新フック立体

Hyperelastic material model

新フック固体^{[1] [2]は、}フックの法則に類似した超弾性材料モデルであり、大変形を受ける材料の非線形応力-ひずみ挙動を予測するために使用できます。このモデルは、不変量を用いて1948年にロナルド・リブリンによって提案されましたが、ムーニーは1940年に既に伸張形式のバージョンを記述しており、ウォールは1942年にフックモデルとのせん断における同等性を指摘していました。

線形弾性材料とは対照的に、ネオフック材料の応力-ひずみ曲線は線形ではありません。代わりに、印加応力とひずみの関係は最初は線形ですが、ある時点で応力-ひずみ曲線は平坦になります。ネオフックモデルは、材料をひずませる際にエネルギーが熱として散逸的に放出されることを考慮せず、変形の全段階で完全な弾性が仮定されます。ネオフック材料は、物理材料のモデル化に使用されるだけでなく、圧縮下における安定性と高度な非線形挙動により、第三媒質接触法などの仮想媒質アプローチでもよく使用されます。

ネオフックモデルは、架橋ポリマー鎖の統計熱力学に基づいており、プラスチックやゴムのような物質に使用できます。架橋ポリマーは、応力が加えられた当初はポリマー鎖が互いに相対的に動くことができるため、ネオフック的に作用します。しかし、ある時点でポリマー鎖は共有結合架橋が許容する最大点まで引き伸ばされ、材料の弾性率が劇的に増加します。ネオフック材料モデルは、大きなひずみにおける弾性率の増加を予測せず、通常、20%未満のひずみに対してのみ正確です。^[3] このモデルは二軸応力状態にも不十分であり、Mooney–Rivlinモデルに取って代わられました。

ひずみエネルギー関数の定式化において最も一般的であり、おそらく最も広く用いられているのは、ムーニー・リブリンモデルである。これは広く知られている新フックモデルに帰着する。非圧縮性ムーニー・リブリン材料のひずみエネルギー密度関数は、

${\displaystyle W=C_{10}(I_{1}-3)+C_{01}(I_{2}-3);~I_{3}=1}$

設定は（非圧縮）新フックひずみエネルギー関数に減少する ${\displaystyle C_{01}=0}$

${\displaystyle W=C_{1}(I_{1}-3)}$

ここで、 は物質定数であり、は左コーシー・グリーン変形テンソルの第一主不変量（トレース）である。すなわち、 ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle I_{1}=\mathrm {tr} (\mathbf {B} )=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}}$

ここで主伸縮はである。^[2]同様に、第2および第3主不変量は ${\displaystyle \lambda _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}&={\frac {1}{2}}{\big (}I_{1}^{2}-\mathrm {tr} (\mathbf {B} )^{2}{\big )}\\I_{3}&=\mathrm {det} (\mathbf {B} )=\mathrm {det} (\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T})=(\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3})^{2}=J^{2}\end{aligned}}}$

ここで、 は変形勾配である。非圧縮性の仮定（ ）を緩和すると、圧縮性材料の静水力学的仕事項を追加することができるが、最初の2つの項は偏差項と体積項を切り離すように調整する必要があり、結果として ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle J=1}$ ${\displaystyle W_{H}(I_{3})}$

${\displaystyle W=C_{10}({\bar {I}}_{1}-3)+C_{01}({\bar {I}}_{2}-3)+D_{1}(J-1)^{2}}$

どこ

${\displaystyle {\bar {I}}_{1}=I_{1}J^{-2/3},~~~{\bar {I}}_{2}=I_{2}J^{-4/3}}$

ムーニー・リブリン材料は新フック材料であるため、圧縮性新フックひずみエネルギー密度は次のように与えられる。 ${\displaystyle C_{01}=0}$

${\displaystyle W=C_{1}(I_{1}J^{-2/3}-3)+D_{1}(J-1)^{2}}$

ここで、は材料定数です。 ${\displaystyle D_{1}}$

これは超弾性測定で用いられるいくつかのひずみエネルギー関数の一つであることに注意してください。例えば、いくつかの新フックモデルには、次のような追加の項 が含まれています。 ${\displaystyle \ln J}$

${\displaystyle W=C_{1}(I_{1}-3-2\ln J)+D_{1}(J-1)^{2}}$

最後に、線形弾性との整合性のために、

${\displaystyle C_{1}={\frac {\mu }{2}}~;~~D_{1}={\frac {\kappa }{2}}}$

ここで、 は体積弾性係数、はせん断弾性係数または第2ラメパラメータです。^[4]および の代替定義が、特にAbaqusなどの商用有限要素解析ソフトウェアで使用されることがあります。^[5] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle D_{1}}$

