への寄与を計算します。 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X}
3つ目の応用は、NaszodiとMendonca (2023) [1] によって、ナンセンスな反事実の例として用いられました。ポルトガルでは、研究対象となった30年間で教育水準が劇的に変化したため、この反事実を得ることは 不可能 です。驚くべきことに、最近まで同類婚姻に関する文献で一般的に用いられていた手法は、3つ目の例の不可能な反事実の解を幻覚的に提示しますが、NM法はそれを構築することを拒否します。
NM法の特徴 まず、NM法は適用限界に達すると意味のある解を生成しません。 [1] 例えば、3番目の適用では、NM法は行列に負の値を入れることで 反事実が不可能であることを示します（AlternativeMethod_US_1980s_2010s_age3035_main.xls Sheet PT_A1981_P2011_Not_meaningful を参照）。 [5] この点で、NM法は 単位区間 外の予測確率で同じことを示す 線形確率モデル に似ています。 X {\displaystyle X} [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]}
第二に、NM法は行変数の隣接カテゴリと列変数の隣接カテゴリをマージすることで可換である： [1] 、ここで はサイズ の行マージ行列であり 、 は サイズ の列マージ行列である 。 NM ( M r Z , M r Y e m T , M r e n Y ) = M r NM ( Z , Y e m T , e n Y ) {\displaystyle {\text{NM}}(M_{r}Z,M_{r}Ye_{m}^{T},M_{r}e_{n}Y)=M_{r}{\text{NM}}(Z,Ye_{m}^{T},e_{n}Y)} M r {\displaystyle M_{r}} ( n − 1 ) × n {\displaystyle (n-1)\times n} NM ( Z M c , Y e m T M c , e n Y M c ) = NM ( Z , Y e m T , e n Y ) M c {\displaystyle {\text{NM}}(ZM_{c},Ye_{m}^{T}M_{c},e_{n}YM_{c})={\text{NM}}(Z,Ye_{m}^{T},e_{n}Y)M_{c}} M c {\displaystyle M_{c}} m × ( m − 1 ) {\displaystyle m\times (m-1)}
第三に、NM法は行列にゼロの要素があっても機能します 。 [1] Z {\displaystyle Z}
IPFとの比較 反復 比例フィッティング 法（IPF）も関数です： [8] [9] [10] [11] 。これは、NM法で構築された 行列が満たす条件と同様の条件を満たすフィッティング行列 （ ） を求める操作です。例えば、行列 は 行列 に最も近いものです が、行と列の合計は目標行列 と同じです 。 IPF ( Z , Y e m T , e n Y ) : R n × m × R n × R m ↦ R n × m {\displaystyle {\text{IPF}}(Z,Ye_{m}^{T},e_{n}Y):\mathbb {R} ^{n\times m}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\mapsto \mathbb {R} ^{n\times m}} F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} F ∈ R n × m {\displaystyle F\in \mathbb {R} ^{n\times m}} X {\displaystyle X} F {\displaystyle F} Z {\displaystyle {\boldsymbol {Z}}} Y {\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}
しかし、IPF法とNM法には違いがあります。IPF法では、同じサイズの行列の近さを クロスエントロピー 、あるいは カルバック・ライブラー距離 によって定義します。 [12] したがって、2×2行列と間のIPF互換概念の距離は 、 それらのクロス積比 [11] （ オッズ比 とも呼ばれる ）が同じであればゼロになります 。 [13] NM法における行列とが等しい順位付けをするための条件 は です 。 F {\displaystyle F} Z {\displaystyle Z} F 1 , 1 F 2 , 2 / F 1 , 2 F 2 , 1 = Z 1 , 1 Z 2 , 2 / Z 1 , 2 Z 2 , 1 {\displaystyle {F_{1,1}F_{2,2}}/{F_{1,2}F_{2,1}}={Z_{1,1}Z_{2,2}}/{Z_{1,2}Z_{2,1}}} X {\displaystyle X} Z {\displaystyle Z} LL ( X ) = X 1 , 1 − i n t [ X 1 , . X . , 1 / X . , . ] min ( X 1 , . , X . , 1 ) − i n t [ X 1 , . X . , 1 / X . , . ] = Z 1 , 1 − i n t [ Z 1 , . Z . , 1 / Z . , . ] min ( Z 1 , . , Z . , 1 ) − i n t [ Z 1 , . Z . , 1 / Z . , . ] = LL ( Z ) {\displaystyle {\text{LL}}(X)={\frac {X_{1,1}-int[{X_{1,.}X_{.,1}}/{X_{.,.}}]}{{\text{min}}(X_{1,.},X_{.,1})-int[{X_{1,.}X_{.,1}}/{X_{.,.}}]}}={\frac {Z_{1,1}-int[{Z_{1,.}Z_{.,1}}/{Z_{.,.}}]}{{\text{min}}(Z_{1,.},Z_{.,1})-int[{Z_{1,.}Z_{.,1}}/{Z_{.,.}}]}}={\text{LL}}(Z)}
