非心カイ二乗分布

Noncentral generalization of the chi-squared distribution

非心カイ二乗検定
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle k>0\,}$自由度 ${\displaystyle \lambda >0\,}$非中心パラメータ
サポート	${\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})}$
CDF	${\displaystyle 1-Q_{\frac {k}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\right)}$Marcum Q関数付き ${\displaystyle Q_{M}(a,b)}$
平均	${\displaystyle k+\lambda \,}$
分散	${\displaystyle 2(k+2\lambda )\,}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2^{3/2}(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{3/2}}}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {12(k+4\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}}$
MGF	${\displaystyle {\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\right)}{(1-2t)^{k/2}}}{\text{ for }}2t<1}$
CF	${\displaystyle {\frac {\exp \left({\frac {i\lambda t}{1-2it}}\right)}{(1-2it)^{k/2}}}}$

確率論および統計学において、非心カイ二乗分布（または非心カイ二乗分布、非心分布 ${\displaystyle \chi ^{2}}$）は、カイ二乗分布の非心一般化である。これは、帰無分布が（おそらく漸近的に）カイ二乗分布となる統計検定の検出力分析においてしばしば用いられる。このような検定の重要な例としては、尤度比検定が挙げられる。^[1]

定義

背景

をk個の独立した正規分布する確率変数とし、平均と分散は単位とする。このとき、確率変数 ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i},\ldots ,X_{k})}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}}$

は非心カイ二乗分布に従って分布します。この分布には2つのパラメータがあります。1つは自由度の数（つまり の数）を示し、もう1つは確率変数の平均と以下の関係があります。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}^{2}.}$

${\displaystyle \lambda }$は非心パラメータと呼ばれることもあります。文献によっては、上記の合計の半分やその平方根など、他の方法で定義されている場合があることに注意してください。 ${\displaystyle \lambda }$

この分布は、多変量統計において、多変量正規分布の導関数として現れます。中心カイ二乗分布は、分布を持つランダムベクトルの二乗ノルム（すなわち、原点からその分布からランダムに抽出した点までの距離の二乗）ですが、非心カイ二乗分布は、分布を持つランダムベクトルの二乗ノルムです。ここでは長さkの零ベクトルであり、はサイズkの単位行列です。 ${\displaystyle N(0_{k},I_{k})}$ ${\displaystyle \chi ^{2}}$ ${\displaystyle N(\mu ,I_{k})}$ ${\displaystyle 0_{k}}$ ${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\ldots ,\mu _{k})}$ ${\displaystyle I_{k}}$

密度

確率密度関数（pdf）は次のように与えられる。

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{i}}{i!}}f_{Y_{k+2i}}(x),}$

ここで、自由度を持つカイ二乗分布になります。 ${\displaystyle Y_{q}}$ ${\displaystyle q}$

この表現から、非心カイ二乗分布は、心カイ二乗分布のポアソン重み付き混合分布であることがわかります。確率変数J が平均 のポアソン分布に従うと仮定し、J  =  iを与えられたZの条件付き分布が自由度k  + 2 iのカイ二乗分布であるとします。この場合、 Zの無条件分布は自由度kの非心カイ二乗分布であり、非心パラメータ となります。 ${\displaystyle \lambda /2}$ ${\displaystyle \lambda }$

あるいは、pdfは次のように記述できる。

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})}$

ここで、第一種修正ベッセル関数は次のように表される。 ${\displaystyle I_{\nu }(y)}$

${\displaystyle I_{\nu }(y)=(y/2)^{\nu }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(y^{2}/4)^{j}}{j!\Gamma (\nu +j+1)}}.}$

ベッセル関数と超幾何関数の関係を用いると、pdfは次のようにも書ける: ^[2]

