通常のバンドル

Concept in mathematics

数学の一分野である微分幾何学において、正規束は、接束と相補的で、埋め込み（または浸漬） から生じる特別な種類のベクトル束です。

定義

リーマン多様体

をリーマン多様体、をリーマン部分多様体 とする。与えられた に対し、任意の に対して が に垂直となるベクトルを定義する（したがってはに直交する）。そのようなベクトル全体の集合をにおける の正規空間と呼ぶ。 ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle p\in S}$ ${\displaystyle n\in \mathrm {T} _{p}M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g(n,v)=0}$ ${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{p}S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{p}S}$ ${\displaystyle \mathrm {N} _{p}S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$

多様体への接バンドルの全空間が多様体へのすべての接空間から構成されるのと同様に、多様体への法バンドルの全空間^[1] は次のように定義される。 ${\displaystyle \mathrm {N} S}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S}\mathrm {N} _{p}S}$。

余接バンドルは、正規バンドルの双対バンドルとして定義されます。余接バンドルの部分バンドルとして自然に実現できます

一般的な定義

より抽象的に言えば、はめ込み （例えば埋め込み）が与えられたとき、の各点において上の接空間の商空間を 上の接空間で取ることによって、におけるの正規束を定義できる。リーマン多様体の場合、この商を直交補集合と同一視できるが、一般には同一視できない（そのような選択は射影 の切断と等価である）。 ${\displaystyle i:N\to M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p:V\to V/W}$

したがって、法線バンドルは一般に、部分空間に制限された周囲空間の接線バンドルの商です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

正式には、 の正規バンドル^[2]はの接バンドルの商バンドルである:上のベクトルバンドルの短完全列が存在する: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle 0\to \mathrm {T} N\to \mathrm {T} M\vert _{i(N)}\to \mathrm {T} _{M/N}:=\mathrm {T} M\vert _{i(N)}/\mathrm {T} N\to 0}$

ここでは 上の接束の への制限 （正確には、上の接束を の写像を介して上のベクトル束に引き戻すこと）である。における法線束のファイバーは、（ における）における法線空間と呼ばれる。 ${\displaystyle \mathrm {T} M\vert _{i(N)}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i^{*}\mathrm {T} M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{M/N}{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}N}$ ${\displaystyle p\in N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

共線束

が多様体の滑らかな部分多様体である場合、局所的に によって定義されるような局所座標を選ぶことができます。この座標の選択により ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle p\in Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x_{k+1}=\dots =x_{n}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} _{p}X&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\\mathrm {T} _{p}Y&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\{\mathrm {T} _{X/Y}}_{p}&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{k+1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\\end{aligned}}}$

そしてイデアル層は局所的に生成される。したがって、非退化ペアリングを定義することができる。 ${\displaystyle x_{k+1},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})_{p}\times {\mathrm {T} _{X/Y}}_{p}\longrightarrow \mathbb {R} }$

は層の同型性を誘導する。この事実は、コノーマル完全列を介して定義されるコノーマルバンドルを導入することで言い換えることができる。 ${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})^{\vee }}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y}^{*}}$

${\displaystyle 0\to \mathrm {T} _{X/Y}^{*}\rightarrowtail \Omega _{X}^{1}|_{Y}\twoheadrightarrow \Omega _{Y}^{1}\to 0}$、

すると、すなわち、余法線束の切断は、 上で消える余接ベクトルとなります ${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y}^{*}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {T} Y}$

が点であるとき、理想層は で消える滑らかな芽の層であり、同型性は上の滑らかな関数の芽による接空間の定義に帰着する。 ${\displaystyle Y=\lbrace p\rbrace }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {T} _{X/\lbrace p\rbrace }^{*}\simeq (\mathrm {T} _{p}X)^{\vee }\simeq {\frac {{\mathfrak {m}}_{p}}{{\mathfrak {m}}_{p}^{\ 2}}}}$。

安定正規バンドル

抽象多様体は標準接バンドルを持ちますが、正規バンドルは持ちません。ある多様体を別の多様体に埋め込む（または浸す）ことによってのみ、正規バンドルが得られます。しかし、ホイットニーの埋め込み定理により、すべての多様体は に埋め込むことができるため、そのような埋め込みが与えられれば、すべての多様体は正規バンドルを許容します ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$

一般に埋め込みの自然な選択は存在しないが、与えられた多様体 に対して、十分に大きい に対する任意の2つの埋め込みは正則ホモトピックであり、したがって同じ正規バンドルを誘導する。結果として得られる正規バンドルのクラス（整数が変化する可能性があるため、バンドルのクラスであって特定のバンドルではない）は、安定正規バンドルと呼ばれる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {N}}$

双対から接線束へ

正規束はK理論の意味で接束と双対である。上記の短い完全列により、

${\displaystyle [\mathrm {T} N]+[\mathrm {T} _{M/N}]=[\mathrm {T} M]}$

グロタンディーク群における。 への浸漬の場合、周囲空間 の接束は自明である（は縮約可能であり、したがって平行化可能であるため）ため、 となり、したがって となる。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$ ${\displaystyle [\mathrm {T} N]+[\mathrm {T} _{M/N}]=0}$ ${\displaystyle [\mathrm {T} _{M/N}]=-[\mathrm {T} N]}$

これは特性類の計算に役立ち、ユークリッド空間における多様体の浸漬可能性と埋め込み可能性の下限を証明することを可能にします。

シンプレクティック多様体について

多様体がシンプレクティック多様体に埋め込まれ、シンプレクティック形式の引き戻しが 上で定数階数を持つと仮定します。すると、 へのシンプレクティック法線束を、 上のファイバーを持つベクトル束として定義できます ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle (\mathrm {T} _{i(x)}X)^{\omega }/(\mathrm {T} _{i(x)}X\cap (\mathrm {T} _{i(x)}X)^{\omega }),\quad x\in X,}$

ここで は埋め込みを表し、はにおけるのシンプレクティック直交行列である。定数階数条件により、これらの正規空間は束を形成するように互いに適合することが保証される。さらに、任意のファイバーはシンプレクティックベクトル空間の構造を継承する。^[3] ${\displaystyle i:X\rightarrow M}$ ${\displaystyle (\mathrm {T} X)^{\omega }}$ ${\displaystyle \mathrm {T} X}$ ${\displaystyle \mathrm {T} M}$

ダルブーの定理によれば、定数ランク埋め込みは局所的に によって決定される。同型性 ${\displaystyle i^{*}(\mathrm {T} M)}$

${\displaystyle i^{*}(\mathrm {T} M)\cong \mathrm {T} X/\nu \oplus (\mathrm {T} X)^{\omega }/\nu \oplus (\nu \oplus \nu ^{*})}$

（ただし、 とは の双対である）上のシンプレクティックベクトル束は、シンプレクティック正規束が局所的に定数階数埋め込みを既に決定していることを意味する。この特徴はリーマンの場合と類似している。 ${\displaystyle \nu =\mathrm {T} X\cap (\mathrm {T} X)^{\omega }}$ ${\displaystyle \nu ^{*}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X}$

参考文献

1. ジョン・M・リー著『リーマン多様体、曲率入門』（1997年）シュプリンガー・フェアラーク・ニューヨーク、数学大学院テキスト 176 ISBN 978-0-387-98271-7
2. タモ・トム・ディーク著『代数的位相幾何学』（2010年）EMS数学教科書ISBN 978-3-03719-048-7
3. ラルフ・エイブラハム、ジェロルド・E・マースデン著『力学の基礎』（1978年）ベンジャミン・カミングス社、ロンドンISBN 0-8053-0102-X

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