中性粒子振動

Quantum mechanical transmutation of neutral particles

素粒子物理学において、中性粒子振動とは、電荷ゼロの粒子が、その量子数を保存しない相互作用を介して、ゼロでない内部量子数の変化によって別の中性粒子へと変化する現象である。中性粒子振動は、1954年にマレー・ゲルマンとアブラハム・パイスによって初めて研究された。^[1]

例えば、中性子は反中性子に変化することができません。なぜなら、それは重粒子数の保存則に反するからです。しかし、重粒子数が厳密に保存されない相互作用を含む標準モデルの仮説的拡張では、中性子-反中性子振動が発生すると予測されています。 ^{[2] [3] [4]}超冷中性子を用いて中性子-反中性子振動を探索するプロジェクトがあります。^{[5] [6] [7] [8]}

このような振動は他の中性粒子でも定期的に発生し、次の 2 つのタイプに分類されます。

• 粒子-反粒子振動（例えばK ⁰
  ⇄K​⁰
  振動、 B ⁰
  ⇄ B⁰
  振動、 D ⁰
  ⇄D​⁰
  振動^[9]）。
• フレーバー振動（例えばν
  _e⇄ ν
  _μ⇄ ν
  _τ 振動）。

粒子が何らかの最終生成物に崩壊する場合、システムは純粋に振動するのではなく、振動と崩壊の間の干渉が観察されます。

歴史と動機

CP対称性の破れ

1957年にWuらによってパリティの破れの衝撃的な証拠が示された後、CP（電荷共役パリティ）が保存される量であると想定されました。^[10]しかし、1964年にCroninとFitchは中性K中間子系でCPの破れを報告しました。^[11]彼らは、長寿命のK _L（CP = −1 ）が2つのパイ中間子（ CP = [−1] × [−1] = +1 ）に崩壊し、CP保存則に違反することを観測しました。

2001年、B⁰
⇄ B⁰
この系はBaBar実験とBelle実験によって確認された。^{[12] [13]} B ⁰
⇄ B⁰
2005年までに両研究所からこのシステムが報告された。^{[14] [15]}

K​⁰
⇄K​⁰
そしてB⁰
⇄ B⁰
システムは、粒子とその反粒子を単一の粒子の 2 つの状態と見なして、2 状態システムとして研究することができます。

太陽ニュートリノ問題

太陽のpp鎖は豊富なνを生成する
_e1968年、R・デイビス らはホームステイク実験の結果を初めて報告した。^{[16] [17]}デイビス実験としても知られるこの実験は、サウスダコタ州ホームステイク鉱山（宇宙線によるバックグラウンド放射を除去するため地下深くに設置）の巨大なパークロロエチレンタンクを使用した。パークロロエチレンタンク内の塩素原子核はνを吸収する。
_e反応によってアルゴンを生成する

${\displaystyle \mathrm {\nu _{e}+{{}_{17}^{37}Cl}\rightarrow {{}_{18}^{37}}Ar+e^{-}} }$、

それは本質的に

${\displaystyle \mathrm {\nu _{e}+n\to p+e^{-}} }$。^[18]

この実験では数ヶ月にわたってアルゴンを収集しました。ニュートリノの相互作用は非常に弱いため、2日に1個程度のアルゴン原子しか収集されませんでした。総蓄積量はバコールの理論予測の約3分の1でした。

1968年、ブルーノ・ポンテコルボは、ニュートリノが質量を持たないとみなされない場合、ν
_e（太陽で生成される）ニュートリノは他のニュートリノ種（ν
_μまたはν
_τ）に対してホームステイク検出器は感度がなかった。これがホームステイク実験の結果の欠陥を説明した。太陽ニュートリノ問題に対するこの解決策の最終的な確認は、 2002年4月にSNO（サドベリー・ニュートリノ観測所）共同研究によって提供され、νと
_eフラックスと全ニュートリノフラックス。^[19]

ニュートリノ種間のこの「振動」は、まず任意の 2 つを考慮して研究され、その後、既知の 3 つのフレーバーに一般化されます。

二国家システムとしての説明

混合のみを考慮した特殊なケース

注意：この記事で論じられている「混合」は、混合量子状態から得られるタイプの混合ではありません。むしろ、ここでの「混合」とは、「混合行列」（例えばCKM行列やPMNS行列）によって規定される「純粋状態」のエネルギー（質量）固有状態の重ね合わせを指します。

を2状態システムのハミルトニアンとし、をそれぞれ固有値とを持つその直交固有ベクトルとします。 ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle \left|1\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|2\right\rangle }$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$

⁠ ⁠におけるシステムの状態をとします。 ${\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle }$ ${\displaystyle t}$

例えば、システムが⁠ ⁠のエネルギー固有状態から始まるとすると、 ${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle \ \left|\Psi (0)\right\rangle =\left|1\right\rangle \ ,}$

そして、時間発展した状態、つまりシュレーディンガー方程式の解が得られる。

${\displaystyle {\hat {H}}_{0}\left|\Psi (t)\right\rangle \ =\ i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \ }$   （1）

^[20]になります

${\displaystyle \ \left|\Psi (t)\right\rangle \ =\ \left|1\right\rangle e^{-i\ {\frac {E_{1}t}{\hbar }}}\ }$

しかし、これは物理的には指数項が単なる位相因子であるため、観測可能な新しい状態を生じないのと同じです。言い換えれば、エネルギー固有状態は定常固有状態であり、時間発展において観測可能なほど明確に区別できる新しい状態を生じません。 ${\displaystyle \ \left|1\right\rangle \ ,}$

⁠ ⁠ を、 ${\displaystyle \left\{\left\vert 1\right\rangle ,\left\vert 2\right\rangle \right\}}$摂動のないハミルトニアン演算子 が対角となる基底として定義します。 ${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle \ H_{0}={\begin{pmatrix}E_{1}&0\\0&E_{2}\\\end{pmatrix}}\ =\ E_{1}\ \left|1\right\rangle \ +\ E_{2}\ \left|2\right\rangle \ }$

