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Type of operator ordering in quantum field theory

量子場理論において、量子場の積、あるいはそれと同義の量子場の生成演算子と消滅演算子は、積において全ての生成演算子が全ての消滅演算子の左側にある場合、通常、正規順序（ウィック順序とも呼ばれる）であると言われる。積を正規順序にする過程は、正規順序（ウィック順序とも呼ばれる）と呼ばれる。反正規順序と反正規順序という用語は、消滅演算子が生成演算子の左側にある場合に同様に定義される。

量子場の積、あるいは生成消滅演算子の積の正規順序は、他にも様々な方法で定義できます。どの定義が最も適切かは、与えられた計算に必要な期待値によって異なります。この記事の大部分では、上記に示した最も一般的な正規順序の定義を用いています。これは、生成消滅演算子の真空状態を用いて期待値を求める場合に適しています。

通常の順序付けのプロセスは、量子力学的 ハミルトニアンにとって特に重要です。古典的ハミルトニアンを量子化する場合、演算子順序の選択にはある程度の自由度があり、これらの選択は基底状態エネルギーの違いにつながります。そのため、このプロセスは量子場の無限真空エネルギーを除去するためにも使用できます。

表記

が生成演算子および/または消滅演算子(または同等の量子場)の任意の積を表す場合、 の通常の順序形式は で表されます。 ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle {\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}}$

代替表記は です。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}({\hat {O}})}$

正規順序付けは、演算子の積に対してのみ意味を持つ概念であることに注意してください。正規順序付けは線形演算ではないため、演算子の和に正規順序付けを適用しようとしても役に立ちません。

ボソン

ボソンはボーズ＝アインシュタイン統計を満たす粒子です。ここでは、ボソン生成消滅演算子の積の通常の順序を調べます。

単一ボソン

1 種類のボソンから始める場合、興味深い演算子が 2 つあります。

• ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$: ボソン生成演算子。
• ${\displaystyle {\hat {b}}}$: ボソンの消滅演算子。

これらは交換関係 を満たす

${\displaystyle \left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1}$

ここで は交換子を表します。最後の は次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle \left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA}$ ${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.}$

例

1. まず最も単純なケースを考えてみましょう。これは の通常の順序です。 ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}$

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}$

式はすでに通常の順序になっているため、つまり生成演算子が消滅演算子の左側にあるため、変更されていません。 ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}}$ ${\displaystyle ({\hat {b}}^{\dagger })}$ ${\displaystyle ({\hat {b}})}$

2. より興味深い例は、 の通常の順序です。 ${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}$

ここでは、通常の順序付け操作により、を の左側に配置することで用語の順序が変更されています。 ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {b}}}$

これら2つの結果は、およびが従う交換関係と組み合わせると、 ${\displaystyle {\hat {b}}}$ ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1={:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}\;+1.}$

または

${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1.}$

この方程式は、ウィックの定理で使用される収縮を定義するために使用されます。

3. 複数の演算子を使用した例は次のとおりです。

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.}$

4. 簡単な例から、正規順序付けは単項式からすべての作用素へと線形性によって自己無矛盾に拡張できないことがわかります。交換関係を適用して以下が得られると仮定します。

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={:\,}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}.}$

そして、直線性により、

${\displaystyle {:\,}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}={:\,}1{\,:}+{:\,}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}=1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\neq {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}={:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:},}$

矛盾だ。

その含意は、正規順序付けは演算子上の線形関数ではなく、演算子によって生成された自由代数上の線形関数であるということです。つまり、演算子は、正規順序付け（または時間順序付けなどの他の順序付け演算子）の範囲内では標準的な交換関係を満たしません。

多重ボソン

異なるボソンを考慮すると、次のような演算子があります。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 2N}$

• ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }}$:ボソン生成演算子。 ${\displaystyle i^{th}}$
• ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}}$:ボソンの消滅演算子。 ${\displaystyle i^{th}}$

ここ。 ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$

これらは交換関係を満たします:

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}}$

ここで、 および はクロネッカーのデルタを表します。 ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

これらは次のように書き直すことができます。

${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}={\hat {b}}_{j}\,{\hat {b}}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}+\delta _{ij}.}$

例

1. 2つの異なるボソン（） については、 ${\displaystyle N=2}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}$

2. 3つの異なるボソン（） については、 ${\displaystyle N=3}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}$

(交換関係により)消滅演算子を書く順序は重要ではないことに注意してください。 ${\displaystyle {\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{3}{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}$

ボソン演算子関数

占有数演算子を持つボソン演算子関数の正規順序付けは、テイラー級数の代わりに（下降する）階乗とニュートン級数を使用して実現できます。 階乗のべき乗が正規順序付けされた（生の）べき乗に等しく、したがって構成によって正規順序付けされている ことは^[1]で簡単に示せます 。 ${\displaystyle f({\hat {n}})}$ ${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger }{\hat {b}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {n}}({\hat {n}}-1)\cdots ({\hat {n}}-k+1)}$ ${\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}^{k}}$

${\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger k}{\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{k}={:\,}{\hat {n}}^{k}{\,:},}$

