調和ウェーブレット変換

信号処理数学において、1993年にデイビッド・エドワード・ニューランドによって提唱された高調波ウェーブレット変換は、与えられた関数を時間周波数表現に変換するウェーブレットベースの線形変換です。これは、短時間フーリエ変換と連続ウェーブレット変換の利点を組み合わせたものです。繰り返しフーリエ変換で表現でき、その離散的な類似物は高速フーリエ変換アルゴリズムを用いて効率的に計算できます。

調和ウェーブレット

この変換は、2つの整数j（「レベル」または「次数」）とk（「変換」）でインデックス付けされた「調和」ウェーブレットの族を使用する。これは次 のように表される。 ${\displaystyle w(2^{j}t-k)\!}$

${\displaystyle w(t)={\frac {e^{i4\pi t}-e^{i2\pi t}}{i2\pi t}}.}$

これらの関数は直交しており、そのフーリエ変換は正方窓関数（特定のオクターブ帯域では定数、それ以外の帯域ではゼロ）となる。特に、以下の条件を満たす。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w^{*}(2^{j}t-k)\cdot w(2^{j'}t-k')\,dt={\frac {1}{2^{j}}}\delta _{j,j'}\delta _{k,k'}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w(2^{j}t-k)\cdot w(2^{j'}t-k')\,dt=0}$

ここで、「*」は複素共役を表し、クロネッカーのデルタです。 ${\displaystyle \delta }$

jの次数が増加するにつれて、これらのウェーブレットはフーリエ空間（周波数）および高周波数帯域においてより局所的になり、逆に時間（t ）においては局所性が薄くなります。したがって、これらのウェーブレットを任意の関数を展開するための基底として使用すると、異なる時間スケール（およびkが異なる場合の異なる時間オフセット）における関数の挙動を表すことができます。

しかし、すべての負の次数（ j < 0）を単一の「スケーリング」関数の族に組み合わせることが可能です。 ${\displaystyle \varphi (t-k)}$

${\displaystyle \varphi (t)={\frac {e^{i2\pi t}-1}{i2\pi t}}.}$

関数φは異なるkに対して自身と直交し、また非負のjに対してウェーブレット関数とも直交します。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=\delta _{k,k'}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w^{*}(2^{j}t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0{\text{ for }}j\geq 0}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w(2^{j}t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0{\text{ for }}j\geq 0.}$

したがって、調和ウェーブレット変換では、任意の実数値または複素数値関数（ L2内）が調和ウェーブレット（すべての整数jについて）とその複素共役の基底で展開されます。 ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle f(t)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{j,k}w(2^{j}t-k)+{\tilde {a}}_{j,k}w^{*}(2^{j}t-k)\right],}$

あるいは、スケーリング関数φを補足した非負jのウェーブレットの基底で次のように表すこともできる。

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{k}\varphi (t-k)+{\tilde {a}}_{k}\varphi ^{*}(t-k)\right]+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{j,k}w(2^{j}t-k)+{\tilde {a}}_{j,k}w^{*}(2^{j}t-k)\right].}$

原理的には、展開係数は直交関係を使用して計算できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{j,k}&{}=2^{j}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot w^{*}(2^{j}t-k)\,dt\\{\tilde {a}}_{j,k}&{}=2^{j}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot w(2^{j}t-k)\,dt\\a_{k}&{}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \varphi ^{*}(t-k)\,dt\\{\tilde {a}}_{k}&{}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \varphi (t-k)\,dt.\end{aligned}}}$

実数値関数f ( t ) の場合、独立した展開係数の数を半分に減らすことができます。 ${\displaystyle {\tilde {a}}_{j,k}=a_{j,k}^{*}}$ ${\displaystyle {\tilde {a}}_{k}=a_{k}^{*}}$

この展開は、パーセバルの定理に類似した次の性質を持ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }2^{-j}\left(|a_{j,k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{j,k}|^{2}\right)\\&{}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(|a_{k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{k}|^{2}\right)+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }2^{-j}\left(|a_{j,k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{j,k}|^{2}\right)\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.\end{aligned}}}$

しかし、直交関係から直接展開係数を計算するのではなく、フーリエ変換のシーケンスを用いて計算することも可能です。これは、この変換の離散的な類似物（離散t ）において、高速フーリエ変換アルゴリズムを利用できるため、はるかに効率的です。

参考文献

• ニューランド, デイビッド E. (1993年10月8日). 「調和ウェーブレット解析」.ロンドン王立協会紀要. A. 443 (1917): 203– 225. Bibcode :1993RSPSA.443..203N. doi :10.1098/rspa.1993.0140. JSTOR  52388. S2CID  122912891.
• Silverman, BW; Vassilicos, JC編 (2000). 『ウェーブレット：断続的な情報への鍵？』オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-850716-X。
• Boashash, Boualem編 (2003).時間周波数信号解析と処理：包括的なリファレンス. Elsevier . ISBN 0-08-044335-4。

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