ハミルトニアンの非対角項がゼロでない場合にのみ、状態間の振動が発生することが示されます。

そこで、結果として得られるハミルトニアンが依然としてエルミートとなるように、 に一般摂動を導入する。すると、 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle W={\begin{pmatrix}W_{11}&W_{12}\\W_{12}^{*}&W_{22}\\\end{pmatrix}}\ }$

どこでそしてそして ${\displaystyle W_{11},W_{22}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle W_{12}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \ H=H_{0}+W={\begin{pmatrix}E_{1}+W_{11}&W_{12}\\W_{12}^{*}&E_{2}+W_{22}\\\end{pmatrix}}\ }$   （2）

摂動を受けたハミルトニアンの固有値は、次 ${\displaystyle H}$のように変化し、また、次のように変化する。^[21] ${\displaystyle E_{+}}$ ${\displaystyle E_{-}}$

${\displaystyle E_{\pm }={\frac {1}{\ 2\ }}\left[E_{1}+W_{11}+E_{2}+W_{22}\pm {\sqrt {{\left(E_{1}+W_{11}-E_{^{2}}-W_{22}\right)}^{2}+4\left|W_{12}\right|^{2}}}\right]}$   （3）

は一般ハミルトン行列なので、 ^{[22]のように書くことができる。} ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H=\sum \limits _{j=0}^{3}a_{j}\sigma _{j}=a_{0}\sigma _{0}+H'}$

どこ

${\displaystyle \ H'={\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}=\left|a\right|{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }},}$ ${\displaystyle \ {\hat {n}}\ }$は、⁠ ⁠ ${\displaystyle {\vec {a}}}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle {1}}$、および方向の3次元の実単位ベクトルである。 ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}&=~I~=~\;{\begin{pmatrix}1&~\;0\\0&~\;1\\\end{pmatrix}}\ ,\\\sigma _{1}&=\sigma _{x}=~\;{\begin{pmatrix}0&~\;1\\1&~\;0\\\end{pmatrix}}\ ,\\\sigma _{2}&=\sigma _{y}=i\ {\begin{pmatrix}0&-1\\1&~\;0\\\end{pmatrix}}\ ,\\\sigma _{3}&=\sigma _{z}=~\;{\begin{pmatrix}1&~\;0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\end{aligned}}\ }$ はパウリスピン行列です。

次の 2 つの結果は明らかです。

• ${\displaystyle \left[H,H'\right]=0}$

証拠
${\displaystyle {\begin{aligned}HH'\ &=\ a_{0}\sigma _{0}H'+H'H'\ =\ a_{0}\sigma _{0}+{H'}^{2}\\H'H\ &=\ a_{0}H'\sigma _{0}+H'H'\ =\ a_{0}\sigma _{0}+{H'}^{2}\\\end{aligned}}}$
したがって
${\displaystyle \left[H,H'\right]\equiv HH'-H'H=0}$

• ${\displaystyle {H'}^{2}=I}$

証拠
${\displaystyle {\begin{aligned}{H'}^{2}&=\sum \limits _{j=1}^{3}{n_{j}\sigma _{j}}\sum \limits _{k=1}^{3}{n_{k}\sigma _{k}}=\sum \limits _{j,k=1}^{3}{n_{j}n_{k}\sigma _{j}\sigma _{k}}\\&=\sum \limits _{j,k=1}^{3}{n_{j}n_{k}\left(\delta _{jk}I+i\sum \limits _{\ell =1}^{3}{\varepsilon _{jk\ell }\sigma _{\ell }}\right)}\\&=\left(\sum \limits _{j=1}^{3}{n_{j}}^{2}\right)I+i\sum \limits _{\ell =1}^{3}{\sigma _{l}\sum \limits _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{jk\ell }}\\&=I\\\end{aligned}}}$
ここでは次の結果が使用されています。
${\displaystyle \sigma _{j}\sigma _{k}=\delta _{jk}\ I+i\ \sum \limits _{\ell =1}^{3}{\varepsilon _{jk\ell }\sigma _{\ell }}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$は単位ベクトルなので ${\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{3}{{n_{j}}^{2}}=\left|{\hat {n}}\right|^{2}=1}$ レヴィ・チヴィタ記号は、 その添字の任意の 2 つ (この場合は⁠ ⁠と) において反対称であるため、 ⁠ ⁠ となります。 ${\displaystyle \varepsilon _{jk\ell }}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {1}}$

以下のパラメータ化^[22]を用いる（このパラメータ化は、固有ベクトルを正規化し、任意の位相を導入して固有ベクトルを最も一般的なものにするので役立つ） ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\hat {n}}=\left(\ \sin \theta \cos \phi \ ,\ \sin \theta \sin \phi \ ,\ \cos \theta \ \right)}$

そして、上記の2つの結果を用いると、の直交固有ベクトルと、その結果の直交固有ベクトルは次のように得られる。 ${\displaystyle H'}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|+\right\rangle \ &=\ {\begin{pmatrix}\;~\;\cos {\tfrac {\theta }{2}}\;e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\\\;~\;\sin {\tfrac {\theta }{2}}\;e^{+i{\frac {\phi }{2}}}\\\end{pmatrix}}\ \equiv ~~~\;\cos {\tfrac {\theta }{2}}\;e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\ \left|1\right\rangle \ +~\;\sin {\tfrac {\theta }{2}}\;e^{+i{\frac {\phi }{2}}}\ \left|2\right\rangle \\\left|-\right\rangle \ &=\ {\begin{pmatrix}-\sin {\frac {\theta }{2}}\;e^{+i{\frac {\phi }{2}}}\\~\cos {\frac {\theta }{2}}\;e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\\\end{pmatrix}}\ \equiv \ -\sin {\frac {\theta }{2}}\;e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\ \left|1\right\rangle \ +~\cos {\frac {\theta }{2}}\;e^{+i{\frac {\phi }{2}}}\ \left|2\right\rangle \\\end{aligned}}}$   （4）

どこ
${\displaystyle \tan \theta ={\frac {2\left|W_{12}\right|}{E_{1}+W_{11}-E_{2}-W_{22}}}}$   そして ${\displaystyle W_{12}=\left|W_{12}\right|e^{i\phi }}$

