ニューマークベータ法

Concept in differential equation mathematics

ニューマーク・ベータ法は、特定の微分方程式を解くために用いられる数値積分法である。構造物や固体の動的応答の数値評価、例えば有限要素解析における動的システムのモデル化に広く用いられている。この法は、1959年に構造力学への応用を目的として開発された、イリノイ大学アーバナ・シャンペーン校の元土木工学教授ネイサン・M・ニューマーク氏[ ^1]にちなんで名付けられた。半離散化構造方程式は、2階常微分方程式系である。

${\displaystyle M{\ddot {u}}+C{\dot {u}}+f^{\textrm {int}}(u)=f^{\textrm {ext}}\,}$

ここで、 は質量行列、は減衰行列、はそれぞれ単位変位あたりの内力と外力です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{\textrm {int}}}$ ${\displaystyle f^{\textrm {ext}}}$

拡張平均値定理を用いると、ニューマーク法では、第1時間微分（運動方程式の速度）は次のように解けるとしている。 ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+\Delta t~{\ddot {u}}_{\gamma }\,}$

どこ

${\displaystyle {\ddot {u}}_{\gamma }=(1-\gamma ){\ddot {u}}_{n}+\gamma {\ddot {u}}_{n+1}~~~~0\leq \gamma \leq 1}$

したがって

${\displaystyle {\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+(1-\gamma )\Delta t~{\ddot {u}}_{n}+\gamma \Delta t~{\ddot {u}}_{n+1}.}$

しかし、加速度も時間とともに変化するため、正しい変位を得るためには、拡張平均値定理を2次微分まで拡張する必要がある。したがって、

${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+\Delta t~{\dot {u}}_{n}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\Delta t^{2}~{\ddot {u}}_{\beta }}$

どこでまた

${\displaystyle {\ddot {u}}_{\beta }=(1-2\beta ){\ddot {u}}_{n}+2\beta {\ddot {u}}_{n+1}~~~~0\leq 2\beta \leq 1}$

離散化された構造方程式は

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+(1-\gamma )\Delta t~{\ddot {u}}_{n}+\gamma \Delta t~{\ddot {u}}_{n+1}\\&u_{n+1}=u_{n}+\Delta t~{\dot {u}}_{n}+{\frac {\Delta t^{2}}{2}}\left((1-2\beta ){\ddot {u}}_{n}+2\beta {\ddot {u}}_{n+1}\right)\\&M{\ddot {u}}_{n+1}+C{\dot {u}}_{n+1}+f^{\textrm {int}}(u_{n+1})=f_{n+1}^{\textrm {ext}}\,\end{aligned}}}$

明示的な中心差分スキームは、次のように設定することで得られる。 ${\displaystyle \gamma =0.5}$ ${\displaystyle \beta =0}$

平均一定加速度（中点ルール）は、次のように設定して得られる。 ${\displaystyle \gamma =0.5}$ ${\displaystyle \beta =0.25}$

安定性分析

時間積分スキームが安定であるとは、 任意の に対して、時刻 における状態ベクトルの有限変化が、後続の時刻 で計算される状態ベクトルの非増加変化のみを誘導するような積分時間ステップが存在する場合を言う。時間積分スキームが ${\displaystyle \Delta t_{0}>0}$ ${\displaystyle \Delta t\in (0,\Delta t_{0}]}$ ${\displaystyle q_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle q_{n+1}}$ ${\displaystyle t_{n+1}}$

${\displaystyle q_{n+1}=A(\Delta t)q_{n}+g_{n+1}(\Delta t)}$

線形安定性は と等価であり、ここでは更新行列 のスペクトル半径です。 ${\displaystyle \rho (A(\Delta t))\leq 1}$ ${\displaystyle \rho (A(\Delta t))}$ ${\displaystyle A(\Delta t)}$

線形構造方程式の場合

${\displaystyle M{\ddot {u}}+C{\dot {u}}+Ku=f^{\textrm {ext}}\,}$

ここで剛性行列は である。 とすると更新行列は となり、 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle q_{n}=[{\dot {u}}_{n},u_{n}]}$ ${\displaystyle A=H_{1}^{-1}H_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}={\begin{bmatrix}M+\gamma \Delta tC&\gamma \Delta tK\\\beta \Delta t^{2}C&M+\beta \Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}M-(1-\gamma )\Delta tC&-(1-\gamma )\Delta tK\\-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}C+\Delta tM&M-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

減衰のないケース（）では、構造システムの固有モードを導入することで更新行列を分離することができ、これは一般化固有値問題によって解かれる。 ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle u=e^{i\omega _{i}t}x_{i}}$

${\displaystyle \omega ^{2}Mx=Kx\,}$

各固有モードについて、更新行列は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}={\begin{bmatrix}1&\gamma \Delta t\omega _{i}^{2}\\0&1+\beta \Delta t^{2}\omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}1&-(1-\gamma )\Delta t\omega _{i}^{2}\\\Delta t&1-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}\omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

更新行列の特性方程式は

${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(2-(\gamma +{\frac {1}{2}})\eta _{i}^{2}\right)\lambda +1-(\gamma -{\frac {1}{2}})\eta _{i}^{2}=0\,\qquad \eta _{i}^{2}={\frac {\omega _{i}^{2}\Delta t^{2}}{1+\beta \omega _{i}^{2}\Delta t^{2}}}}$

安定性に関しては、

明示的中心差分法(および) は のときに安定です。 ${\displaystyle \gamma =0.5}$ ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle \omega \Delta t\leq 2}$

平均一定加速度（中点則）（および）は無条件に安定である。 ${\displaystyle \gamma =0.5}$ ${\displaystyle \beta =0.25}$

参考文献

1. ニューマーク、ネイサン・M.（1959）、「構造力学の計算方法」、工学力学部門誌、85（EM3）（3）：67-94、doi：10.1061/JMCEA3.0000098

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Newmark-beta_method&oldid=1287306526"