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={{\rm {e}}^{-\lambda /2}}_{0}F_{1}(;k/2;\lambda x/4){\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}{\rm {e}}^{-x/2}x^{k/2-1}.}$

k  = 0（自由度ゼロ）の場合、分布はゼロで離散成分を持ちますが、これはTorgersen（1972）によって議論され、さらにSiegel（1979）によっても議論されています。^{[3] [4]}

PDFの導出

確率密度関数の導出は、次の手順を実行すると最も簡単に行えます。

1. は単位分散を持つため、それらの結合分布は、位置シフトを除いて球対称です。 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$
2. 球対称性は、 の分布が の二乗長さ を通じてのみ平均に依存することを意味します。したがって、一般性を失うことなく、および を取ることができます。 ${\displaystyle X=X_{1}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}}$ ${\displaystyle \lambda =\mu _{1}^{2}+\cdots +\mu _{k}^{2}}$ ${\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {\lambda }}}$ ${\displaystyle \mu _{2}=\cdots =\mu _{k}=0}$
3. ここで、（k = 1の場合）の密度を導出する 。確率変数の単純な変換により、 ${\displaystyle X=X_{1}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x,1,\lambda )&={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\left(\phi ({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+\phi ({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{-(x+\lambda )/2}\cosh({\sqrt {\lambda x}}),\end{aligned}}}$

ここで、標準正規密度です。 ${\displaystyle \phi (\cdot )}$

1. テイラー級数におけるcosh項を展開します。これにより、 k = 1のときの密度のポアソン重み付き混合表現が得られます。この場合、 上記の級数におけるカイ2乗確率変数の添え字は1 + 2 iです。
2. 最後に、一般的なケースについて。一般性を損なうことなく、 は標準正規分布に従うと仮定し、したがって に依存しない自由度( k − 1)の中心カイ二乗分布に従うと仮定しました。 のポアソン重み付き混合表現と、カイ二乗確率変数の和もカイ二乗分布に従うという事実を用いることで、結果が完成します。この級数の添え字は、要求どおり(1 + 2 i ) + ( k  − 1) =  k  + 2 iです。 ${\displaystyle X_{2},\ldots ,X_{k}}$ ${\displaystyle X_{2}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}}$ ${\displaystyle X_{1}^{2}}$ ${\displaystyle X_{1}^{2}}$

プロパティ

モーメント生成関数

モーメント生成関数は次のように与えられる。

${\displaystyle M(t;k,\lambda )={\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\right)}{(1-2t)^{k/2}}}.}$

瞬間

最初のいくつかの生々しい瞬間は次のとおりです。

${\displaystyle \mu '_{1}=k+\lambda }$

${\displaystyle \mu '_{2}=(k+\lambda )^{2}+2(k+2\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{3}=(k+\lambda )^{3}+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{4}=(k+\lambda )^{4}+12(k+\lambda )^{2}(k+2\lambda )+4(11k^{2}+44k\lambda +36\lambda ^{2})+48(k+4\lambda ).}$

最初のいくつかの中心的な瞬間は次のとおりです。

${\displaystyle \mu _{2}=2(k+2\lambda )\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=8(k+3\lambda )\,}$

${\displaystyle \mu _{4}=12(k+2\lambda )^{2}+48(k+4\lambda )\,}$

n番目のキュムラントは

${\displaystyle \kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda ).\,}$

したがって

${\displaystyle \mu '_{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda )+\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {(n-1)!2^{j-1}}{(n-j)!}}(k+j\lambda )\mu '_{n-j}.}$

累積分布関数

中心カイ二乗分布と非中心カイ二乗分布の関係を再び用いると、累積分布関数（cdf）は次のように表される。

${\displaystyle P(x;k,\lambda )=e^{-\lambda /2}\;\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}Q(x;k+2j)}$

ここで、 kの自由度を持つ中心カイ二乗分布の累積分布関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle Q(x;k)\,}$