の固有ベクトルを の固有ベクトルで表すと、 ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\ 1\ \right\rangle \ &=\ e^{i{\frac {\phi }{2}}}\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}}\left|+\right\rangle -\sin {\tfrac {\theta }{2}}\left|-\right\rangle \right)\\\left|\ 2\ \right\rangle \ &=\ e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\left(\sin {\tfrac {\theta }{2}}\left|+\right\rangle +\cos {\tfrac {\theta }{2}}\left|-\right\rangle \right)\\\end{aligned}}}$   （5）

さて、粒子が（例えば、⁠ ⁠）の固有状態から始まるとすると、 ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle \left\vert 1\right\rangle }$

${\displaystyle \left|\ \Psi (0)\ \right\rangle \ =\ \left|1\right\rangle }$

そして時間発展の下では^[21]

${\displaystyle \left|\ \Psi (t)\ \right\rangle \ =\ e^{i\ {\frac {\phi }{2}}}\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}}\ \left|+\right\rangle \ e^{-i\ {\frac {E_{+}t}{\hbar }}}-\sin {\tfrac {\theta }{2}}\ \left|-\right\rangle \ e^{-i\ {\frac {E_{-}t}{\hbar }}}\right)}$

これは前の場合とは異なり、⁠ ⁠ ${\displaystyle \left\vert 1\right\rangle }$とは明らかに異なります。

すると、時刻^[21]におけるシステムの状態の確率は次のようになる。 ${\displaystyle \left|2\right\rangle }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{21}\!(t)&={\Bigl |}\ \left\langle \ 2\ |\ \Psi (t)\ \right\rangle \ {\Bigr |}^{2}=\sin ^{2}\!\theta \ \sin ^{2}\!\!\left({\frac {\ E_{+}-E_{-}\ }{\ 2\ \hbar \ }}\ t\ \right)\\&={\frac {4\left|W_{12}\right|^{2}}{4\left|W_{12}\right|^{2}+\left(E_{1}-E_{2}\right)^{2}}}\sin ^{2}\!\!\left(\ {\frac {\ {\sqrt {4\ \left|W_{12}\right|^{2}+\left(E_{1}-E_{2}\right)^{2}\ }}\ }{\ 2\ \hbar \ }}\ t\ \right)\\\end{aligned}}}$   （6）

これはラビの公式と呼ばれる。したがって、摂動を受けていないハミルトニアン⁠ ⁠ ${\displaystyle H_{0}}$の1つの固有状態から出発して、系の状態は の固有状態間を周波数（ラビ周波数と呼ばれる）で振動する。 ${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle \,\omega ={\frac {\ E_{1}-E_{2}\ }{\ 2\ \hbar \ }}={\frac {\ {\sqrt {4\left|W_{12}\right|^{2}+\left(E_{1}-E_{2}\right)^{2}\ }}\ }{\ 2\ \hbar \ }}\ }$   （7）

式(6)から、⁠ ⁠の場合、 ${\displaystyle P_{21}\!(t)}$⁠ ⁠ ${\displaystyle \left\vert W_{12}\right\vert ^{2}\neq 0}$の場合にのみ振動が存在すると結論付けることができます。したがって、は、摂動を受けていないハミルトニアンの2つの固有状態を結び付け、それによって2つの固有状態間の振動を促進する ため、結合項として知られています。 ${\displaystyle \ W_{12}\ }$ ${\displaystyle H_{0}}$

摂動を受けたハミルトニアンの固有値が退化している場合、つまり⁠ ⁠の場合も、振動は止まります。しかし、これは自明なケースです。なぜなら、そのような状況では摂動自体が消滅し、（対角）の形を取り、振り出しに戻るからです。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E_{+}=E_{-}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{0}}$

したがって、振動に必要な条件は次のとおりです。

• 非ゼロ結合、すなわち⁠ ⁠ ${\displaystyle \left\vert W_{12}\right\vert ^{2}\neq 0}$。
• 摂動ハミルトニアン⁠ ⁠ ${\displaystyle H}$の非退化固有値、すなわち⁠ ⁠ ${\displaystyle E_{+}\neq E_{-}}$。

一般的なケース: 混合と減衰を考慮する

対象粒子が崩壊する場合、その系を記述するハミルトニアンはもはやエルミートではなくなる。^[23]任意の行列はエルミート部分と反エルミート部分の和として表すことができるため、次のように表すことができる。 ${\displaystyle \ H\ }$

${\displaystyle \ H\;=\;M-{\frac {i}{2}}\ \Gamma \;=\;{\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}\\M_{12}^{*}&M_{11}\\\end{pmatrix}}-{\frac {i}{2}}\ {\begin{pmatrix}\Gamma _{11}&\Gamma _{12}\\\Gamma _{12}^{*}&\Gamma _{11}\\\end{pmatrix}}\ }$

どこ

${\displaystyle \ M={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}\\M_{21}&M_{22}\\\end{pmatrix}}\ }$そして ${\displaystyle \ \Gamma ={\begin{pmatrix}\Gamma _{11}&\Gamma _{12}\\\Gamma _{21}&\Gamma _{11}\\\end{pmatrix}}\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$およびはエルミートである。したがって、 ${\displaystyle \ \Gamma \ }$ ${\displaystyle ~~M_{21}=M_{12}^{*}~~}$ ${\displaystyle ~~\Gamma _{21}=\Gamma _{12}^{*}\ }$ CPT保存（対称性）は ${\displaystyle \ M_{22}=M_{11}~~}$そして ${\displaystyle ~~\Gamma _{22}=\Gamma _{11}\ }$ 証拠 Let演算子は粒子を反粒子に変換する。つまり ${\displaystyle \ \Theta =CPT~.}$ ${\displaystyle \ \Theta \ }$ ${\displaystyle \ \Theta \left|1\right\rangle =\left|2\right\rangle ~~}$そして ${\displaystyle ~~\Theta \left|2\right\rangle =\left|1\right\rangle \ }$ CPT 保存則は、ハミルトニアンとが次の変換に対して不変であることを意味します。 ${\displaystyle \ H\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \Gamma \ }$ ${\displaystyle \ \Theta ^{-1}M\Theta =M~~}$そして ${\displaystyle ~~\Theta ^{-1}\Gamma \Theta =\Gamma \ }$ ${\displaystyle \ \Theta \ }$は反ユニタリ演算子[24]であり、次の関係を満たす。 ${\displaystyle \ \Theta ^{\dagger }\Theta =I\ ,}$ したがって ${\displaystyle \ M_{22}=\left\langle 2\right|M\left|2\right\rangle =\left\langle 2\right|\Theta ^{-1}M\Theta \left|2\right\rangle =\left\langle 2\right|\Theta ^{\dagger }M\Theta \left|2\right\rangle =\left\langle 1\right|M\left|1\right\rangle =M_{11}\ }$ 同様に対角要素についても ${\displaystyle \ \Gamma ~.}$ およびのエルミート性は、それらの対角要素が実数であることも意味します。 ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \Gamma \ }$

