ノイマン境界条件

数学において、ノイマン（または第2種）境界条件は、カール・ノイマンにちなんで名付けられた境界条件の一種です。^[1]常微分方程式または偏微分方程式に課される場合、この条件は領域の境界に適用される導関数の値を指定します。

他の境界条件を使用して問題を記述することも可能です。ディリクレ境界条件は境界上の解自体の値（導関数ではなく）を指定しますが、コーシー境界条件、混合境界条件、ロビン境界条件はすべてノイマン境界条件とディリクレ境界条件の異なるタイプの組み合わせです。

例

例えば、常微分方程式の場合、

y''+y=0,

区間 $[a, b]$ におけるノイマン境界条件は次の形をとる。

y'(a)=\alpha ,\quad y'(b)=\beta ,

ここで、 $α$ と $β$ は与えられた数値です。

例えば偏微分方程式の場合、

\nabla ^{2}y+y=0,

ここで $\nabla 2 は$ ラプラス演算子を表し、領域 $Ω \subset R n$ 上のノイマン境界条件は次の形を取る。

{\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \in \partial \Omega ,

ここで、 $nは$ 境界 $\partialΩ$ に対する（通常は外部の）法線を表し、 f $は与えられた$ スカラー関数です。

左側に現れる正規微分は次のように定義される。

{\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),

ここで $、\nabla y (x)$ は $y$ $($ $x$ $)$ の勾配ベクトル、 $n̂$ は単位法線、 $\cdot は$ 内積演算子を表します。

たとえば、境界上の角の点では法線ベクトルが明確に定義されていないため、法線導関数が存在できるように境界は十分に滑らかでなければならないことが明らかになります。

以下のアプリケーションでは、ノイマン境界条件が使用されます。

熱力学では、表面からの所定の熱流束が境界条件として機能します。例えば、完全な絶縁体では熱流束は発生しませんが、電気部品では既知の電力で熱が放散される場合があります。
静磁気学では、永久磁石モータなどの空間内の磁石配列における磁束密度分布を求めるために、磁場強度を境界条件として規定することができます。静磁気学の問題は、磁気スカラーポテンシャルに対するラプラス方程式またはポアソン方程式を解くことを伴うため、境界条件はノイマン条件となります。
空間生態学では、フィッシャー方程式などの反応拡散系におけるノイマン境界条件は、 $\partialΩに遭遇するすべての個体が$ $Ω$ に反射されるような反射境界として解釈することができる。^[2]

^ Cheng, AH-D.; Cheng, DT (2005). 「境界要素法の伝統と初期の歴史」.境界要素法による工学解析. 29 (3): 268. doi :10.1016/j.enganabound.2004.12.001.
^カントレル 、ロバート・スティーブン、コスナー、クリス（2003年）。反応拡散方程式による空間生態学。ワイリー。pp. 30– 31。ISBN 0-471-49301-5。