変形テンソルによるコーシー応力

圧縮可能なネオフック素材

圧縮性新フック材料の場合、コーシー応力は次のように表される。

${\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})=-p~{\boldsymbol {I}}+{\frac {2C_{1}}{J^{2/3}}}\operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})}$

ここで、左コーシー・グリーン変形テンソル、 ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$

${\displaystyle p:=-2D_{1}~J(J-1)~;~\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})={\bar {\boldsymbol {B}}}-{\tfrac {1}{3}}{\bar {I}}_{1}{\boldsymbol {I}}~;~~{\bar {\boldsymbol {B}}}=J^{-2/3}{\boldsymbol {B}}~.}$

微小ひずみ（） の場合 ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

${\displaystyle J\approx 1+\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~;~~{\boldsymbol {B}}\approx {\boldsymbol {I}}+2{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

コーシー応力は次のように表される。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\approx 4C_{1}\left({\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\boldsymbol {I}}\right)+2D_{1}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\boldsymbol {I}}}$

フックの法則と比較すると、と がそれぞれせん断弾性係数と体積弾性係数であることがわかります。 ${\displaystyle \mu =2C_{1}}$ ${\displaystyle \kappa =2D_{1}}$

証拠：

圧縮性超弾性材料におけるコーシー応力は次のように表される。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left({\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}-{\cfrac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {I}}}$ 圧縮可能なネオフックアン材料の場合、 ${\displaystyle {\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}=C_{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}=0~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}=2D_{1}(J-1)}$ したがって、圧縮性新フック材料におけるコーシー応力は次のように表される。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}~C_{1}~{\boldsymbol {B}}\right]+\left[2D_{1}(J-1)-{\cfrac {2}{3J}}~C_{1}{\bar {I}}_{1}\right]{\boldsymbol {I}}}$ 左コーシー・グリーン変形テンソルの等容積部が と定義されるとき、新フック応力は次のように表すことができる。 ${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}=J^{-2/3}{\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2C_{1}}{J}}\left[{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\tfrac {1}{3}}{\bar {I}}_{1}{\boldsymbol {I}}\right]+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}={\cfrac {2C_{1}}{J}}\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}}$ 数量 ${\displaystyle p:=-2D_{1}~J(J-1)~;~~p^{*}=-2D_{1}~J(J-1)+2C_{1}}$ 圧力の形を持ち、通常はそのように扱われる。新フックの応力は次のように表される。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}=-p{\boldsymbol {I}}+2C_{1}\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})}$

非圧縮性ネオフックアン材料

非圧縮性新フック材料の場合、 ${\displaystyle J=1}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}{\boldsymbol {B}}}$

ここで、は未定の圧力です。 ${\displaystyle p}$

主伸張の観点から見たコーシー応力

圧縮可能なネオフック素材

圧縮性新フック型超弾性材料の場合、コーシー応力の主成分は次のように表される。

${\displaystyle \sigma _{i}=2C_{1}J^{-5/3}\left[\lambda _{i}^{2}-{\cfrac {I_{1}}{3}}\right]+2D_{1}(J-1)~;~~i=1,2,3}$

したがって、主応力間の差は

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})}$

証拠：

圧縮性超弾性材料の場合、コーシー応力の主成分は次のように表される。 ${\displaystyle \sigma _{i}={\cfrac {\lambda _{i}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}~;~~i=1,2,3}$ 圧縮性ネオフック材料のひずみエネルギー密度関数は ${\displaystyle W=C_{1}({\bar {I}}_{1}-3)+D_{1}(J-1)^{2}=C_{1}\left[J^{-2/3}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})-3\right]+D_{1}(J-1)^{2}}$ したがって、 ${\displaystyle \lambda _{i}{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}=C_{1}\left[-{\frac {2}{3}}J^{-5/3}\lambda _{i}{\frac {\partial J}{\partial \lambda _{i}}}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})+2J^{-2/3}\lambda _{i}^{2}\right]+2D_{1}(J-1)\lambda _{i}{\frac {\partial J}{\partial \lambda _{i}}}}$ 私たちは ${\displaystyle J=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}{\frac {\partial J}{\partial \lambda _{i}}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=J}$ したがって、 ${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{i}{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}&=C_{1}\left[-{\frac {2}{3}}J^{-2/3}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})+2J^{-2/3}\lambda _{i}^{2}\right]+2D_{1}J(J-1)\\&=2C_{1}J^{-2/3}\left[-{\frac {1}{3}}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})+\lambda _{i}^{2}\right]+2D_{1}J(J-1)\end{aligned}}}$ したがって、主コーシー応力は次のように与えられる。 ${\displaystyle \sigma _{i}=2C_{1}J^{-5/3}\left[\lambda _{i}^{2}-{\cfrac {I_{1}}{3}}\right]+2D_{1}(J-1)}$