の固有値は ${\displaystyle \ H\ }$

${\displaystyle \ {\begin{aligned}\mu _{\mathsf {H}}&=M_{11}-{\tfrac {i}{2}}\Gamma _{11}+{\tfrac {1}{2}}\left(\Delta m-{\frac {i}{2}}\Delta \Gamma \right),\\\mu _{\mathsf {L}}&=M_{11}-{\tfrac {i}{2}}\Gamma _{11}-{\tfrac {1}{2}}\left(\Delta m-{\frac {i}{2}}\Delta \Gamma \right)\end{aligned}}\ }$   （8）

どこ
${\displaystyle \ \Delta m\ }$満足させる ${\displaystyle \ \Delta \Gamma \ }$ ${\displaystyle \ {\begin{aligned}\left(\Delta m\right)^{2}-\left({\frac {\Delta \Gamma }{2}}\right)^{2}&=4\left|M_{12}\right|^{2}-\left|\Gamma _{12}\right|^{2}\ ,\\\Delta m\Delta \Gamma &=4\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left(M_{12}\Gamma _{12}^{*}\right)\end{aligned}}\ }$

接尾辞はそれぞれ「重い」と「軽い」を表し（慣例により）、これは肯定的な意味を持ちます。 ${\displaystyle \Delta m}$

およびに対応する自然基底における正規化された固有状態は、 ${\displaystyle \mu _{\mathsf {L}}}$ ${\displaystyle \mu _{\mathsf {H}}}$ ${\displaystyle {\bigl \{}\left|P\right\rangle \ ,\ \left|{\bar {P}}\right\rangle {\bigr \}}~\equiv ~{\bigl \{}\ (1,0)\ ,\ (0,1)\ {\bigr \}}}$

${\displaystyle \ {\begin{aligned}\left|P_{\mathsf {L}}\right\rangle \ &=\ p\ \left|P\right\rangle \ +\ q\left|\ {\bar {P}}\right\rangle \\\left|P_{\mathsf {H}}\right\rangle \ &=\ p\ \left|P\right\rangle \ -\ q\left|\ {\bar {P}}\right\rangle \end{aligned}}\ }$   （9）

どこ
${\displaystyle \left|p\right|^{2}+\left|q\right|^{2}\ =\ 1}$そして ${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)^{2}\ =\ {\frac {\ M_{12}^{*}\ -\ {\tfrac {i}{2}}\Gamma _{12}^{*}\ }{\ M_{12}\ -\ {\tfrac {i}{2}}\Gamma _{12}\ }}}$

${\displaystyle p}$およびは混合項です。これらの固有状態はもはや直交していないことに注意してください。 ${\displaystyle q}$

システムを⁠ ⁠ ${\displaystyle \left\vert P\right\rangle }$の状態で起動します。つまり

${\displaystyle \ \left|\ P(0)\ \right\rangle \ =\ \left|P\right\rangle \ =\ {\frac {1}{\ 2\ p\ }}\ {\Bigl (}\ \left|P_{\mathsf {L}}\right\rangle \ +\ \left|P_{\mathsf {H}}\right\rangle \ {\Bigr )}\ }$

時間発展のもとでは、

${\displaystyle \ \left|\ P(t)\ \right\rangle \ =\ {\frac {1}{\ 2\ p\ }}\ \left(\ \left|P_{\mathsf {L}}\right\rangle \ e^{-{\tfrac {i}{\hbar }}\ \left(m_{L}-{\tfrac {i}{2}}\gamma _{L}\right)\ t}\ +\ \left|P_{\mathsf {H}}\right\rangle \ e^{-{\tfrac {i}{\hbar }}\ \left(m_{H}-{\tfrac {i}{2}}\gamma _{H}\right)\ t}\ \right)\ =\ g_{+}(t)\ \left|P\right\rangle \ -\ {\frac {\ q\ }{p}}\ g_{-}(t)\ \left|{\bar {P}}\right\rangle \ }$

どこ
${\displaystyle \ g_{\pm }(t)\ =\ {\frac {\ 1\ }{2}}\left(\ e^{-{\tfrac {i}{\hbar }}\ \left(\ m_{\mathsf {H}}\ -\ {\tfrac {i}{2}}\ \gamma _{\mathsf {H}}\ \right)\ t}\ \pm \ e^{-{\tfrac {i}{\hbar }}\ \left(\ m_{\mathsf {L}}\ -\ {\tfrac {i}{2}}\ \gamma _{\mathsf {L}}\ \right)\ t}\ \right)\ }$

同様に、システムが状態 から開始した場合、時間発展のもとで次の式が得られる。 ${\displaystyle \left|{\bar {P}}\right\rangle }$

${\displaystyle \left|\ {\bar {P}}(t)\ \right\rangle ={\frac {1}{\ 2\ q\ }}\left(\left|P_{\mathsf {L}}\right\rangle \ e^{-{\tfrac {i}{\hbar }}\ \left(m_{\mathsf {L}}-{\tfrac {i}{2}}\gamma _{\mathsf {L}}\right)\ t}-\left|P_{\mathsf {H}}\right\rangle \ e^{-{\tfrac {i}{\hbar }}\ \left(m_{\mathsf {H}}-{\tfrac {i}{2}}\gamma _{\mathsf {H}}\right)\ t}\right)\ =\ -{\frac {p}{\ q\ }}\ g_{-}(t)\ \left|P\right\rangle \ +\ g_{+}(t)\ \left|{\bar {P}}\right\rangle }$