${\displaystyle Q(x;k)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,}$

そして、は下側不完全ガンマ関数です。 ${\displaystyle \gamma (k,z)\,}$

マルカムQ関数 もCDFを表すために使用できます。^[5] ${\displaystyle Q_{M}(a,b)}$

${\displaystyle P(x;k,\lambda )=1-Q_{\frac {k}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\right)}$

自由度kが正の奇数のとき、相補累積分布関数の閉じた表現は^{[6]で与えられる。}

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x;2n+1,\lambda )&=1-Q_{n+1/2}({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}})\\&=1-\left[Q({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+Q({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})+e^{-(x+\lambda )/2}\sum _{m=1}^{n}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{m/2-1/4}I_{m-1/2}({\sqrt {\lambda x}})\right],\end{aligned}}}$

ここで、nは非負整数、QはガウスQ関数、Iは半整数位の第一種修正ベッセル関数である。半整数位の第一種修正ベッセル関数自体は、双曲関数の有限和として表すことができる。

特に、k = 1の場合、

${\displaystyle P(x;1,\lambda )=1-\left[Q({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+Q({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})\right].}$

また、k = 3の場合には、

${\displaystyle P(x;3,\lambda )=1-\left[Q({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+Q({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh({\sqrt {\lambda x}})}{\sqrt {\lambda }}}e^{-(x+\lambda )/2}\right].}$

近似値（四分位数を含む）

アブデル・アティは（「最初の近似」として）非中心ウィルソン・ヒルファティ変換を導出する：^[7]

${\displaystyle \left({\frac {\chi '^{2}}{k+\lambda }}\right)^{\frac {1}{3}}}$はほぼ正規分布する、すなわち、 ${\displaystyle \sim {\mathcal {N}}\left(1-{\frac {2}{9f}},{\frac {2}{9f}}\right),}$

${\displaystyle P(x;k,\lambda )\approx \Phi \left\{{\frac {\left({\frac {x}{k+\lambda }}\right)^{1/3}-\left(1-{\frac {2}{9f}}\right)}{\sqrt {\frac {2}{9f}}}}\right\},{\text{where }}\ f:={\frac {(k+\lambda )^{2}}{k+2\lambda }}=k+{\frac {\lambda ^{2}}{k+2\lambda }},}$

これは非常に正確で、非心性によく適応しています。また、（中心）カイ2乗分布の場合、はとなります。 ${\displaystyle f=f(k,\lambda )}$ ${\displaystyle f=k}$ ${\displaystyle \lambda =0}$

サンカランは累積分布関数のいくつかの閉形式 近似について議論している。^[8]彼は以前の論文で次のような近似を導出し、述べている。^[9]

${\displaystyle P(x;k,\lambda )\approx \Phi \left\{{\frac {({\frac {x}{k+\lambda }})^{h}-(1+hp(h-1-0.5(2-h)mp))}{h{\sqrt {2p}}(1+0.5mp)}}\right\}}$

どこ

${\displaystyle \Phi \lbrace \cdot \rbrace \,}$標準正規分布の累積分布関数を表します。

${\displaystyle h=1-{\frac {2}{3}}{\frac {(k+\lambda )(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}\,;}$

${\displaystyle p={\frac {k+2\lambda }{(k+\lambda )^{2}}};}$

${\displaystyle m=(h-1)(1-3h)\,.}$

これと他の近似値については後の教科書で議論されています。^[10]

最近では、奇数の自由度を持つ非心カイ二乗分布のCDFを正確に計算できるようになったため、偶数の自由度を持つCDFは、Marcum-Q関数の単調性と対数凹性を利用することで次のように近似できるようになった。

${\displaystyle P(x;2n,\lambda )\approx {\frac {1}{2}}\left[P(x;2n-1,\lambda )+P(x;2n+1,\lambda )\right].}$

上限としても機能する別の近似値は次のように与えられる。

${\displaystyle P(x;2n,\lambda )\approx 1-\left[(1-P(x;2n-1,\lambda ))(1-P(x;2n+1,\lambda ))\right]^{1/2}.}$