次の数値例は、IPF法とNM法が同一ではないことを示しています。 ターゲット を持つ 行列 を考えてみましょう 。 IPF ( Z , Y e m T , e n Y ) ≠ NM ( Z , Y e m T , e n Y ) {\displaystyle {\text{IPF}}(Z,Ye_{m}^{T},e_{n}Y)\neq {\text{NM}}(Z,Ye_{m}^{T},e_{n}Y)} Z {\displaystyle \color {Green}Z}
1 2 合計 ターゲット 1 450 150 600 1,050 2 50 350 400 450 合計 500 500 ターゲット 1,000 500 1,500
NM法では次の行列が生成されます 。 X {\displaystyle X}
X {\displaystyle X} 1 2 合計 1 925 125 1,050 2 75 375 450 合計 1,000 500 1,500
一方、 IPF で得られる 行列の解は次のようになります。 F {\displaystyle F}
F {\displaystyle F} 1 2 合計 1 900 150 1,050 2 100 350 450 合計 1,000 500 1,500
IPFは、 結合人口分布の 最大尤度推定量 [10] に相当し、ここで、行列（結合人口分布の推定値）は 、行列の行合計と列合計によって特徴付けられる母集団からランダムに抽出されたサンプルにおける観測された結合分布である行列から計算されます 。IPFが解決する問題とは対照的に、 NM法が解決するために開発された問題では、行列はこの母集団からサンプリングされません。実際、NM問題では、行列 とが 2つの異なる母集団を特徴付けます（ジンバブエとイエメンへの適用のように同時に観測される場合もあれば、ジェネレーションZとジェネレーションYの母集団への適用のように2つの異なる時点で観測される場合もあります）。この違いにより、実証的な応用においてNM法とIPFの選択が容易になります。 [13] F {\displaystyle F} Z {\displaystyle Z} Y {\displaystyle Y} Z {\displaystyle Z} Z {\displaystyle Z} Y {\displaystyle Y}
IPFの発明者である デミング と ステファン （1940） [14] は、行列の行合計と列合計によって特徴付けられる母集団から行列をサンプリングする古典的な最大尤度推定問題への彼らの手法の適用例を 示した。彼らは、IPFが一般に反事実的予測には適していないことを認識しており、彼らのアルゴリズムは「それ自体では予測には役立たない」と明確に警告した（ステファンとデミング 1940 p. 444を参照）。 [14] [13] Z {\displaystyle Z} Y {\displaystyle Y}
さらに、IPF法とNM法では解が得られる領域が異なります。第一に、NM法とは異なり、IPF法はすべての ゼロエントリのシードテーブルに対して解を与えるわけではありません（Csiszár (1975) [15] は、ゼロエントリの一般的なテーブルにIPFを適用するための必要十分条件を見いだしました）。第二に、NM法の前提条件（または ） は、IPFの適用可能性の前提条件ではありません。 Z {\displaystyle {Z}} LL ( Z ) ≥ 0 {\displaystyle {\boldsymbol {{\text{LL}}(Z)\geq 0}}} LL ( Z ) ≤ 0 {\displaystyle {\boldsymbol {{\text{LL}}(Z)\leq 0}}} 第三に、NMとは異なり、IPFは、ポルトガルの3番目の数値例の行列のペアのように、行列のペア と 不可能な反事実の定義に対して、一見意味のある解を提供します（Naszodi 2025 [16] ）。 Z {\displaystyle {Z}} Y {\displaystyle {Y}}
最後に、NMとは異なり、IPFは行変数と列変数の隣接するカテゴリをマージする操作と交換できません。これはNaszodi(2023)の数値例（10ページ参照）で示されています。 [17] このため、IPFで得られる変換表は、特性カテゴリの数の選択に敏感になる可能性があります。
ケネス・マクドナルド（2023） [18]は、IPFはサンプリング補正課題には適しているが、反事実生成には適していないというナゾディ（2023） [19]
の結論に
納得している。ナゾディと同様に、マクドナルドも、IPFの行と列の比例変換が、社会移動を研究するための分割表における連関構造を維持するかどうかに疑問を呈している。
最小ユークリッド距離アプローチとの比較 最小ユークリッド距離アプローチ（MEDA）（FernándezとRogerson（2001）に続いてAbbottら（2019）によって定義）も関数である： [20] [21] 。 MEDA ( Z , Y e m T , e n Y ) : R n × m × R n × R m ↦ R n × m {\displaystyle {\text{MEDA}}(Z,Ye_{m}^{T},e_{n}Y):\mathbb {R} ^{n\times m}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\mapsto \mathbb {R} ^{n\times m}}