ニュートン級数展開

${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})=\sum _{k=0}^{\infty }\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)\,{\frac {{\hat {n}}^{\underline {k}}}{k!}}}$

における- 次前進差分を持つ作用素関数 の は、常に正規順序付けされます。ここで、固有値方程式はと を関連付けます。 ${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle {\hat {n}}|n\rangle =n|n\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle n}$

結果として、任意の関数の正規順序テイラー級数は、付随関数のニュートン級数に等しく、 ${\displaystyle f({\hat {n}})}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})}$

${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})={:\,}f({\hat {n}}){\,:},}$

連続する のテイラー級数の級数係数が整数の のニュートン級数の係数と一致する場合、 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {x^{k}}{k!}},\\{\tilde {f}}(n)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}},\\F_{k}&=\partial _{x}^{k}f(0)=\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0),\end{aligned}}}$

における-次偏導関数を持つ。関数と関数は、いわゆる正規次数変換によって次のよう に関係付けられる。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \partial _{x}^{k}f(0)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}[f]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {f}}(n)&={\mathcal {N}}_{x}[f(x)](n)\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}\int _{-\infty }^{0}\mathrm {d} x\,e^{x}\,f(x)\,(-x)^{-(n+1)}\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}{\mathcal {M}}_{-x}[e^{x}f(x)](-n),\end{aligned}}}$

これはメリン変換 で表すことができ、詳細については^{[1]を参照してください。} ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

フェルミオン

フェルミオンはフェルミ・ディラック統計を満たす粒子です。ここでは、フェルミオン生成消滅演算子の積の通常の順序を調べます。

単一フェルミオン

単一のフェルミオンの場合、興味深い演算子が 2 つあります。

• ${\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }}$: フェルミオンの生成演算子。
• ${\displaystyle {\hat {f}}}$: フェルミオンの消滅演算子。

これらは反交換関係 を満たす

${\displaystyle \left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1}$

ここで は反交換子を表す。これらは次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle \left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA}$

${\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }=0}$

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}=0}$

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}.}$

フェルミオン生成消滅演算子の積の正規順序を定義するには、隣接する演算子間の交換回数を考慮する必要があります。このような交換ごとにマイナス記号が付きます。

例

1. 再び最も単純なケースから始めます。

${\displaystyle :{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}$

この式は既に通常の順序になっているため、何も変更されません。逆の場合は、2つの演算子の順序を変更する必要があるため、マイナス記号を導入します。

${\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}$

これらを反交換関係と組み合わせると、

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}=1+:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:}$

または

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }-:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:=1.}$

この方程式は、上記のボゾンの場合と同じ形式であり、ウィックの定理で使用される収縮を定義するために使用されます。

2. より複雑なケースでは、通常の順序ではゼロになります。これは、少なくとも1つの生成演算子または消滅演算子が2回出現するためです。例えば、

${\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0}$

多重フェルミオン

異なるフェルミオンには演算子が存在します: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 2N}$

• ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }}$: フェルミオンの生成演算子。 ${\displaystyle i^{th}}$
• ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}}$:フェルミオンの消滅演算子。 ${\displaystyle i^{th}}$

ここ。 ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$

これらは反交換関係を満たします:

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}}$

ここで、 および はクロネッカーのデルタを表します。 ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

これらは次のように書き直すことができます。

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}=-{\hat {f}}_{j}\,{\hat {f}}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=\delta _{ij}-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}.}$

フェルミオン演算子の積の正規順序を計算する際には、式を並べ替えるために必要な隣接する演算子の交換回数を考慮する必要があります。これは、生成演算子と消滅演算子が反交換関係にあると仮定し、生成演算子が左側、消滅演算子が右側になるように式を並べ替えるようなものです。常に反交換関係を考慮します。

例

1. 2つの異なるフェルミオン（）に対して、 ${\displaystyle N=2}$

${\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}$

ここでは式はすでに通常の順序になっているため、何も変わりません。

${\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}$

ここでは、2 つの演算子の順序を入れ替えているため、マイナス記号を導入しています。

${\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}$

ボソンの場合とは異なり、ここで演算子を書く順序は重要であることに注意してください。

2. 3つの異なるフェルミオン（）に対して、 ${\displaystyle N=3}$

${\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}$

この場合、(反交換関係により)演算子を記述する順序が重要であることに注意してください。 ${\displaystyle {\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}$

同様に

${\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}$

${\displaystyle :{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}}$

量子場理論における用途

生成演算子と消滅演算子の通常の順序積の真空期待値はゼロである。これは、真空状態を と表すと、生成演算子と消滅演算子が次式を満たすからである。 ${\displaystyle |0\rangle }$

${\displaystyle \langle 0|{\hat {a}}^{\dagger }=0\qquad {\textrm {and}}\qquad {\hat {a}}|0\rangle =0}$

(ここで、 とは生成演算子と消滅演算子 (ボソンまたはフェルミオン) です)。 ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}}$

を生成演算子と消滅演算子の空でない積とします。これは ${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \langle 0|{\hat {O}}|0\rangle \neq 0,}$