結果としてCP対称性の破れ

系において、とが互いにCP共役状態（すなわち粒子-反粒子）を表し（すなわち、と）、かつ他の特定の条件が満たされる場合、この現象の結果としてCP対称性の破れが観測される。この条件に応じて、CP対称性の破れは3つのタイプに分類される。^{[23] [25]} ${\displaystyle \left|P\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|{\bar {P}}\right\rangle }$ ${\displaystyle CP\left|P\right\rangle =e^{i\delta }\left|{\bar {P}}\right\rangle }$ ${\displaystyle CP\left|{\bar {P}}\right\rangle =e^{-i\delta }\left|P\right\rangle }$

崩壊のみによるCP対称性の破れ

各セットの禁止ケットと禁止されていないケットが互いのCP 共役である、最終状態への崩壊のプロセスについて考えます。 ${\displaystyle \left\{\left|P\right\rangle ,\left|{\bar {P}}\right\rangle \right\}}$ ${\displaystyle \left\{\left|f\right\rangle ,\left|{\bar {f}}\right\rangle \right\}}$

に減衰する確率は次のように与えられる。 ${\displaystyle \left|P\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|f\right\rangle }$

${\displaystyle \wp _{P\to f}\left(t\right)=\left|\left\langle f|P\left(t\right)\right\rangle \right|^{2}=\left|g_{+}\left(t\right)A_{f}-{\frac {q}{p}}g_{-}\left(t\right){\bar {A}}_{f}\right|^{2}}$、

そしてそのCP共役過程は、

${\displaystyle \wp _{{\bar {P}}\to {\bar {f}}}\left(t\right)=\left|\left\langle {\bar {f}}|{\bar {P}}\left(t\right)\right\rangle \right|^{2}=\left|g_{+}\left(t\right){\bar {A}}_{\bar {f}}-{\frac {p}{q}}g_{-}\left(t\right)A_{\bar {f}}\right|^{2}}$

どこ、
${\displaystyle {\begin{aligned}A_{f}&=\left\langle f|P\right\rangle \\{\bar {A}}_{f}&=\left\langle f|{\bar {P}}\right\rangle \\A_{\bar {f}}&=\left\langle {\bar {f}}|P\right\rangle \\{\bar {A}}_{\bar {f}}&=\left\langle {\bar {f}}|{\bar {P}}\right\rangle \end{aligned}}}$

混合による CP の破れがない場合、次のようになります。 ${\displaystyle \left|{\frac {q}{p}}\right|=1}$

さて、上記の2つの確率は、

${\displaystyle \left|{\frac {{\bar {A}}_{\bar {f}}}{A_{f}}}\right|\neq 1}$そして   （10） ${\displaystyle \left|{\frac {A_{\bar {f}}}{\bar {A_{f}}}}\right|\neq 1}$

したがって、崩壊の確率とその CP 共役過程の確率は等しくないため、崩壊は CP を破る過程になります。

混合のみによるCP対称性の破れ

から観測を開始する確率（時間の関数として）は、次のように与えられる。 ${\displaystyle \left|{\bar {P}}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|P\right\rangle }$

${\displaystyle \wp _{P\to {\bar {P}}}\left(t\right)=\left|\left\langle {\bar {P}}|P\left(t\right)\right\rangle \right|^{2}=\left|{\frac {q}{p}}g_{-}\left(t\right)\right|^{2}}$、

そしてそのCP共役過程は、

${\displaystyle \wp _{{\bar {P}}\to P}\left(t\right)=\left|\left\langle P|{\bar {P}}\left(t\right)\right\rangle \right|^{2}=\left|{\frac {p}{q}}g_{-}\left(t\right)\right|^{2}}$。

上記の2つの確率は、

${\displaystyle \left|{\frac {q}{p}}\right|\neq 1}$   （11）

したがって、粒子とその反粒子 (それぞれ、およびと) はもはや CP の同等の固有状態ではなくなるため、粒子-反粒子振動は CP を破るプロセスになります。 ${\displaystyle \left|P\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|{\bar {P}}\right\rangle }$

混合崩壊干渉によるCP対称性の破れ

とがともにに崩壊し得る最終状態（CP固有状態）を とする。このとき、 の崩壊確率（）は次のように与えられる。 ${\displaystyle \left|f\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|P\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|{\bar {P}}\right\rangle }$ ${\displaystyle \ {\mathbb {P} }\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {P} } _{P\to f}\left(t\right)&={\Bigl |}\left\langle f|P(t)\right\rangle {\Bigr |}^{2}\\&={\Bigl |}A_{f}{\Bigr |}^{2}{\tfrac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\ \left(1+\left|\lambda _{f}\right|^{2}\right)\cosh \!\left({\tfrac {1}{2}}\Delta \gamma t\right)+2\ \operatorname {\mathcal {R_{e}}} \!\left\{\ \lambda _{f}\ \right\}\ \sinh \!\left({\tfrac {1}{2}}\Delta \gamma t\right)+\left(1-\left|\lambda _{f}\right|^{2}\right)\cos \!\left(\Delta mt\right)+2\ \operatorname {\mathcal {I_{m}}} \!\left\{\ \lambda _{f}\ \right\}\ \sin \!\left(\Delta mt\right)\ \right]\\\end{aligned}}}$

そして、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {P} } _{{\bar {P}}\to f}(t)&={\Bigl |}\left\langle f|{\bar {P}}(t)\right\rangle {\Bigr |}^{2}\\&={\Bigl |}A_{f}{\Bigr |}^{2}\left|{\frac {p}{q}}\right|^{2}{\tfrac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\ \left(1+\left|\lambda _{f}\right|^{2}\right)\cosh \!\left({\tfrac {1}{2}}\Delta \gamma t\right)+2\ \operatorname {{\mathcal {R}}_{e}} \!\left\{\ \lambda _{f}\ \right\}\ \sinh \!\left({\tfrac {1}{2}}\Delta \gamma t\right)-\left(1-\left|\lambda _{f}\right|^{2}\right)\cos \left(\Delta mt\right)-2\ \operatorname {{\mathcal {I}}_{m}} \!\left\{\ \lambda _{f}\ \right\}\ \sin \left(\Delta mt\right)\ \right]\\\end{aligned}}}$