まず、MEDAは行列 にスカラーを割り当てます。これは 、 とのユークリッド距離を最小化することにより 、2つの極端なケース（周辺分布 のペアとのランダムかつ完全な同類マッチング）の 凸結合 を構築するために使用される重み です。例えば、このスカラーは、 Abbottら(2019)の数値例に含まれています。 [20] 次に、任意の反事実的周辺分布のペア( )に対して、MEDAは2つの極端なケース（周辺分布のペア（ ）とのランダムかつ完全な同類マッチング）の凸結合を構築します 。 Z {\displaystyle Z} ( Z e m T , e n Z ) {\displaystyle (Ze_{m}^{T},e_{n}Z)} Z {\displaystyle Z} v = 0.265 {\displaystyle v=0.265} Y e m T , e n Y {\displaystyle Ye_{m}^{T},e_{n}Y} Y e m T , e n Y {\displaystyle Ye_{m}^{T},e_{n}Y}
NMとMEDAの相違点：NMは一般化行列値Liu-Lu指数を 固定することで類別性を維持しますが、MEDAはスカラーを 固定することで類別性を維持します。 、および サイズの行列の場合、 2つの方法は、 スカラー値Liu-Lu指数と同じように分割表をランク付けすれば、同じ変換表を生成します。 [22] しかし、 2×2よりも大きな行列の場合、一般化Liu-Lu指数は行列値であるため、スカラー値とは異なります 。したがって、NM変換表はMEDA変換表とも異なります。 LL ( Z ) {\displaystyle {\text{LL}}({Z})} v {\displaystyle v} Y {\displaystyle Y} Z {\displaystyle Z} 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} v {\displaystyle v} Z {\displaystyle {Z}} v ( Z ) {\displaystyle v({Z})}
例えば、Abbott et al.(2019)の数値例では、MEDAによって構築された対事実表は 行列は次のようになります 。 F {\displaystyle F}
F {\displaystyle F} 1 2 3 合計 1 1,081 240 279 1,600 2 217 5,054 629 5,900 3 92 376 2,032 2,500 合計 1,390 5,670 2,940 10,000
行列と行列 の差は 無視できない。例えば、MEDA構築の反事実行列では同性婚カップルの割合は 観測行列よりも2パーセントポイント小さいが 、NM構築の反事実行列では観測 行列よりも3.4パーセントポイント小さい 。 F {\displaystyle F} X {\displaystyle X} F {\displaystyle F} Z {\displaystyle Z} X {\displaystyle X} Z {\displaystyle Z}
アボット氏の例は架空のものではなく、アメリカ人夫婦の実証的な教育分布に基づいているため、2 パーセント ポイントと 3.4 パーセント ポイントの差は、MEDA が NM と比較して、ある世代から別の世代への不平等の変化を著しく小さく定量化していると解釈できます。
参照
外部リンク 一般化ナゾディ・メンドンサ法（GNM法） ナゾディ, A.; メンドンサ, F. (2021). 「キューピッドの見えざる手が何をしているのかを特定する新たな方法。色覚異常を広め、配偶者教育についてより「うるさい」ように仕向けているのか？」 arXiv : 2103.06991 [econ.GN].
参考文献 ^ abcdefg Naszodi, A.; Mendonca, F. (2023). 「結婚パターンの形成における婚姻選好の役割を特定するための新たな手法」 Journal of Demographic Economics . 1 (1): 1– 27. doi : 10.1017/dem.2021.1 . ^ Naszodi, A.; Mendonca, F. (2019). 「類は友を呼ぶ」. 公平性政策概要シリーズ . 2023年3月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。 ^ ab Liu, H.; Lu, J. (2006). 「同類婚姻の程度の測定」. Economics Letters . 92 (3): 317– 322. doi : 10.1016/j.econlet.2006.03.010 . ^ ab Coleman, J. (1958). 「関係分析：調査法による社会組織の研究」『 人間組織 論』 17 (4): 28– 36. doi :10.17730/humo.17.4.q5604m676260q8n7. ^ abcd ナゾディ、アンナ;メンドンカ、フランシスコ（2021）。 「新しいメソッドのコード」。 ２ ．メンデリー。 土井 ：10.17632/x2ry7bcm95.2。 ^ Naszodi, Anna; Mendonca, Francisco (2023). 「Assortative Mating」. 「キューピッドの見えざる手が何をしているのかを特定する新しい方法。それは色覚異常を広め、配偶者教育について私たちをより「うるさい」ようにしているのか？」のコード 。第2巻。Mendeley. doi :10.17632/95k6mmrxvg. ^ Naszodi, A.; Cuccu, L. (2024). 「米国では高校卒業資格と大学卒業資格は同等に継承されるのか？ 相対的な世代間流動性の新たな指標」 応用経済学ジャーナル 28 ( 3) 2432803. doi :10.1080/15140326.2024.2432803. ^ シンクホーン、リチャード (1964). 「任意の正値行列と二重確率行列の関係」 Annals of Mathematical Statistics 35.2, pp. 876–879. ^ バカラック、マイケル (1965). 「周辺データからの非負値行列の推定」 International Economic Review 6.3, pp. 294–310. ^ ab Bishop, YMM (1967). 