非圧縮性ネオフックアン材料

主伸張に関して、非圧縮性超弾性材料のコーシー応力差は次のように表される。

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}}$

非圧縮性ネオフックアン材料の場合、

${\displaystyle W=C_{1}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3)~;~~\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}$

したがって、

${\displaystyle {\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}=2C_{1}\lambda _{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}=2C_{1}\lambda _{3}}$

これにより

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})C_{1}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})C_{1}}$

一軸伸長

圧縮可能なネオフック素材

圧縮性ネオフック材料が様々な値に対して一軸伸長の関数として予測する真応力。材料特性は天然ゴムの代表的な特性である。 ${\displaystyle C_{1},D_{1}}$

一軸伸長する圧縮性材料の場合、主な伸長は

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}=\lambda _{3}={\sqrt {\tfrac {J}{\lambda }}}~;~~I_{1}=\lambda ^{2}+{\tfrac {2J}{\lambda }}}$

したがって、圧縮性新フック材料の真（コーシー）応力は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&={\cfrac {4C_{1}}{3J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)+2D_{1}(J-1)\\\sigma _{22}&=\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{3J^{5/3}}}\left({\tfrac {J}{\lambda }}-\lambda ^{2}\right)+2D_{1}(J-1)\end{aligned}}}$

応力差は次のように表される。

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=0}$

材料が拘束されていない場合は、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}$

${\displaystyle \sigma _{11}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)}$

の2つの式を等しくすると、の関数としての関係が得られる。すなわち、 ${\displaystyle \sigma _{11}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\cfrac {4C_{1}}{3J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)+2D_{1}(J-1)={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)}$

または

${\displaystyle D_{1}J^{8/3}-D_{1}J^{5/3}+{\tfrac {C_{1}}{3\lambda }}J-{\tfrac {C_{1}\lambda ^{2}}{3}}=0}$

上記の方程式は、ニュートン・ラプソン反復根探索法を使用して数値的に解くことができます。

非圧縮性ネオフックアン材料

フックの法則(1)、新フック立体(2)、ムーニー・リブリン立体モデル(3)の実験結果（点）と予測の比較

一軸伸長の下では、そして。したがって、 ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda \,}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=\lambda _{3}=1/{\sqrt {\lambda }}}$

${\displaystyle \sigma _{22}-\sigma _{33}=0}$

ここで、 は工学ひずみである。この式は、しばしば次のように別の表記法で書かれる。 ${\displaystyle \varepsilon _{11}=\lambda -1}$

${\displaystyle T_{11}=2C_{1}\left(\alpha ^{2}-{\cfrac {1}{\alpha }}\right)}$

上記の式は真応力（伸長力と変形断面積の比）に関するものです。工学応力の場合は次の式になります。

${\displaystyle \sigma _{11}^{\mathrm {eng} }=2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$

小さな変形の場合は次のようになります。 ${\displaystyle \varepsilon \ll 1}$

${\displaystyle \sigma _{11}=6C_{1}\varepsilon =3\mu \varepsilon }$

したがって、一軸伸長における新フック固体の等価ヤング率はであり、これは線形弾性（非圧縮性の場合は）と一致する。 ${\displaystyle 3\mu }$ ${\displaystyle E=2\mu (1+\nu )}$ ${\displaystyle \nu =0.5}$

等二軸延長

圧縮可能なネオフック素材

圧縮性ネオフック材料によって予測される二軸伸長の関数としての真応力は、様々な値に対して表されます。材料特性は天然ゴムの代表的なものです。 ${\displaystyle C_{1},D_{1}}$

等二軸伸長の場合

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda ~;~~\lambda _{3}={\tfrac {J}{\lambda ^{2}}}~;~~I_{1}=2\lambda ^{2}+{\tfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}}$

したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&=2C_{1}\left[{\cfrac {\lambda ^{2}}{J^{5/3}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)\\&=\sigma _{22}\\\sigma _{33}&=2C_{1}\left[{\cfrac {J^{1/3}}{\lambda ^{4}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)\end{aligned}}}$

ストレスの違いは

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)}$

材料が平面応力状態にある場合、 ${\displaystyle \sigma _{33}=0}$

${\displaystyle \sigma _{11}=\sigma _{22}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)}$

