正常円錐（機能解析）

数学、特に順序論と関数解析において、位相ベクトル空間の原点における円錐が であり、が原点における近傍フィルタである場合、 が であるとき、 が正規円錐と呼ばれる。であり、 である^。 ... ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\in C}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left[{\mathcal {U}}\right]_{C},}$ ${\displaystyle \left[{\mathcal {U}}\right]_{C}:=\left\{[U]_{C}:U\in {\mathcal {U}}\right\}}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle [S]_{C}:=(S+C)\cap (S-C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S.}$

正規円錐は、順序付き位相ベクトル空間と位相ベクトル格子の理論において重要な役割を果たします。

特徴づけ

がTVSの円錐である場合、任意の部分集合に対してが の飽和包となり、の部分集合の任意の集合に対して がTVSの円錐である 場合、 がのとき正規分布となり、 が原点における近傍フィルタとなる。^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle [S]_{C}:=\left(S+C\right)\cap \left(S-C\right)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left[{\mathcal {S}}\right]_{C}:=\left\{\left[S\right]_{C}:S\in {\mathcal {S}}\right\}.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left[{\mathcal {U}}\right]_{C},}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

が の部分集合の集合であり、 が の部分集合である場合、はの基本部分族である。 が の何らかの元の部分集合として含まれる場合 、 がTVS の部分集合の族である場合、の錐は-錐と呼ばれる。が の基本部分族である場合、 は の基本部分族であり、はの基本部分族である場合、 の錐は-錐と呼ばれる。 ^[1]が のすべての有界部分集合の族を表すもの とする。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \left\{{\overline {\left[G\right]_{C}}}:G\in {\mathcal {G}}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \left\{\left[G\right]_{C}:G\in {\mathcal {G}}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

がTVS （実数または複素数上）の円錐である場合、以下は同値である： ^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle C}$通常の円錐です。
2. if thenのすべてのフィルタについて ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \lim {\mathcal {F}}=0}$ ${\displaystyle \lim \left[{\mathcal {F}}\right]_{C}=0.}$
3. 近傍基数が存在するので、 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \left[B\cap C\right]_{C}\subseteq B.}$

そして、が実数上のベクトル空間である場合、このリストに以下を追加することができる: ^[1] ${\displaystyle X}$

4. 原点には凸、均衡、飽和の集合からなる近傍基数が存在する。 ${\displaystyle C}$
5. 上の半ノルムの生成族が存在し、すべてのに対して、 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p(x)\leq p(x+y)}$ ${\displaystyle x,y\in C}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$

が局所凸空間であり、の双対錐がで表される場合、このリストに以下を追加することができる: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

6. 任意の等連続部分集合に対して、 ${\displaystyle S\subseteq X^{\prime },}$ ${\displaystyle B\subseteq C^{\prime }}$ ${\displaystyle S\subseteq B-B.}$
7. の位相は、の等連続部分集合上の一様収束の位相である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{\prime }.}$

そして、が内包局所凸空間であり、が のすべての強有界部分集合の族である場合、このリストに以下を追加することができる: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

8. の位相は、の強有界部分集合上の一様収束の位相である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{\prime }.}$
9. ${\displaystyle C^{\prime }}$は、 ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
   • これは、このファミリーが ${\displaystyle \left\{{\overline {\left[B^{\prime }\right]_{C}}}:B^{\prime }\in {\mathcal {B}}^{\prime }\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\prime }.}$
10. ${\displaystyle C^{\prime }}$は、 ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
    • これは、このファミリーが ${\displaystyle \left\{\left[B^{\prime }\right]_{C}:B^{\prime }\in {\mathcal {B}}^{\prime }\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\prime }.}$

そして、が実数上の順序付き局所凸TVSで、その正錐がである場合、このリストに以下を追加することができます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,}$

11. が（順序付きTVSとして）同型なハウスドルフ局所コンパクト位相空間が存在する。ここで、コンパクト収束の位相の下で、上のすべての実数値連続関数の空間である。 ^[2] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R(S),}$ ${\displaystyle R(S)}$ ${\displaystyle X}$