与えられた確率に対して、これらの式は簡単に逆転して の対応する近似値を提供し、近似分位数を計算できます。 ${\displaystyle x}$

関連ディストリビューション

• がカイ二乗分布に従う場合、も非心カイ二乗分布に従います。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\sim \chi _{k}^{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)}$
• 独立した非心カイ二乗変数の線形結合は、一般化カイ二乗分布です。 ${\displaystyle \xi =\sum _{i}\lambda _{i}Y_{i}+c,\quad Y_{i}\sim \chi '^{2}(m_{i},\delta _{i}^{2})}$
• およびが独立である場合、非心F分布変数は次のように展開される。 ${\displaystyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda )}$ ${\displaystyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(0)}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle {\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}\sim F'_{k_{1},k_{2}}(\lambda )}$
• もし、 ${\displaystyle J\sim \mathrm {Poisson} \left({{\frac {1}{2}}\lambda }\right)}$ ${\displaystyle \chi _{k+2J}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )}$
• の場合、パラメータ を持つライス分布をとります。 ${\displaystyle V\sim {\chi '}_{2}^{2}(\lambda )}$ ${\displaystyle {\sqrt {V}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$
• 正規近似: ^[11]ならば分布では またはとなる。 ${\displaystyle V\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )}$ ${\displaystyle {\frac {V-(k+\lambda )}{\sqrt {2(k+2\lambda )}}}\to N(0,1)}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle \lambda \to \infty }$
• および （ただしは独立）であれば、 となります。 ${\displaystyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda _{1})}$ ${\displaystyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(\lambda _{2})}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle W=(V_{1}+V_{2})\sim {\chi '}_{k_{1}+k_{2}}^{2}(\lambda _{1}+\lambda _{2})}$
• 一般に、独立有限集合,に対して、これらの非心カイ二乗分布に従う確率変数の和は、,となる分布に従う。これは、モーメント生成関数を用いて、確率変数の独立性によって次のように表すことができる。残っているのは、非心カイ二乗分布のMGFを積に代入して新しいMGFを計算することである。これは演習問題として残しておく。あるいは、上記の背景説明のセクションにおける解釈を通して、分散が1で指定された平均値を持つ独立正規分布に従う確率変数の平方和として見ることもできる。 ${\displaystyle V_{i}\sim {\chi '}_{k_{i}}^{2}(\lambda _{i})}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,N\}}$ ${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}V_{i}}$ ${\displaystyle Y\sim {\chi '}_{k_{y}}^{2}(\lambda _{y})}$ ${\displaystyle k_{y}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{y}=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}}$ ${\displaystyle M_{Y}(t)=M_{\sum _{i=1}^{N}V_{i}}(t)=\prod _{i=1}^{N}M_{V_{i}}(t)}$ ${\displaystyle V_{i}}$
• 複素非心カイ二乗分布は、無線通信やレーダーシステムに応用されています。^[要出典]を、非心円対称性を持つ独立スカラー複素確率変数とし、平均は 、分散はとします。すると、実確率変数は複素非心カイ二乗分布に従って分布します。これは実質的に、自由度が2倍、非心度パラメータが2倍の、スケール（1/2）された非心分布です。 ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} \left|z_{i}-\mu _{i}\right|^{2}=1}$ ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{k}\left|z_{i}\right|^{2}}$ ${\displaystyle {\chi '}^{2}}$

${\displaystyle f_{S}(S)=\left({\frac {S}{\lambda }}\right)^{(k-1)/2}e^{-(S+\lambda )}I_{k-1}(2{\sqrt {S\lambda }})}$、

どこ。 ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\left|\mu _{i}\right|^{2}}$

変革

サンカラン（1963）は、形式 の変換について論じている 。彼は のキュムラントの項までの展開を分析し、 の以下の選択が妥当な結果をもたらすことを示している。 ${\displaystyle z=[(X-b)/(k+\lambda )]^{1/2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle O((k+\lambda )^{-4})}$ ${\displaystyle b}$