どこ、
${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\tfrac {1}{2}}\left(\gamma _{\mathsf {H}}+\gamma _{\mathsf {L}}\right)\ \Delta \gamma =\gamma _{\mathsf {H}}-\gamma _{\mathsf {L}}\\\Delta m&=m_{\mathsf {H}}-m_{\mathsf {L}}\\\lambda _{f}&={\frac {q}{p}}{\frac {{\bar {A}}_{f}}{A_{f}}}\\A_{f}&=\left\langle f|P\right\rangle \\{\bar {A}}_{f}&=\left\langle f|{\bar {P}}\right\rangle \end{aligned}}}$

上記の2つの量から、混合のみではCP対称性の破れがない場合（つまり）、また崩壊のみではCP対称性の破れがない場合（つまり）でも、確率は不等であること が分かる。 ${\displaystyle \ \left|{\tfrac {q}{p}}\right|=1\ }$ ${\displaystyle \ \left|{\tfrac {{\bar {A}}_{f}}{A_{f}}}\right|=1\ }$ ${\displaystyle \ \left|\lambda _{f}\right|=1\ ,}$

${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {I}}_{m}} \!\left\{\ \lambda _{f}\ \right\}\ =\ \operatorname {{\mathcal {I}}_{m}} \!\left\{\ {\frac {q}{p}}{\frac {{\bar {A}}_{f}}{A_{f}}}\ \right\}\neq 0}$   （12）

したがって、上記の確率の式の最後の項は、混合と減衰の間の干渉に関連しています。

代替分類

通常、CP対称性の破れには別の分類が用いられる: ^[25]

直接CP対称性の破れ	直接CP対称性の破れは次のように定義される。 ${\displaystyle \left|{\bar {A}}_{f}/A_{f}\right|\neq 1}$	上記のカテゴリに関して言えば、直接的な CP 対称性の破れは、崩壊による CP 対称性の破れの場合にのみ発生します。
間接CP対称性の破れ	間接 CP 対称性の破れは、混合を伴う CP 対称性の破れの一種です。	上記の分類では、間接 CP 対称性の破れは、混合のみ、混合-崩壊干渉、またはその両方によって発生します。

具体的な事例

ニュートリノ振動

ニュートリノの２つのフレーバー固有状態（例えばν
_e– ν
_μ、ν
_μ– ν
_τ、など）と、どちらかのペアと除外された3番目のペアとの間の非常に弱い結合（つまり、3番目のペアは他の2つのペア間の相互作用に影響を与えない）の場合、式（6 ）は、型のニュートリノが型に変化する確率を与える。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle P_{\beta \alpha }\left(t\right)=\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\left({\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}t\right)}$

ここで、およびはエネルギー固有状態です。 ${\displaystyle E_{+}}$ ${\displaystyle E_{-}}$

上記は次のように書ける。

${\displaystyle P_{\beta \alpha }\left(x\right)=\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\left({\frac {\Delta m^{2}c^{3}}{4E\hbar }}x\right)=\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\left({\frac {2\pi }{\lambda _{\text{osc}}}}x\right)}$   （13）

どこ、
${\displaystyle \Delta m^{2}={m_{+}}^{2}-{m_{-}}^{2}}$、すなわちエネルギー固有状態の質量の二乗の差、 ${\displaystyle c}$真空中の光の速度は ${\displaystyle x}$ニュートリノが生成後に移動した距離である。 ${\displaystyle E}$ニュートリノが生成されたエネルギーであり、 ${\displaystyle \lambda _{\text{osc}}}$発振波長です。

証拠

${\displaystyle E_{\pm }={\sqrt {p^{2}c^{2}+{m_{\pm }}^{2}c^{4}}}\simeq pc\left(1+{\frac {{m_{\pm }}^{2}c^{2}}{2p^{2}}}\right)\left[\because {\frac {m_{\pm }c}{p}}\ll 1\right]}$ ニュートリノが生成された運動量はどこにあるか。 ${\displaystyle p}$ さて、そして。 ${\displaystyle E\simeq pc}$ ${\displaystyle t\simeq x/c}$ したがって、 ${\displaystyle {\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}t\simeq {\frac {\left({m_{+}}^{2}-{m_{-}}^{2}\right)c^{3}}{2p\hbar }}t\simeq {\frac {\Delta m^{2}c^{3}}{4E\hbar }}x={\frac {2\pi }{\lambda _{\text{osc}}}}x}$ どこ ${\displaystyle \lambda _{\text{osc}}={\frac {8\pi E\hbar }{\Delta m^{2}c^{3}}}}$

このように、エネルギー（質量）固有状態間の結合は、フレーバー固有状態間の振動現象を生み出します。重要な推論の一つは、ニュートリノは有限の質量を持つということです。ただし、質量は非常に小さいです。したがって、ニュートリノの速度は光と全く同じではなく、わずかに低くなります。

ニュートリノ質量分裂

ニュートリノの 3 つのフレーバーには、3 つの質量分裂があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\Delta m^{2}\right)_{12}&={m_{1}}^{2}-{m_{2}}^{2}\\\left(\Delta m^{2}\right)_{23}&={m_{2}}^{2}-{m_{3}}^{2}\\\left(\Delta m^{2}\right)_{31}&={m_{3}}^{2}-{m_{1}}^{2}\end{aligned}}}$

しかし、独立しているのは 2 つだけです。 ${\displaystyle \left(\Delta m^{2}\right)_{12}+\left(\Delta m^{2}\right)_{23}+\left(\Delta m^{2}\right)_{31}=0~}$

太陽ニュートリノの場合	${\displaystyle \left(\Delta m^{2}\right)_{\text{sol }}\simeq 8\times 10^{-5}\left(eV/c^{2}\right)^{2}}$
大気ニュートリノの場合	${\displaystyle \left(\Delta m^{2}\right)_{\text{atm}}\simeq 3\times 10^{-3}\left(eV/c^{2}\right)^{2}}$