が局所凸TVSで、が双対錐を持つ錐であり、がの弱有界部分集合の飽和族である場合^、[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{\prime }\subseteq X^{\prime },}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$

1. が-円錐である場合、 は上の -位相に対する正規円錐です。 ${\displaystyle C^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$
2. が上の-位相の正規錐である場合、は の厳密な-錐である。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle C^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

がバナッハ空間、が の閉錐、がのすべての有界部分集合の族である場合、双対錐がで正規であることはが厳密な-錐であることに限ります。^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle C^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

がバナッハ空間であり、が の錐である場合、以下は同値である: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle C}$は の-円錐である。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X={\overline {C}}-{\overline {C}}}$;
3. ${\displaystyle {\overline {C}}}$は、 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

順序付き位相ベクトル空間

を順序付き位相ベクトル空間と仮定する。すなわち、を位相ベクトル空間とし、円錐 に属するときは常に と定義する。以下の文は同値である。^[3] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x\geq y}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle L_{+}}$

1. 円錐は正常です。 ${\displaystyle L_{+}}$
2. ノルム空間は、同値な単調ノルムを許容する。 ${\displaystyle L}$
3. を意味する定数が存在する。 ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle a\leq x\leq b}$ ${\displaystyle \lVert x\rVert \leq c\max\{\lVert a\rVert ,\lVert b\rVert \}}$
4. の閉単位球の完全包はノルムで有界である。 ${\displaystyle [U]=(U+L_{+})\cap (U-L_{+})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle L}$
5. を意味する定数が存在する。 ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq y}$ ${\displaystyle \lVert x\rVert \leq c\lVert y\rVert }$

プロパティ

• がハウスドルフTVSであれば、 内のすべての正規円錐は真円錐である。^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• が正規空間であり、が正規錐である場合、^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }=C^{\prime }-C^{\prime }.}$
• 順序付き局所凸TVSの正錐が弱正規で、正錐を持つ順序付き局所凸TVSであるとする。この場合、はで稠密であり、はの標準正錐であり、は単純収束の位相を持つ空間である。 ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle Y=D-D}$ ${\displaystyle H-H}$ ${\displaystyle L_{s}(X;Y)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{s}(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
  • が の有界部分集合族である場合、の有界部分集合族の最も一般的な型に対してさえも、 がの -錐であることを保証する単純な条件は明らかに存在しない（非常に特殊な場合を除く）。^[4] ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y),}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$

十分な条件

上の位相が局所的に凸であれば、正規円錐の閉包は正規円錐である。^[1] ${\displaystyle X}$

が局所凸TVSの族であり、がの円錐であるとする。が局所凸直和であるとき、円錐が の正規円錐となるのは、それぞれが^[1]の正規円錐となる場合のみである。 ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle X_{\alpha }.}$ ${\displaystyle X:=\bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$ ${\displaystyle C:=\bigoplus _{\alpha }C_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle X_{\alpha }.}$

が局所凸空間である場合、正規円錐の閉包は正規円錐である。^[1] ${\displaystyle X}$

が局所凸TVSの円錐であり、が の双対円錐である場合、が弱正規であることは必ず必要である。 ^[1] 局所凸TVSのすべての正規円錐は弱正規である。^[1] ノルム空間において、円錐が正規であるための必要条件は、それが弱正規であることである。^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{\prime }}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle X^{\prime }=C^{\prime }-C^{\prime }}$ ${\displaystyle C}$

とが局所的に凸なTVSであり、がの有界部分集合の族である場合、の正錐がの-錐であり、の正錐がの正規錐である場合、の正錐は^[4]上の-位相に対して正規錐である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle L(X;Y).}$

参照

• コーン飽和
• 位相ベクトル格子
• ベクトル格子 – 格子として順序付けられた半順序ベクトル空間Pages displaying short descriptions of redirect targets

参考文献

1. Schaefer & Wolff 1999、215–222ページ。
2. シェーファー＆ウォルフ 1999年、222～225頁。
3. Aliprantis, Charalambos D. (2007).円錐と双対性. Rabee Tourky. プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-4146-4. OCLC  87808043。
4. シェーファー＆ウォルフ 1999、225–229ページ。

参考文献

• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。

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