• ${\displaystyle b=(k-1)/2}$の2番目のキュムラントは、 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle b=(k-1)/3}$の3番目のキュムラントは、 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle b=(k-1)/4}$の4番目のキュムラントはほぼ独立している ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \lambda }$

また、より単純な変換は、平均と分散 を持つランダム変数を生成する分散安定化変換として使用できます。 ${\displaystyle z_{1}=(X-(k-1)/2)^{1/2}}$ ${\displaystyle (\lambda +(k-1)/2)^{1/2}}$ ${\displaystyle O((k+\lambda )^{-2})}$

これらの変換は、負の数の平方根を取る必要があるため、使い勝手が悪くなる可能性があります。

さまざまなカイ分布とカイ二乗分布

名前	統計
カイ二乗分布	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
非心カイ二乗分布	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
カイ分布	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
非心カイ分布	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

発生と応用

許容区間での使用

両側正規回帰の 許容区間は、非心カイ二乗分布に基づいて得ることができる。^[12]これにより、ある信頼水準で、サンプル集団の特定の割合が含まれる統計区間を計算することができる。

注記

1. Patnaik, PB (1949). 「非心χ2分布とF分布とその応用」 . Biometrika . 36 (1/2): 202– 232. doi :10.2307/2332542. ISSN  0006-3444. JSTOR  2332542.
2. ミュアヘッド（2005）定理1.3.4
3. Torgersen, EN (1972)、「線形モデルに関する補足ノート」、プレプリントシリーズ：統計メモワール、オスロ大学数学科、http://urn.nb.no/URN:NBN:no-58681
4. Siegel, AF (1979)、「自由度ゼロの非心カイ二乗分布と均一性検定」、Biometrika、66、381–386
5. ナットール、アルバート H. (1975): QM関数を含むいくつかの積分、IEEE Transactions on Information Theory、21(1)、95–96、ISSN  0018-9448
6. A. Annamalai、C. Tellambura、John Matyjas (2009). 「分数階数Mを伴う一般化Marcum Q関数Q _M ( a ,  b )の新たな展開とその応用」2009年第6回IEEEコンシューマー通信・ネットワーキング会議、1-5ページ、ISBN 978-1-4244-2308-8
7. Abdel-Aty, S. (1954). 「非心χ2分布のパーセンテージポイントと確率積分の近似式^」 . Biometrika . 41 (3/4): 538– 540. doi :10.2307/2332731. JSTOR  2332731.
8. Sankaran, M. (1963). 「非心カイ二乗分布の近似値」. Biometrika . 50 ( 1– 2): 199– 204. doi :10.1093/biomet/50.1-2.199.
9. Sankaran, M. (1959). 「非心カイ二乗分布について」. Biometrika . 46 ( 1–2 ): 235–237 . doi :10.1093/biomet/46.1-2.235.
10. Johnson et al. (1995)連続一変量分布29.8節
11. Muirhead（2005）22～24ページおよび問題1.18。
12. Derek S. Young (2010年8月). 「tolerance: 許容区間推定のためのRパッケージ」. Journal of Statistical Software . 36 (5): 1– 39. ISSN  1548-7660 . 2013年2月19日閲覧。、32ページ

参考文献

• Abramowitz, M. および Stegun, IA (1972)、「数学関数ハンドブック」、ドーバー。
• Johnson, NL, Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995), Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (2nd Edition) , Wiley. ISBN 0-471-58494-0
• ミュアヘッド、R. (2005) 『多変量統計理論の諸相（第2版）』 Wiley. ISBN 0-471-76985-1
• Press, SJ (1966)、「非心カイ二乗変量の線形結合」、数理統計年報、37 (2): 480– 487、doi : 10.1214/aoms/1177699531、JSTOR  2238621

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