これは、3つのニュートリノのうち2つの質量が非常に接近していることを意味します。3つのニュートリノのうち独立なのは2つだけであり、式( 13 )の確率表現は正弦の2乗がその引数の符号に依存しないため（正弦の2乗は引数の符号に依存しない）、フレーバー振動現象からニュートリノの質量スペクトルを一意に決定することはできません。つまり、3つのニュートリノのうちの任意の2つは、質量が非常に接近している可能性があるということです。 ${\displaystyle \Delta m^{2}}$ ${\displaystyle \Delta m^{2}}$

さらに、振動は質量の差（二乗）にのみ敏感であるため、振動実験からニュートリノ質量を直接決定することはできません。

システムの長さスケール

式（13 ）は、系の適切な長さスケールが振動波長であることを示しています。以下の推論が導き出されます。 ${\displaystyle \lambda _{\text{osc}}}$

• の場合、振動は観測されません。例えば、実験室におけるニュートリノの生成（例えば放射性崩壊による）と検出などがこれにあたります。 ${\displaystyle x/\lambda _{\text{osc}}\ll 1}$ ${\displaystyle P_{\beta \alpha }\simeq 0}$
• （ が整数）の場合、およびの振動は観察されません。 ${\displaystyle x/\lambda _{\text{osc}}\simeq n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{\beta \alpha }\simeq 0}$
• その他の場合には、振動が観測されます。例えば、太陽ニュートリノや、数キロ離れた研究所で検出された原子力発電所からのニュートリノなどです。 ${\displaystyle x/\lambda _{\text{osc}}\gg 1}$ ${\displaystyle x\sim \lambda _{\text{osc}}}$

中性カオンの振動と減衰

混合のみによるCP対称性の破れ

1964年のクリステンソンらによる論文^[11]は、中性K中間子系におけるCP対称性の破れの実験的証拠を示した。いわゆる長寿命K中間子（CP = −1）は2つのパイ中間子（CP = (−1)(−1) = 1）に崩壊し、CP保存則を破った。

${\displaystyle \left|K^{0}\right\rangle }$はストレンジネス固有状態（それぞれ固有値+1と-1）であり、エネルギー固有状態は ${\displaystyle \left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|K_{^{1}}^{0}\right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|K^{0}\right\rangle +\left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle \right)\\\left|K_{2}^{0}\right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|K^{0}\right\rangle -\left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle \right)\end{aligned}}}$

これら2つはそれぞれ固有値+1と-1を持つCP固有状態です。以前のCP保存（対称性）の概念から、以下のことが予想されました。

• CP固有値は+1なので、2つのパイ中間子に崩壊するか、角運動量を適切に選択すれば3つのパイ中間子に崩壊する可能性があります。ただし、2つのパイ中間子への崩壊の方がはるかに頻繁に発生します。 ${\displaystyle \left|K_{^{1}}^{0}\right\rangle }$
• ${\displaystyle \left|K_{2}^{0}\right\rangle }$CP 固有値が -1 であるため、3 つのパイ中間子にしか崩壊できず、2 つには決して崩壊できません。

2π中間子の崩壊は3π中間子の崩壊よりもはるかに速いため、は短寿命K中間子、は長寿命K中間子と呼ばれていました。1964年の実験では、予想に反して、は2π中間子に崩壊することが示されました。これは、長寿命K中間子は純粋なCP固有状態ではなく、少量の混合を含む必要があり、したがってもはやCP固有状態ではないことを意味していました。^[26]同様に、短寿命K中間子は少量の混合を含むと予測されました。つまり、 ${\displaystyle \left|K_{^{1}}^{0}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|K_{S}^{0}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|K_{2}^{0}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|K_{L}^{0}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|K_{L}^{0}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|K_{2}^{0}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|K_{^{1}}^{0}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|K_{2}^{0}\right\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|K_{L}^{0}\right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {1+\left|\varepsilon \right|^{2}}}}\left(\left|K_{2}^{0}\right\rangle +\varepsilon \left|K_{1}^{0}\right\rangle \right)\\\left|K_{S}^{0}\right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {1+\left|\varepsilon \right|^{2}}}}\left(\left|K_{1}^{0}\right\rangle +\varepsilon \left|K_{2}^{0}\right\rangle \right)\end{aligned}}}$

ここで、は複素量であり、はCP不変性からの逸脱の尺度である。実験的には、. ^[27] ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \left|\varepsilon \right|=\left(2.228\pm 0.011\right)\times 10^{-3}}$

およびをおよびを用いて書き表すと、 ^（[27]を念頭に置いて）式（ 9 ）の形が得られる。 ${\displaystyle \left|K_{^{1}}^{0}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|K_{2}^{0}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|K^{0}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle }$ ${\displaystyle m_{K_{L}^{0}}>m_{K_{S}^{0}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|K_{L}^{0}\right\rangle &=\left(p\left|K^{0}\right\rangle -q\left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle \right)\\\left|K_{S}^{0}\right\rangle &=\left(p\left|K^{0}\right\rangle +q\left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle \right)\end{aligned}}}$

どこ。 ${\displaystyle {\frac {q}{p}}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}}$

なので、条件( 11 )は満たされ、ストレンジネス固有状態とが混合して長寿命状態と短寿命状態が生じる。 ${\displaystyle \left|\varepsilon \right|\neq 0}$ ${\displaystyle \left|K^{0}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle }$

崩壊のみによるCP対称性の破れ

K​⁰
_リットルとK⁰
_秒2つのパイ中間子崩壊には2つのモードがある：π⁰
π⁰
またはπ⁺
π⁻
これらの最終状態はどちらもそれ自身のCP固有状態である。分岐比は次のように定義できる。^[25]

