非心ベータ分布

非中心ベータ
表記	ベータ(α, β, λ)
パラメータ	α > 0形状(実数) β > 0形状(実数) λ ≥ 0非心性(実数)
サポート	${\displaystyle x\in [0;1]\!}$
PDF	（タイプI） ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }e^{-\lambda /2}{\frac {\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}}{j!}}{\frac {x^{\alpha +j-1}\left(1-x\right)^{\beta -1}}{\mathrm {B} \left(\alpha +j,\beta \right)}}}$
CDF	（タイプI） ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }e^{-\lambda /2}{\frac {\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}}{j!}}I_{x}\left(\alpha +j,\beta \right)}$
平均	（タイプI）（合流型超幾何関数を参照） ${\displaystyle e^{-{\frac {\lambda }{2}}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta +1\right)}}{}_{2}F_{2}\left(\alpha +\beta ,\alpha +1;\alpha ,\alpha +\beta +1;{\frac {\lambda }{2}}\right)}$
分散	（タイプI）ここで平均です。（合流型超幾何関数を参照） ${\displaystyle e^{-{\frac {\lambda }{2}}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +2\right)}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta +2\right)}}{}_{2}F_{2}\left(\alpha +\beta ,\alpha +2;\alpha ,\alpha +\beta +2;{\frac {\lambda }{2}}\right)-\mu ^{2}}$ ${\displaystyle \mu }$

確率論と統計学において、非心ベータ分布は、 （中心）ベータ分布の非心一般化である連続確率分布です。

非心ベータ分布（タイプI）は、比率の分布である。

${\displaystyle X={\frac {\chi _{m}^{2}(\lambda )}{\chi _{m}^{2}(\lambda )+\chi _{n}^{2}}},}$

ここで、 は自由度m、非心パラメータを持つ 非心カイ二乗確率変数であり、は に依存せず、自由度nを持つ中心カイ二乗確率変数である。^{[ 1 ]} この場合、 ${\displaystyle \chi _{m}^{2}(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ ${\displaystyle \chi _{m}^{2}(\lambda )}$ ${\displaystyle X\sim {\mbox{Beta}}\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}},\lambda \right)}$

タイプIIの非心ベータ分布は、比率の分布である。

${\displaystyle Y={\frac {\chi _{n}^{2}}{\chi _{n}^{2}+\chi _{m}^{2}(\lambda )}},}$

ここで非心カイ2乗変数は分母にのみ存在します。^{[ 1 ]}がタイプII分布に従う場合、はタイプI分布に従います。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=1-Y}$

累積分布関数

タイプI累積分布関数は通常、中心ベータ確率変数のポアソン混合として表される： ^{[ 1 ]}

${\displaystyle F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }P(j)I_{x}(\alpha +j,\beta ),}$

ここでλは非心度パラメータ、P (.)はポアソン(λ/2)確率質量関数、\alpha=m/2と\beta=n/2は形状パラメータ、そして不完全ベータ関数である。つまり、 ${\displaystyle I_{x}(a,b)}$

${\displaystyle F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}I_{x}(\alpha +j,\beta ).}$

混合形式の タイプII累積分布関数は

${\displaystyle F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }P(j)I_{x}(\alpha ,\beta +j).}$

非心ベータ分布関数を評価するアルゴリズムは、ポステン^{[ 2 ]}とチャタムヴェッリ^{[ 1 ]によって与えられている。}

確率密度関数

非心ベータ分布の （タイプI）確率密度関数は次のようになります。

${\displaystyle f(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha +j,\beta )}}.}$

ここで、 はベータ関数、は形状パラメータ、 は非心パラメータである。Yの密度は、自由度を逆にした1-Xの密度と同じである。 ^{[ 1 ]} ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \lambda }$

関連ディストリビューション

変革

の場合、 は自由度 、非心度パラメータの非心 F 分布に従います。 ${\displaystyle X\sim {\mbox{Beta}}\left(\alpha ,\beta ,\lambda \right)}$ ${\displaystyle {\frac {\beta X}{\alpha (1-X)}}}$ ${\displaystyle 2\alpha ,2\beta }$ ${\displaystyle \lambda }$

分子自由度と分母自由度 を持つ非心F分布に従う場合、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{\mu _{1},\mu _{2}}\left(\lambda \right)}$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$

${\displaystyle Z={\cfrac {\cfrac {\mu _{2}}{\mu _{1}}}{{\cfrac {\mu _{2}}{\mu _{1}}}+X^{-1}}}}$

非心ベータ分布に従う:

${\displaystyle Z\sim {\mbox{Beta}}\left({\frac {1}{2}}\mu _{1},{\frac {1}{2}}\mu _{2},\lambda \right)}$。

これは、単純な変換を行うことから得られます。

特殊なケース

のとき、非心ベータ分布は（中心）ベータ分布と等しくなります。 ${\displaystyle \lambda =0}$

参考文献

引用

1. Chattamvelli, R. (1995). 「非心ベータ分布関数に関する注記」.アメリカ統計学者. 49 (2): 231– 234. doi : 10.1080/00031305.1995.10476151 .
2. Posten, HO (1993). 「非心ベータ分布関数の効果的なアルゴリズム」. The American Statistician . 47 (2): 129– 131. doi : 10.1080/00031305.1993.10475957 . JSTOR 2685195 . 

出典

• M. AbramowitzとI. Stegun編 (1965)「数学関数ハンドブック」、ドーバー:ニューヨーク、NY。
• ホッジス, JL Jr. (1955). 「非心ベータ分布について」 . Annals of Mathematical Statistics . 26 (4): 648– 653. doi : 10.1214/aoms/1177728424 .
• Seber, GAF (1963). 「非心カイ2乗分布とベータ分布」. Biometrika . 50 ( 3–4 ): 542–544 . doi : 10.1093/biomet/50.3-4.542 .
• Christian Walck、「実験者のための統計分布ハンドブック」

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