我々は持っています

${\displaystyle \langle 0|:{\hat {O}}:|0\rangle =0.}$

正規順序演算子は、量子力学ハミルトニアンを定義する際に特に有用である。理論のハミルトニアンが正規順序である場合、基底状態エネルギーはゼロとなる。 ${\displaystyle \langle 0|{\hat {H}}|0\rangle =0}$

フリーフィールド

2つの自由場φとχを用いると、

${\displaystyle :\phi (x)\chi (y):\,\,=\phi (x)\chi (y)-\langle 0|\phi (x)\chi (y)|0\rangle }$

ここでは再び真空状態です。右辺の2つの項は、yがxに近づくにつれて極限で典型的に爆発しますが、それらの差には明確な極限があります。これにより、:φ(x)χ(x): を定義できます。 ${\displaystyle |0\rangle }$

ウィックの定理

ウィックの定理は、体の時間順序積と正規順序積の和との関係を述べている。これは、次のようにも表される。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T\left[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right]=&:\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n}):+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle :\phi (x_{3})\cdots \phi (x_{n}):\\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \langle 0|T\left[\phi (x_{3})\phi (x_{4})\right]|0\rangle :\phi (x_{5})\cdots \phi (x_{n}):\\\vdots \\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-1})\phi (x_{n})\right]|0\rangle \end{aligned}}}$

ここで、合計はフィールドをペアにするすべての異なる方法について行われます。奇数の場合の結果は、最後の行を除いて同じように見えます。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{\text{perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-2})\phi (x_{n-1})\right]|0\rangle \phi (x_{n}).}$

この定理は、演算子の時間順序付けされた積の真空期待値を計算するための簡単な方法を提供し、正規順序付けの導入の動機となりました。

代替定義

正規順序付けの最も一般的な定義は、すべての量子場を2つの部分に分割することです（例えば、Evans and Steer 1996を参照） 。場の積において、場は2つの部分に分割され、各部分はすべての部分の左側に配置されるようにします。本稿の残りの部分で検討する通常のケースでは、場は生成演算子のみを含み、場は消滅演算子のみを含みます。これは数学的な恒等式であるため、場は任意の方法で分割できます。ただし、これを有用な手順とするには、場の任意の組み合わせの正規順序付けされた積の期待値がゼロ である必要があります。 ${\displaystyle \phi _{i}(x)=\phi _{i}^{+}(x)+\phi _{i}^{-}(x)}$ ${\displaystyle \phi ^{+}(x)}$ ${\displaystyle \phi ^{-}(x)}$ ${\displaystyle \phi ^{+}(x)}$ ${\displaystyle \phi ^{-}(x)}$

${\displaystyle \langle :\phi _{1}(x_{1})\phi _{2}(x_{2})\ldots \phi _{n}(x_{n}):\rangle =0}$

実用的な計算においては、すべての とのすべての交換子（フェルミオン場の反交換子）がすべてc数であることも重要です。これらの2つの性質は、ウィックの定理を通常の方法で適用し、場の時間順序積の期待値をc数のペアの積、つまり縮約に変換できることを意味します。この一般化された設定では、縮約は、場のペアの時間順序積と通常の順序積の差として定義されます。 ${\displaystyle \phi _{i}^{+}}$ ${\displaystyle \phi _{j}^{-}}$

最も単純な例は、熱量子場理論（Evans and Steer 1996）の文脈に見られる。この場合、関心のある期待値は統計的アンサンブル、すなわちすべての状態にわたる重み付きトレースである 。例えば、単一のボソン量子調和振動子の場合、数演算子の熱的期待値は単にボーズ・アインシュタイン分布となる。 ${\displaystyle \exp(-\beta {\hat {H}})}$

${\displaystyle \langle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\rangle ={\frac {\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}})}{\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}})}}={\frac {1}{e^{\beta \omega }-1}}}$

つまり、ここでは数演算子は、本稿の残りの部分で通常用いられる意味で正規順序付けされていますが、その熱的期待値はゼロではありません。ウィックの定理を適用し、この熱的コンテキストで通常の正規順序付けで計算を行うことは可能ですが、計算上は非現実的です。解決策は、異なる順序付けを定義し、と が元の消滅演算子と生成演算子の線形結合となるようにすることです。これらの組み合わせは、正規順序付けされた積の熱的期待値が常にゼロになるように選択されるため、選択される分割は温度に依存します。 ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}$ ${\displaystyle \phi _{i}^{+}}$ ${\displaystyle \phi _{j}^{-}}$

参考文献

1. König, Jürgen; Hucht, Alfred (2021-01-13). 「ボソン作用素関数のニュートン級数展開」. SciPost Physics . 10 (1). Stichting SciPost: 007. arXiv : 2008.11139 . Bibcode :2021ScPP...10....7K. doi : 10.21468/scipostphys.10.1.007 . ISSN  2542-4653. S2CID  221293056.

• F. Mandl、G. Shaw、「量子場の理論」、John Wiley & Sons、1984年。
• S. ワインバーグ著『場の量子論（第1巻）』ケンブリッジ大学出版局（1995年）
• TS Evans, DA Steer, 有限温度におけるウィックの定理, Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268

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