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{+-}&={\frac {\left\langle \pi ^{+}\pi ^{-}|K_{L}^{0}\right\rangle }{\left\langle \pi ^{+}\pi ^{-}|K_{S}^{0}\right\rangle }}={\frac {pA_{\pi ^{+}\pi ^{-}}-q{\bar {A}}_{\pi ^{+}\pi ^{-}}}{pA_{\pi ^{+}\pi ^{-}}+q{\bar {A}}_{\pi ^{+}\pi ^{-}}}}={\frac {1-\lambda _{\pi ^{+}\pi ^{-}}}{1+\lambda _{\pi ^{+}\pi ^{-}}}}\\[3pt]\eta _{00}&={\frac {\left\langle \pi ^{0}\pi ^{0}|K_{L}^{0}\right\rangle }{\left\langle \pi ^{0}\pi ^{0}|K_{S}^{0}\right\rangle }}={\frac {pA_{\pi ^{0}\pi ^{0}}-q{\bar {A}}_{\pi ^{0}\pi ^{0}}}{pA_{\pi ^{0}\pi ^{0}}+q{\bar {A}}_{\pi ^{0}\pi ^{0}}}}={\frac {1-\lambda _{\pi ^{0}\pi ^{0}}}{1+\lambda _{\pi ^{0}\pi ^{0}}}}\end{aligned}}}$。

実験的には^[27]およびである。つまり、およびを意味し、それによって条件( 10 )を満たす。 ${\displaystyle \eta _{+-}=\left(2.232\pm 0.011\right)\times 10^{-3}}$ ${\displaystyle \eta _{00}=\left(2.220\pm 0.011\right)\times 10^{-3}}$ ${\displaystyle \eta _{+-}\neq \eta _{00}}$ ${\displaystyle \left|A_{\pi ^{+}\pi ^{-}}/{\bar {A}}_{\pi ^{+}\pi ^{-}}\right|\neq 1}$ ${\displaystyle \left|A_{\pi ^{0}\pi ^{0}}/{\bar {A}}_{\pi ^{0}\pi ^{0}}\right|\neq 1}$

言い換えれば、2 つの崩壊モード間の非対称性において直接的な CP 対称性の破れが観測されます。

混合崩壊干渉によるCP対称性の破れ

最終状態（としよう）がCP固有状態（例えばπ ${\displaystyle f_{CP}}$⁺
π⁻
）の場合、2つの異なる減衰経路に対応する2つの異なる減衰振幅が存在する：^[28]

${\displaystyle {\begin{aligned}K^{0}&\to f_{CP}\\K^{0}&\to {\bar {K}}^{0}\to f_{CP}\end{aligned}}}$。

一方のモードでは崩壊のみが起こり、もう一方のモードでは振動と崩壊が起こるため、CP 対称性の破れは、崩壊に対するこれら 2 つの寄与の干渉によって生じる可能性があります。

では、それが「本当の」粒子である。

上記の説明は、フレーバー（またはストレンジネス）固有状態とエネルギー（またはCP）固有状態について言及しています。しかし、どちらが「真の」粒子を表しているのでしょうか？実験室で実際に検出できるものは何でしょうか？デイビッド・J・グリフィス氏の言葉を引用します。^[26]

中性K中間子系は、「粒子とは何か？」という古くからの問いに微妙なひねりを加えます。K中間子は典型的には、ストレンジネスの固有状態（K⁰
とK⁰
_{）ですが、CPの固有状態（K 1}と K ₂ ）として弱い相互作用によって崩壊します。では、どちらが「真の」粒子なのでしょうか？「粒子」は固有の寿命を持つ必要があるとすれば、「真の」粒子はK ₁と K ₂です。しかし、そこまで独断的になる必要はありません。実際には、どちらか一方を使う方が便利な場合もあれば、もう一方を使う方が便利な場合もあります。この状況は多くの点で偏光に似ています。直線偏光は、左円偏光と右円偏光の重ね合わせと見なすことができます。右円偏光を優先的に吸収する媒体を想像し、その媒体に直線偏光ビームを照射すると、K偏光ビームが通過するにつれて、ビームは次第に左円偏光に傾きます。⁰
ビームはK2ビームに変換されます_。しかし、このプロセスを直線偏光状態と円偏光状態のどちらで分析するかは、主に好みの問題です。

ミキシングマトリックス - 簡単な紹介

システムが3状態システム（例えば、3種類のニュートリノν
_e⇄ ν
_μ⇄ ν
_τ、3種類のクォークd⇄s⇄b ）の場合 、2状態システムと同様に、フレーバー固有状態（例えば、、）はエネルギー（質量）固有状態（例えば、、、）の線形結合として表されます。つまり、 ${\displaystyle \left|{\varphi _{\alpha }}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|{\varphi _{\beta }}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|{\varphi _{\gamma }}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\psi _{1}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\psi _{2}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\psi _{3}\right\rangle }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\left|{\varphi _{\alpha }}\right\rangle \\\left|{\varphi _{\beta }}\right\rangle \\\left|{\varphi _{\gamma }}\right\rangle \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Omega _{\alpha 1}&\Omega _{\alpha 2}&\Omega _{\alpha 3}\\\Omega _{\beta 1}&\Omega _{\beta 2}&\Omega _{\beta 3}\\\Omega _{\gamma 1}&\Omega _{\gamma 2}&\Omega _{\gamma 3}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\left|\psi _{1}\right\rangle \\\left|\psi _{2}\right\rangle \\\left|\psi _{3}\right\rangle \\\end{pmatrix}}}$。

レプトン（例えばニュートリノ）の場合、変換行列はPMNS行列であり、クォークの場合はCKM行列である。^{[29] [a]}

変換行列の非対角項は結合を表し、不等な対角項は 3 つの状態間の混合を意味します。

変換行列はユニタリであり、適切なパラメータ化（CKM 行列であるか PMNS 行列であるかに応じて）が行われ、パラメータの値は実験的に決定されます。

参照

• CKMマトリックス
• CP対称性の破れ
• CPT対称性
• カオン
• PMNSマトリックス
• 中性電流
• 風味を変える中性電流
• ラビサイクル

脚注

1. 注: よく知られている3つのニュートリノ種ν
   _e、ν
   _μ、およびν
   _τはフレーバー固有状態ですが、よく知られている 3 つのクォーク種d、s、bはエネルギー固有状態です。

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