「多次元分割表：セル推定」. ハーバード大学博士論文 . ^ ab Fienberg, SE (1970). 「分割表における推定のための反復手順」 Annals of Mathematical Statistics . 41 (3): 907– 917. doi : 10.1214/aoms/1177696968 . JSTOR 2239244. MR 0266394. Zbl 0198.23401. ^ Kullback S.とLeibler RA (1951) 情報と十分性について、Annals of Mathematics and Statistics、22 (1951) 79-86。 ^ abc Naszodi, A. (2023). 「反復比例フィッティングアルゴリズムとNM法：2つの異なる問題に対する解法」 arXiv : 2303.05515 [econ.GN]. ^ ab Deming, WE ; Stephan, FF (1940). 「期待周辺合計が既知の場合の標本頻度表の最小二乗法による調整について」 Annals of Mathematical Statistics . 11 (4): 427– 444. doi : 10.1214/aoms/1177731829 . MR 0003527. ^ Csiszár, I. (1975). 「確率分布のI-ダイバージェンスと最小化問題」 Annals of Probability . 3 (1): 146– 158. doi : 10.1214/aop/1176996454 . JSTOR 2959270. MR 0365798. Zbl 0318.60013. ^ Naszodi, A. (2025). 選好婚姻の分析による不平等測定のための新しい手法. Springerの人口統計学的手法と人口分析シリーズ. Springer Cham. ISBN 978-3-031-98276-7 。 ^ Naszodi, A. (2023). 「調査は不平等の歴史的傾向と2つの表変換法の適用可能性について何を語っているか？」 arXiv : 2303.05895 [econ.GN]. ^ Macdonald, K. (2023). 「モビリティ表の限界調整の再考」 OSF : 1–19 . ^ Naszodi, A. (2023). 「反復比例フィッティングアルゴリズムとNM法：2つの異なる問題に対する解法」 arXiv : 2303.05515 [econ.GN]. ^ Abbott, B.; Gallipoli, G.; Meghir, C.; Violante, GL (2019). 「均衡状態における教育政策と世代間移転」. Journal of Political Economy . 127 (6): 2569– 2624. doi :10.1086/702241. hdl : 10419/173937 . S2CID 14693929. ^ Fernández, R.; Rogerson, R. (2001). 「ソーティングと長期不平等」 (PDF) . The Quarterly Journal of Economics . 116 (4): 1305– 1341. doi :10.1162/003355301753265589. ^ Chiappori, PA.; Costa-Dias, M.; Meghir, C. (2021). 「結婚におけるアソート性の測定：コメント」 Cowles Foundation Discussion Paper NO. 2316 . 
![{\displaystyle Q^{-}(Z_{1,1})=int[Q(Z_{1,1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450385d4bf09478ebaa7bf199de591534c5ef31f)
![{\displaystyle X_{1,1}={\frac {\left[Z_{1,1}-{\text{int}}\left({Z_{1,\cdot }Z_{\cdot ,1}}/{Z_{\cdot ,\cdot }}\right)\right]\left[{{\text{min}}\left(Y_{1,\cdot },Y_{\cdot ,1}\right)-{\text{int}}\left({Y_{1,\cdot }Y_{\cdot ,1}}/{Y_{\cdot ,\cdot }}\right)}\right]}{{\text{min}}\left(Z_{1,\cdot },Z_{\cdot ,1}\right)-{\text{int}}\left({Z_{1,\cdot }Z_{\cdot ,1}}/{Z_{\cdot ,\cdot }}\right)}}+{\text{int}}\left({Y_{1,\cdot }Y_{\cdot ,1}}/{Y_{\cdot ,\cdot }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac6eb3167d20aad85486d752e0209ca3b019c25)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle {\text{LL}}(X)={\frac {X_{1,1}-int[{X_{1,.}X_{.,1}}/{X_{.,.}}]}{{\text{min}}(X_{1,.},X_{.,1})-int[{X_{1,.}X_{.,1}}/{X_{.,.}}]}}={\frac {Z_{1,1}-int[{Z_{1,.}Z_{.,1}}/{Z_{.,.}}]}{{\text{min}}(Z_{1,.},Z_{.,1})-int[{Z_{1,.}Z_{.,1}}/{Z_{.,.}}]}}={\text{LL}}(Z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907f524bbc066cf28d5b1f9ae86892ac3daa875b)