との間にも関係があります。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle 2C_{1}\left[{\cfrac {\lambda ^{2}}{J^{5/3}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)}$

または、

${\displaystyle \left(2D_{1}-{\cfrac {C_{1}}{\lambda ^{4}}}\right)J^{2}+{\cfrac {3C_{1}}{\lambda ^{4}}}J^{4/3}-3D_{1}J-2C_{1}\lambda ^{2}=0}$

この方程式はニュートン法を使って解くことができます。 ${\displaystyle J}$

非圧縮性ネオフックアン材料

非圧縮性材料の場合、主コーシー応力の差は次の式で表される。 ${\displaystyle J=1}$

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}$

平面応力条件下では、

${\displaystyle \sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}$

純粋な膨張

純粋な膨張の場合

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=\lambda ~:~~J=\lambda ^{3}~;~~I_{1}=3\lambda ^{2}}$

したがって、圧縮性新フック材料の主コーシー応力は次のように表される。

${\displaystyle \sigma _{i}=2C_{1}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{3}}}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)+2D_{1}(\lambda ^{3}-1)}$

材料が非圧縮性である場合、主応力は任意になります。 ${\displaystyle \lambda ^{3}=1}$

下の図は、大きな三軸伸長または圧縮を達成するには極めて高い応力が必要であることを示しています。同様に、比較的小さな三軸伸長状態であっても、ゴムのような材料に非常に高い応力が生じる可能性があります。応力の大きさは体積弾性率に非常に敏感ですが、せん断弾性率には影響されません。

圧縮性ネオフック材料によって予測される等三軸伸長の関数としての真応力。様々な の値に対して。材料特性は天然ゴムの代表的な特性である。 ${\displaystyle C_{1},D_{1}}$

圧縮性ネオフック材料が様々な値に対してJの関数として予測する真応力。材料特性は天然ゴムの代表的な特性である。 ${\displaystyle C_{1},D_{1}}$

単純せん断

単純せん断の場合、基準基底に対する成分による変形勾配は^{[2]の形式となる。}

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

ここでせん断変形である。したがって、左コーシー・グリーン変形テンソルは ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

圧縮可能なネオフック素材

この場合、したがって、。さて、 ${\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})=1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2C_{1}\operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})}$

${\displaystyle \operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})={\boldsymbol {B}}-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}){\boldsymbol {I}}={\boldsymbol {B}}-{\tfrac {1}{3}}(3+\gamma ^{2}){\boldsymbol {I}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {2}{3}}\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &-{\tfrac {1}{3}}\gamma ^{2}&0\\0&0&-{\tfrac {1}{3}}\gamma ^{2}\end{bmatrix}}}$

したがってコーシー応力は次のように表される。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}{\tfrac {4C_{1}}{3}}\gamma ^{2}&2C_{1}\gamma &0\\2C_{1}\gamma &-{\tfrac {2C_{1}}{3}}\gamma ^{2}&0\\0&0&-{\tfrac {2C_{1}}{3}}\gamma ^{2}\end{bmatrix}}}$

非圧縮性ネオフックアン材料

非圧縮性新フック材料のコーシー応力の関係式を用いると、

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}{\boldsymbol {B}}={\begin{bmatrix}2C_{1}(1+\gamma ^{2})-p&2C_{1}\gamma &0\\2C_{1}\gamma &2C_{1}-p&0\\0&0&2C_{1}-p\end{bmatrix}}}$

このように、ネオフック型固体は、せん断応力がせん断変形に対して線形依存性を示し、法線応力差がせん断変形に対して二次依存性を示す。圧縮性および非圧縮性のネオフック型物質の単純せん断におけるコーシー応力の式は、同じ量を表し、未知の圧力を決定する手段となる。 ${\displaystyle p}$

参考文献

1. Treloar, LRG (1943). 「長鎖分子ネットワークの弾性—II」ファラデー協会紀要39 : 241–246 . doi :10.1039/TF9433900241.
2. Ogden, RW (2013年4月26日). 非線形弾性変形. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-31871-4。
3. Gent、AN 編、2001 年、ゴムを使ったエンジニアリング、カール ハンザー フェルラーク、ミュンヘン。
4. Pence, TJ, & Gou, K. (2015). 非圧縮性新フック物質の圧縮性バージョンについて.固体の数学と力学, 20(2), 157–182. [1]
5. 「Abaqus（バージョン6.8）理論マニュアル」。

参照

• ひずみエネルギー密度関数
• ムーニー・リブリン固体
• 有限ひずみ理論
• ストレス対策

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